川大 文科物理课件 静电场

此闭合面包含的电荷总量
la
E
qi el
inside
e
Φe
E side dS E
face
side dS
face

E
2πrl

1
0
el
E 1 2 4π 0 a
其方向沿场点到直导线的垂线 方向。正负由电荷的符号决定。
24
例：求无限大均匀带电平板的场强分布。
edS r

E
S
4π 0r 3 edl r
l 4π 0r 3 11
例：求两个相距为l,等量异号点电荷中垂线上距 离点电荷连线中心任一点Q处的电场强度。
等量异号电荷 +q、-q ，相距为l (l<<r) ，称
该带电体系为电偶极子

解：建立如右图的坐标系
E
E

E
l
a
E
通过高斯面S的电通量可分为圆柱侧面
和上、下底面三部分通量的代数和。
e


e
E dS
S
side E dS
face

E dS E dS
top
bottom
23
因上、下底面的场强方向与面平行，
其电通量为零，即式中后两项为零。
S
3.
单位

：在国际单位制
(SI)中
力F 的单位：牛顿(N ); 电量
q
的单位：库仑(C
)

场强 E 单位(N/C )，或(V/m)。
电场是一个矢量场(vectorfield ) 电荷在场中受到的力： F qE
+ + +
+
7
三、电场强度的计算
1.点电荷的电场强度

F
1
qq0 r
4π0 r3
推荐值为：e =1.602 177 33×10-19 C
实验证明微小粒子带电量的变化是不连续的，
它只能是元电荷 e 的整数倍 , 即粒子的电荷是
量子化的： Q = n e ; n = 1, 2 , 3,…
电荷量子化是个实验规律。
2
二、库仑定律(Coulomb law)T9-1-1.exe
在真空中两个相对于观察者静止的点电荷之间的
实验表明电场具有质量、动量、能量，体现了 它的物质性。
5
二、电场强度 (electric field intensity)
1. 试探电荷： q0 是携带电荷足够小；占据空间也 足够小的点电荷，放在电场中不会对原有电场有显
著的影响。
2. 将正试探电荷q0放在电场中的不同位置，q0受到 的电场力 F 的值和方向均不同 , 但对某一点而言
其中
Ex
ra 2 cos

9q
8 0a
2
30
0
此分量互相抵消
3q
3q
Eo 4 0a2 4 0a2 0
14
例：求距离均匀带电细棒为a 的 p点处电场强度。
设棒长为L , 带电量q ，电荷线密度为 =q/L
解： 选坐标并任取一小段dq 如图，其中 dq dx
由图可知在xy 平面上 p 点的场强 dE 可分解成
e
S

E
dS
Q
E SdS


E4πr 2

Q
0
，
r

E
RQ
E 4π 0r 2 r0
rR
高斯面 均匀带电球壳

当r R 高斯面内电荷为 0 E 0 r R
高斯面 20
结果表明：
均匀带电球壳外的场强 分布正像球面上的电荷 都集中在球心时所形成 的点电荷在该区的场强 分布一样。在球面内的 场强均为零。
x方向和 y 方向的两个分量:
dx dE 4π 0l 2
dEx dE cos dEy dE sin
l 2 a2 x2 a2 csc2
dE
y
dEτ dpEy
al
a
θ
b
x
dx
x a cot dx a csc2 d

dEx

cos 4π 0 a
电 球面
的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线
面对称 无限大 平板 平面
例：均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。
解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。
它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当r R 高斯面内电荷为Q，所以

1
4π 0
r2
q (l / 2)2
E

Q点的场强 E 的y分量为零, x 分量 E
是 E+ 和 E- 在x方向分量的代数和:

E Ex Ex E cos E cos q
cos l /{2 r2 (l / 2)2 } 代入上式
Q
r
l q
12
的场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心 的距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。
13
例: 边长为a的正三角形顶点各有一个电量为q的点电荷， 求中心o点的电场强度。
Y q
E
Ey
E
o
Ex
q
E
Ey

3q
8 0a2
此分量两个同向
任一电荷在o点的电场强度大小
q
X
E

q
4 0r 2
3q
4 0a2


F12
F21
r12
当 q2 与q1 异号时, F12 与r12 方向相反 q1 F21 F12 库仑力满足牛顿第三定律
3
k 1 9.0 109 N m2 C2
4π 0
是国际单位制中的比例系数
0 8.854 187 817 10 12 C2 /(N m2 )
称为真空电容率或真空介电常量。
自然界存在四种力：强力、弱力、电磁力和万有 引力, 把10－15m的尺度上两个质子间的强力的强度 规定为1, 其它各力的强度是：电磁力为10－2，弱力 为10－9，万有引力为10－39。在原子、分子的构成 以及固体和液体的凝聚等方面，库仑力都起着主要 的作用。
4
电场和电场强度

F
1 q
E q0 4π0 r 2 r
求场点 P F
r 位矢
q
O 场源
正电荷
负电荷
8
2.多个点电荷产生的电场T9-2-1.exe
若空间存在n个点电荷q1 ,q2 ,…,qn 求它们在空间电
场中任一点P
E3 E2
的电场强度：

E1
E
F1

F2

Fn
r1
q1
P
r2
r3
q2
q3
q0 q0
q0
n

Fi
i 1
q0

n i 1
Fi q0

n Ei
i 1

E
n Ei
i 1
1
4π 0
n i 1
qi ri3
r
ri 是点P 相对于第i 个 点电荷的位置矢量。
电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自 产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。
解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用 高斯定理。然而每一个带电平面的场强先可用高斯 定理求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生 的总场强。
相互作用力的大小与它们所带电量的乘积成正比，
与它们之间距离的平方成反比 ,方向沿两电荷的连
线,同号相斥,异号相吸。
F12
设q2 受到 q1 的作用力为F12 则：
q2

