湖南省邵阳市邵东县邵东一中2022-2023学年数学高一上期末学业水平测试试题含解析
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一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．“ ”是“ ”的条件
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
2．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列命题：
①若 ， ， ，则 ；
【详解】（1）令 ， .
当 时， ，该函数为常值函数，不合乎题意.
所以， ，内层函数 的对称轴为直线 ，
由于函数 在 上单调递减，且外层函数 为增函数，
故内层函数 在 上为减函数，且对任意的 ， 恒成立，
所以， ，解得 ；
（2）因为函数 的值域是 ，则 为二次函数 值域的子集.
当 时，内层函数为 ，不合乎题意；
，
，
，
，
异面直线 与 所成角的正切值为
【详解】充分性：取 ，满足 .但是 无意义，所以充分性不满足；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ必要性：当 成立时，则有 ,所以 .所以必要性满足.
故选：B
4、B
【解析】解不等式求得集合 、 ，由此求得 .
【详解】 ，
，
所以 .
故选：B
5、A
【解析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
【详解】由 得 ，解得 或 .
即原不等式的解集为 或 .
10.88
-52.488
-232.064
在以下区间中， 一定有零点的是（）
A.（1，2）B.（2，4）
C.（4，5）D.（5，6）
10．当 时，在同一平面直角坐标系中， 与 的图象是（）
A. B.
C. D.
11．在 中，若 ，且 ，则 的形状为
A.等边三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.等腰直角三角形
12．若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．设当 时，函数 取得最大值，则 __________.
14．设x， ．若 ，且 ，则 的最大值为___
15．已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，则实数 的取值范围是___________；
【详解】 ，
， ，
， ，
，
，
当且仅当 时即 取等号，
，解得 ，
故 ，
故 的最大值为 ，
故答案为：
15、①. ②.
【解析】（1）分析可知内层函数 在 上为减函数，且对任意的 ， 恒成立，由此可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围；
（2）分析可知 为二次函数 值域的子集，分 、 两种情况讨论，可得出关于实数 的不等式组，综合可得出实数 的取值范围.
20、（1） ， ；（2） 或
【解析】（1）根据题意，由 可得结合 ，解不等式 可得集合 ，
（2）根据题意，分 是否为空集2种情况讨论，求出 的取值范围，综合即可得答案
【详解】解：（1）根据题意，集合 ， ，
当 时， ，
，则 ，
（2）根据题意，若 ，
分2种情况讨论：
①，当 时，即 时， ， 成立；
②，当 时，即 时， ，
A. 或 B.
C. 或 D.
6．已知函数 的值域为 ，则实数m的值为（）
A.2B.3
C.9D.27
7．不论 为何实数，直线 恒过定点（）
A. B.
C. D.
8．满足 的角的集合为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：
1
2
4
5
6
123.136
15.552
【详解】（1）∵不等式 的解集为
∴ ， 是方程 的两个根
∴ ，解得 ．∴
则
∴存在 ，使不等式 成立，等价于 在 上有解，
而 在 时单调递增，∴
∴ 的取值范围为
（2）原方程可化为
令 ，则 ，则 有两个不同的实数解 ， ，
其中 ， ，或 ，
记 ，
则 ①，解得
或 ②，不等式组②无实数解
∴实数 的取值范围为
（2）若 的值域是 ，则实数 的取值范围是___________.
16．已知平面向量 ， ，若 ，则 ______
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的值.
18．设全集 ，已知函数 的定义域为集合A，函数 的值域为集合B.
（1）求 ；
（2）若 且 ,求实数a的取值范围.
考点：充分必要条件
2、C
【解析】由空间中直线与平面的位置关系逐项分析即可
【详解】当 时， 可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当 时， 可以平行，也可以相交，所以④不正确；若 ， ，则 ；若 ，则 ，故正确命题的序号是②③.
【点睛】本题考查空间中平面与直线的位置关系，属于一般题
3、B
【解析】用定义法进行判断.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与方程的根的关系，考查函数的单调性，考查利用函数性质解决方程解的情况，属于较难题.
