陕西省渭南市合阳中学高三数学上学期10月月考试卷 文(含解析)

陕西省渭南市合阳中学2015 届高三上学期10月月考数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=( )
A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：利用交集和数轴即可求出A∩B．
解答：解：A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}={x|﹣1≤x≤2，且x＜1}={x|﹣1≤x＜1}．
故选D．
点评：本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分．
2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y=x|x| B．y=﹣x2C．y=x+1 D．y=﹣
考点：函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据奇偶性及单调性的定义逐项判断即可．
解答：解：y=x|x|=，作出其图象，如下图所示：
由图象知y=x|x|在R上为增函数，
又﹣x|﹣x|=﹣x|x|，
所以y=x|x|为奇函数．
故选A．
点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．3．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=( )
A．e2B．e C．D．ln2
考点：导数的乘法与除法法则．
分析：利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．
解答：解：∵f（x）=xlnx
∴
∵f′（x0）=2
∴lnx0+1=2
∴x0=e，
故选B．
点评：本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是2015届高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．
4．给出下列五个命题：
①命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＜0”
②a∈R，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件
③“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
④命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：①，写出命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定再判断即可；
②，利用充分必要条件的概念可判断a∈R，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件；
③，利用复合命题之间的关系可判断“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充不必要分条件；
④，写出命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题，再判断其真假．
解答：解：对于①，命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故①错误；
对于②，a∈R，若＜1，则＜0，即a＞1或a＜0，不能推出a＞1，即充分性不成立；反之，若a＞1，则＜1，即必要性成立，故“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，②正确；
对于③，“p∧q为真命题”⇒“p∨q为真命题”，反之不成立，即“p∧q为真命题”是“p∨q 为真命题”的充分不必要条件，③错误；
对于④，命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，④正确．真命题的个数是2个，
故选：B．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及真假判断，考查充分必要条件的概念及应用，考查命题的否定，属于中档题．
5．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，2）时，则f（x）=2x2，f（7）=( )
A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由f（x+2）=﹣f（x），得到函数的周期，然后利用周期性和奇偶性的应用，求f（7）即可．
解答：解：由f（x+2）=﹣f（x），得f（x+4）=f（x），
所以函数的周期为4．
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
因为函数为奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
所以f（7）=f（﹣1）=﹣2．
故选A．
点评：本题主要考查函数周期性的判断以及函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用．
6．设，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
考点：幂函数图象及其与指数的关系．
分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．
解答：解：∵在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b
故答案选A
点评：本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．
7．函数f（x）=2lnx+x﹣6的零点一定位于下列哪个区间( )
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意，函数f（x）=2lnx+x﹣6在（0，+∞）上连续，判断以下端点的函数值的正负，从而找到区间．
解答：解：∵函数f（x）=2lnx+x﹣6在（0，+∞）上连续，
又∵f（1）=0+1﹣6＜0，
f（2）=2ln2+2﹣6=2（ln2﹣2）＜0，
f（3）=2ln3+3﹣6=ln9﹣3＜0，
f（4）=2ln4﹣2=2（ln4﹣1）＞0，
f（5）＞0．
∴函数f（x）=2lnx+x﹣6在（3，4）上一定有零点，
故选C．
点评：本题考查了函数的零点的位置判断，应用函数零点的判定定理，属于基础题．
8．把函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数y=e x的图象关于直线y=x 对称，则f（x）=( )
A．ln（x﹣1）B．lnx﹣1 C．ln（x+1）D．lnx+1
考点：反函数．
专题：函数的性质及应用．
分析：与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=lnx，只需把y=lnx向左平移一个单位长度即可．
解答：解：由题意可知与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=lnx，
只需把y=lnx向左平移一个单位长度得到y=ln（x+1），
∴f（x）=ln（x+1），
故选：C
点评：本题考查反函数，属基础题．
9．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞3的解集是( )
A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用分段函数结合不等式转化为两个不等式组，然后解之．
解答：解：由题意不等式f（x）＞3等价于和，
解得x＞3或者0≤x＜1和﹣3＜x＜0，
所以不等式f（x）＞3的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）；
故选A．
点评：本题考查了与分段函数相结合的不等式分解法；在具体不等式时容易忽略自变量x的范围．
10．若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|x2﹣x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数．在下列四个函数中，完美函数是( )
A．f（x）=B．f（x）=|x| C．f（x）=2x D．f（x）=x2