F12
k
q1q2 r122

r12 r12

q1
其中 r12 为q1 指向q2 的矢量
r12
q2
face
right E dS 2EΔS
face
2EΔS eΔS 0
场强方向垂直于带电平面。
26
E e 2 0
e 0 场强方向指离平面; e 0 场强方向指向平面。
例：求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。
设面电荷密度分别为1 和 2 。
b
)
讨论: 当 y<<L时为无限长均匀带电细棒
a = 0,b = , p点的电场强度只有y 分量
方向垂直于细棒。

Ex 0 ; Ey 2π0a
16
讨论
理想模型
点电荷
r >> d d
电偶极子
r>> l
l
L
无限长带电线 r << L
无限大带电面 r&
三、 高斯定理（Gauss theorem）
设面电荷密度为 e 。
解：由于电荷分布对于求场点
p到平面的垂线 op 是对称的， 所以 p 点的场强必然垂直于该
平面。
p
e E
又因电荷均匀分布在无限大的平面上， 所以电场分布对该平面对称。即离平 面等远处的场强大小都相等、方向都
垂直于平面，当 e 0场强指离平面。
当 e 0 场强方向指向平面。
d
dE y

sin 4π 0a
d
15
Ex ( p)
dEx

4π 0
b
cosd
a
场强的x分量:
Ex

q
4π 0 aL
(sin
b

sin
a)
Ey ( p)
dEy 4π0
b
sin d
a
场强的y分量:
Ey

q
4π 0 aL
(cos a

cos
10
lim e

V 0
q V

dq
d
电荷的体密度
lim e

S 0
q S

dq dS
电荷的面密度
lim 体电荷e 分 布l的0 带ql电体dd的ql 场强电荷E的线V密度4πed0r3 r
面电荷分布的带电体的场强 线电荷分布的带电体的场强
E
25
选一其轴垂直于带电平面的圆
筒式封闭面作为高斯面 S，带电
平面平分此圆筒，场点 p 位于它
的一个底面上。
S
o
p

由于圆筒侧面上各点的场强方向 垂直于侧面的法线方向，所以电
e
E
通量为零；又两个底面上场强相 等、电通量相等，均为穿出。



Φe
E dS
S
left E dS
一、电场(electric field )
1. 在电荷周围空间存在一种特殊物质，它可以传递电荷之 间的相互作用力，这种特殊物质称为电场。静止电荷周围 存在的电场，称静电场，这就是所谓的近距作用。
电荷
电场
电荷
2. 任何进入该电场的带电体，都受到电场传递的作用力的 作用，这种力称为静电场力。
3.当带电体在电场中移动时，电场力对带电体作功, 表明电 场具有能量。
静电场中任何意闭合曲面S 的电通量，等于该曲
面所包围的电量除以 0 而与S以外的电荷无关。
数学表达式
1
E dS
S

0
qi
inside,i
18
利用高斯定理求静电场的分布
对 Q 的分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理解 E 较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均
匀 带
球体
9
3.任意带电体产生的电场
将带电体分成很多电荷元dq ,先求出它在空间任意
点 P 的场强
1 dq
dE
4π 0
r3
r
对整个带电体积分,可得总场强：
E


dE

1
4π 0

dqr r3
＋dq＋＋＋＋ r ＋
P dE
＋＋
以下的问题是引入电荷密度的概念并选取合适 的坐标，给出具体的表达式和实施计算。
F 与 q0 之比为一不变的矢量，为描述电场的属性 引入一个物理量电场强度(简称为场强）：

F
E
q0
单位正电荷在电场中 某点所受到的力。
物理 意义
它与试探电荷无关，反映电场本身的性质。
6
电场中某点的电场强度的大小，等于单位电荷
在该点所受电场力的大小；电场强度的方向与正 电荷在该点所受电场力的方向一致。
r
rR
Q

E
1 Q
E 30 r2 4π0 R3 r r R
r R
22
例：一无限长均匀带电细棒，其线电荷密度为，求
距细棒为a处的电场强度。
解：以细棒为轴作一个高为l、截面半径
为a的圆柱面，如图所示。以该圆柱面为 高斯面，运用高斯定理，由于对称性，
S
圆柱侧面上各点的场强E的大小相等, 方向都垂直于圆柱侧面向外。
QR E
r
21
例：求半径为R的均匀带电球体在球内外各点的场强
分布。设球体电荷密度为 ，总电量为Q 。
解：因为电荷分布具有球对称性。
固选取同心的球面为高斯面。
E dS
1
4πr3
e

E4πr 2

r 3Q
0R3
S
0 3
E

R3 3 0 r13
r

Q
4π 0 r13
第三章 电磁现象
1 静电场 2 稳恒磁场 3 电磁感应
1
电荷的量子化及电荷守恒定律
一、电荷 (charge) 原子是电中性的,原子核中的中子不带电、质子
带正电、核外电子带负电，并且所带电量的绝对值 相等。自然界中有两种电荷：正电荷、负电荷。
密立根（likan )用液滴法测定了电子电荷， 电子是自然界中存在的最小负电荷, 1986年的
E |

Ex
|
1
4π 0
(r 2
ql l2 /
4)3/ 2
用定义l 表电示偶从极矩 q为到：Pqe
的矢量， ql
r l
r2 l2 / 4 3/2 r3

E


p
4π 0r3
E
E
Q
E
r
l
q
Pe
q
结论：电偶极子中垂线上，距离中心较远处一点