西藏拉萨中学2020届高三第六次月考数学(文)试题 含答案

数学文科试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝()
A ．{－1,0}
B ．{0,1}
C ．{－2，－1,0,1}
D ．{－1,0,1,2}
2．已知非零向量a ，b 满足a
=2
b
，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为
A ．
π6
B ．
π3 C ．
2π3
D ．
5π6
3．若0tan >α，则 （ ）
A ．0sin >α
B ．0cos >α
C ．02sin >α
D ．02cos >α 4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i - 5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．命题“*
x n ∀∈∃∈R N ，，使得2
n x ≥”的否定形式是（ ）.
A.*
x n ∀∈∃∈R N ，，使得2
n x < B.*
x n ∀∈∀∈R N ，，使得2
n x < C.*
x n ∃∈∃∈R N ，，使得2
n x < D.*
x n ∃∈∀∈R N ，，使得2
n x <
7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.π12 B ．1－π12 C.π6
D ．1－π
6
8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．3 D. 3
9．已知
1
2
3
a=，
1
3
1
log
2
b=，
2
1
log
3
c=，则() A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c
10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．10．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙11.如图所示，点P从点A出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC
∆的中心，设点P走过的路程为x，OAP
∆的面积为()x f（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数()x f的图像大致为（）
12．函数()
f x的导函数()
f x
'，对x
∀∈R，都有()()
f x f x
'>成立，若()
ln22
f=，则满足不等式()x
f x e
>的x的范围是（）A．1
x>B．01
x
<<C．ln2
x>D．0ln2
x
<<
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知a，b均为单位向量，若|a－2b|＝3，则a与b的夹角为________．
14．已知{}n a是等差数列，公差d不为零．若2a，3a，7a成等比数列，且12
21
a a
+=，则1
a=，d=．
15.已知点()2,9在函数()x
f x a
=（0
a>且1
a≠）图像上，对于函数()
y f x
=定义域中的
任意)(,2121x x x x ≠，有如下结论：
①()()()1212.f x x f x f x +=②);()()(2121x f x f x x f +=⋅③
0)
()(2
121<--x x x f x f ；
④2
)
()()2(
2121x f x f x x f +<
+.上述结论中正确结论的序号是 ． 16．已知)(x f y =为定义域为R 的偶函数，当0x ≥时， ()5
sin ,02,441+1,2,2x
x x f x x π⎧≤≤⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩若关于x 的方程()()2
0f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦（a ，R b ∈）有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分12分)
ABC ∆的内角C B A ，，
所对的边分别为c b a ，，． （I ）若c b a ，，
成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，
成等比数列，求B cos 的最小值．
18．(本小题满分12分)
海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
19. （本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，△P AD 为等腰三角形，∠APD ＝90°，平面P AD ⊥平面ABCD ，且AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别为PC ，BD 的中点．
(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)证明：平面PDC ⊥平面P AD ； (3)求四棱锥P —ABCD 的体积．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2
，点2)在C 上．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为
M ．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
21．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax －2ln x .
(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )≥0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
1123x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）
（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 23. (本小题满分10分) 设函数f (x )＝|x －1|＋1
2
|x －3|.
(1)求不等式f (x )>2的解集；
(2)若不等式f (x )≤a (x ＋1
2
)的解集非空，求实数a 的取值范围．
数学文科答案
1-12. DB CAC DBAAA A C 13．π
3
（或π）
14．2
3
, -1
15．(1 ), ( 4 ) 16.( -- , -- )( -- )
17．【解析】：（1）c b a ，，
成等差数列，2a c b ∴+= 由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=
sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+Q ()sin sin 2sin A C A C ∴+=+
（2）Q c b a ，，
成等比数列，2
2b ac ∴= 由余弦定理得2222221
cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--=
=== 222a c ac +≥Q （当且仅当a c =时等号成立） 22
12a c ac
+∴≥（当且仅当a c =时等号成立）
2211112222
a c ac +∴-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）
即1cos 2B ≥
，所以B cos 的最小值为1
2
18解析 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝1
50
，所以样本中包含三个
地区的个体数量分别是50×
150＝1,150×15＝3,100×1
50
＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”， 则事件D 包含的基本事件有
{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为4
15.
19.解析 (1)如图所示，连接AC .
∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF ∥AP ，
∵EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .
(2)证明：∵面P AD ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面P AD .
∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面P AD . (3)取AD 的中点为O .连接PO .
∵平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等腰直角三角形， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． ∵AD ＝2，∴PO ＝1.又AB ＝1，
∴四棱锥P —ABCD 的体积V ＝13PO ·AB ·AD ＝2
3
.
20. 【解析】（Ⅰ）由题意有222a b -=，22421a b
+=，解得22
8,4a b ==． 所以C 的方程为22
184
x y +=． （Ⅱ）设直线l ：y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y
将y kx b =+代入22
184
x y +=得222(21)4280k x kbx b +++-=．
故1222221M x x kb
x k +-=
=+，221
M M b
y k x b k =⋅+=+． 于是直线OM 的斜率1
2M OM M y k x k =
=-，即12
OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 21．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3－x －2ln
x (x >0)，f ′(x )＝3x 2－1－
2x ＝3x 3－x －2
x
＝（x －1）（3x 2＋3x ＋2）
x
.
∵3x 2＋3x ＋2＞0恒成立，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增；当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减．
故f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．
(2)∵f (x )＝x 3＋ax －2ln x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＝x 2＋a －
2ln x
x ≥0恒成立．
g ′(x )＝2x －2×（ln x ）′·x －ln x ·x ′x 2＝2×x 3＋ln x －1
x 2
，
令h (x )＝x 3＋ln x －1，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (1)＝0， ∴当x ∈(0，1)时，h (x )＜0，g ′(x )＜0，即y ＝g (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，g ′(x )＞0，即y ＝g (x )单调递增． ∴g (x )min ＝g (1)＝1＋a ≥0，a ≥－1，故实数a 的取值范围为[－1，＋∞) 22．
23. 解析 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧
32x －52>2，
x >3，
解得不等式的解集为(－∞，1
3)∪(3，＋∞)．
(2)f(x)＝|x－1|＋1
2|x－3|＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧－
3
2x＋
5
2，x≤1，
1
2x＋
1
2，1<x≤3，
3
2x－
5
2，x>3.
f(x)图像如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，直线y＝a(x＋1
2)绕点(－
1
2，0)旋转，
由图可得不等式f(x)≤a(x＋1
2)的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－
3
2)∪[
4
7，＋∞)．。