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：首先分析题目的新定义满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f （x2）﹣f（x1）|＜|x2﹣x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数，要求选择完美曲线．故需要对4个选项代入不等式|f（x2）﹣f（x1）|＜|x2﹣x1|分别验证是否成立即可得到答案．
解答：解：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．
对于A：f（x）=，|f（x2）﹣f（x1）|=||＜|x2﹣x1|（∵x1，x2在
区间（1，2）上，故x1x2大于1）．故成立．
对于B：f（x）=|x|，|f（x2）﹣f（x1）|=||x2|﹣|x1||=|x2﹣x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于C：f（x）=2x，|f（x2）﹣f（x1）|=2|x2﹣x1|＜|x2﹣x1|．不成立．
对于D：f（x）=x2，|f（x2）﹣f（x1）|=|x22﹣x12|=（x2+x1）|x2﹣x1|＞|x2﹣x1|不成立．
故选：A．
点评：此题主要考查新定义的理解和应用问题．涉及到绝对值不等式的应用．对于此类型的题目需要对题目概念做认真分析再做题．属于中档题目．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
11．函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，3]．
考点：对数函数的定义域．
专题：函数的性质及应用．
分析：由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．
解答：解：由，解得﹣1＜x＜0或0＜x≤3．
∴函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，3]．
故答案为：（﹣1，0）∪（0，3]．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．
12．已知，lgx=a，则x=．
考点：指数式与对数式的互化．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数式与对数式的互化即可得出．
解答：解：∵，∴a=．
∴，
∴．
故答案为：．
点评：本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
13．函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．
考点：复合函数的单调性．
专题：函数的性质及应用．
分析：令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得函数的定义域，且f（x）=lnt，故本题即求t=x2﹣2x﹣3在定义域内的减区间，再结合二次函数的性质可得结论．
解答：解：令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得x＜﹣1，或x＞3，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
且f（x）=lnt，
故本题即求t=x2﹣2x﹣3在定义域内的减区间，
结合二次函数的性质可得t=x2﹣2x﹣3在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣1），
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
14．函数f（x）=为奇函数，则实数a=﹣8．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知中函数f（x）=为奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x），化简后，进而结合多项式相等的充要条件，可得实数a的值．
解答：解：由已知中函数f（x）=为奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即=﹣，
即（﹣x﹣4）（﹣2x﹣a）=（x﹣4）（2x﹣a），
即2x2+（a+8）x+4a=2x2﹣（a+8）x+4a，
故a+8=0，
即a=﹣8，
故答案为：﹣8
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义，是解答的关键．
15．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题：
①f（x）是周期函数；
②f（x）图象关于x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上为减函数；
⑤f（2）=f（0），
其中的真命题是①②⑤．（写出所有真命题的序号）
考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．
专题：压轴题；阅读型．
分析：根据f（x+1）=﹣f（x），得到函数的周期是2，根据f（x）在[﹣1，0]上是增函数，且定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，得到函数的在各个区间上的单调性．
解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x），
∴函数的周期是2，
f（x）在[﹣1，0]上是增函数，且定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，
∴①f（x）是周期函数，正确，
②f（x）图象关于x=1对称；正确
③f（x）在[0，1]上是增函数；应该是减函数，不正确，
④f（x）在[1，2]上为减函数；应该是增函数，不正确
⑤f（2）=f（0），正确
总上可知①②⑤正确
故答案为：①②⑤
点评：本题考查函数的性质的应用，本题解题的关键是正确理解条件中所给的三个条件，并且利用条件画出草图，看出各个性质．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、推理过程或演算过程．）16．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．
考点：集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（1）根据两个集合的交集、并集的定义求出A∩B，A∪B．
（2）根据B⊆A，分B=∅时和B≠∅时两种情况，分别求得m的范围，再取并集，即得所求．解答：解：（1）当m=3时，∵集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|4≤x≤5}，
∴A∩B={x|4≤x≤5}，A∪B={x|﹣2≤x≤5}．
（2）∵A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，
当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得 m＜2．
当B≠∅时，则有解得3≥m≥2．
综上可得，m≤3，
故实数m的取值范围为（﹣∞，3]．
点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于基础题．
17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点p（1，﹣11），且在点P处的切线斜率为﹣12．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点P（1，﹣11）与函数图象在点P处的切线斜率为﹣12，建立关于a和b的方程组，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），令f'（x）＞0和令f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．
解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象过点p（1，﹣11），
∴f（1）=﹣11．∴a+b=﹣12．①
又函数图象在点P处的切线斜率为﹣12，
∴f′（x）=﹣12，又f′（x）=3x2+2ax+b，∴2a+b=﹣15．②
解由①②组成的方程组，可得a=﹣3，b=﹣9．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x2﹣6x﹣9，
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞3；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜3．
∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），减区间为（﹣1，3）．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，以及利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．
18．已知函数f（x）=x|x﹣4|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜5；
（Ⅲ）设0＜a≤4，求f（x）在[0，a]上的最大值．
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=x|x﹣4|=，可得f（x）的单调递增区间和单调递减区间．
（Ⅱ）不等式f（x）＜5，即 x|x﹣4|＜5，可得①，或
②．分别求得①和②的解集，再取并集，即为所求．
（Ⅲ）分当0＜a≤2时，和当2＜a≤4 时两种情况，分别利用函数的单调性求得f（x）在[0，a]上的最大值．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x|x﹣4|=，
∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，2]和[4，+∞）；单调递减区间是[2，4]．
（Ⅱ）解不等式f（x）＜5，即 x|x﹣4|＜5，∴①，或②．
解①求得4≤x＜5，解②求得x＜4，故原不等式的解集为（﹣∞，5）．
（Ⅲ）解：当0＜a≤2时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（4﹣a）．
当2＜a≤4 时，f（x）在[0，2]上是增函数，在[2，a]上是减函数，此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（2）=4．
综上，当0＜a≤2时，f（x）在[0，a]上上的最大值是a（4﹣a）；
当2＜a≤4 时，f（x）在[0，a]上上的最大值是4．
点评：本题主要考查带由绝对值的函数，函数的单调性的应用，解绝对值不等式，利用单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
19．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用f（x）；
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．
分析：（1）不妨设题中比例系数为k，每批购入x 台，共需分批，每批价值为20x 元，总费用f（x）=运费+保管费；由x=4，y=52可得k，从而得f（x）；
（2）由（1）知，，由基本不等式可求得当x为何值时，f（x）的最小值．
解答：解：（1）设题中比例系数为k，若每批购入x 台，则共需分批，每批价值为20x 元，
由题意，得：
由 x=4 时，y=52 得：
∴
（2）由（1）知，
∴，当且仅当，即x=6 时，上式等号成立；
故只需每批购入6张书桌，可以使48元资金够用．
点评：本题考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的应用，解题时，其关键是根据题意列出函数f（x）的解析式．
20．已知f（x）=（x∈R），若对x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．
（1）求实数a 的值，并求f（1）值；
（2）讨论函数的单调性，并证明；
（3）解不等式 f（2t2﹣t）+f（t2﹣2）＜0．
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）由对x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x）成立得函数f（x）为奇函数，故f（0）=0，解得a值，及f（1）值；
（2）任取x1＜x2，根据指数函数的图象和性质，判断f（x1）﹣f（x2）的符号，进而根据单调性的定义可得结论；
（3）由（1）（2）中的函数性质，可将不等式 f（2t2﹣t）+f（t2﹣2）＜0化为2t2﹣t＜﹣t2+2，解得答案．
解答：解：（1）由对x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x）成立得，
函数f（x）为奇函数，
故f（0）==0，
解得：a=1，
∴f（1）=．…
（2）f（x）在定义域R上为增函数．…
证明如下：由（1）得
任取x1＜x2，
∵f（x1）﹣f（x2）=﹣
==…
∵，，，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在定义域R上为增函数．（未用定义证明适当扣分）…
（3）原不等式可化为f（2t2﹣t）＜﹣f（t2﹣2），
由f（﹣x）=﹣f（x）得：f（2t2﹣t）＜f（﹣t2+2），
∵f（x）在定义域R上为增函数，
∴2t2﹣t＜﹣t2+2，
即3t2﹣t﹣2＜0
解得：x∈（﹣，1）（其它解法也可）…
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，指数函数的图象和性质，是函数的图象和性质的综合应用，难度中档．
21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．
（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；
（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x 轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的概念及应用．
分析：（1）求函数y=f（x）﹣g（x）的导数，根据在x=1与x=处的切线相互平行，得到导数相同，建立方程即可求a的值及切线斜率．
（2）要使函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，只要y'≤0恒成立即可求a
的取值范围
（3）利用反证法证明结论即可．
解答：（1）解：y=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2+2x，记h（x）=lnx﹣ax2+2x，
则h′（x）=﹣ax+2…
∵依题意h（x）在x=1与x=处的切线互相平行，
∴h′（1）=h′（），即﹣a+3=﹣+4，解得a=﹣2…
此时切线斜率k=h'（1）=5…
（2）解：∵函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，
∴h′（x）≤0在区间（，1）上恒成立；…
即﹣ax+2≤0，即a≥在区间（，1）上恒成立；…
∴a≥（）max，
∵x∈（，1），∴∈（1，3），
∴=≤15，
∴a≥15，
即a的取值范围是[15，+∞）．…
（3）证明：f′（x）=，g′（x）=ax﹣2，假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平
行，
设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），x1＞x2，＞0，
则存在a使得f′（）=g′（），
即=（x1+x2）﹣2，…
∴=（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）=y1﹣y2=lnx1﹣lnx2=ln
不妨设=t＞1…
则方程=lnt存在大于1的实根，
设φ（t）=﹣lnt，则φ′（t）=＜0，
∴φ（t）在（1，+∞）单调递减，
∴φ（t）＜φ（1）=0这与存在t＞1使得φ（t）=0矛盾．
∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．…
点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．。