22、（1） （2）
【解析】（1）取 中点 ，连结 、 ，则 是侧面 与底面 所成的二面角，由此能求出侧面 与底面 所成的二面角
（2）连结 ， ，则 是异面直线 与 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线 与 所成角的正切值
当 时，则有 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为：（1） ；（2） .
16、
【解析】求出 ，根据 ，即 ，进行数量积的坐标运算，列出方程，即可求解
【详解】由题意知，平面向量 ， ，则 ；
因为 ，所以 ，解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中根据平面向量垂直的条件，得到关于 的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
19．设函数 .
（1）当 时，若对于 ，有 恒成立，求 取值范围；
（2）已知 ，若 对于一切实数 恒成立，并且存在 ，使得 成立，求 的最小值.
20．设集合 ， ，不等式 的解集为
（1）当a为0时，求集合 、 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围
21．已知函数 ，不等式 解集为 ，设
（1）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围；
【详解】解：（1）取 中点 ，连结 、 ，
正四棱锥 中， 为底面正方形的中心，
， ， 是侧面 与底面 所成的二面角，
侧棱 与底面 所成的角的正切值为
，
设 ，得 ， ， ，
，
，
侧面 与底面 所成的二面角为
（2） 为底面正方形的中心， 是 中点，
连结 ， ， 是 的中点， ，
是异面直线 与 所成角（或所成角的补角），
（2）根据集合的包含关系，列出相应的不等式，求得答案.
【详解】（1）由题意知 , ,则 ，
∴
（2）若 则 ；
若 则 ，
综上， .
19、 (1) (2)
【解析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为 恒成立，设 ，则 ，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.
（2）由题意，根据二次函数的性质，求得 ，进而利用基本不等式，即可求解.
故选：A.
6、C
【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得；
【详解】解：因为函数 的值域为 ，所以 的最小值为 ，所以 ；
故选：C
7、C
【解析】将直线方程变形为 ,即可求得过定点坐标.
【详解】根据题意,将直线方程变形为
因为 位任意实数,则 ,解得
所以直线过的定点坐标为
故选:C
【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.
若 ，必有 ，
解可得 ，
综合可得 的取值范围为 或
【点睛】本题考查集合的包含关系的应用，（2）中注意讨论 为空集，属于基础题
21、（1） ；（2）
【解析】（1）由不等式 的解集为 可知 是方程 的两个根，即可求出 ，根据 的单调性求出其在 的最大值，即可得出m的范围；
（2）方程可化为 ，令 ，则 有两个不同的实数解 ， ，根据函数性质可列出不等式求解.
故选：B
11、D
【解析】由条件 可得A为直角，结合 ，可得解.
【详解】 ， = ，又 ，
为等腰直角三角形，
故选D.
【点睛】本题考查了向量数量积表示两个向量的垂直关系，考查了三角形的形状，属于基础题.
12、D
【解析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出
【详解】∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，
（2）若方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围
22．如图所示，正四棱锥 中， 为底面正方形的中心，侧棱 与底面 所成的角的正切值为
（1）求侧面 与底面 所成的二面角的大小；
（2）若 是 的中点，求异面直线 与 所成角的正切值；
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
【解析】若 ,则 ；若 ,则 ,推不出 ．所以“ ”是“ ”成立的充分不必要条件．故选A
②若 ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ，则
其中正确命题的序号是
A.①③B.①④
C.②③D.②④
3．已知M，N都是实数，则“ ”是“ ”的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
4．已知集合 ， ，则集合 （）
A. B.
C. D.
5．关于 的一元二次不等式 的解集为（）
∴a＞b＞c.
故选D
【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.
【详解】由辅助角公式可知 ， ， ， ，
当 ， 时取最大值，
即 ，
，
故答案为 .
14、 ##1.5
【解析】由 化简得 ，再由基本不等式可求得 ，从而确定 最大值
【详解】（1）据题意知，对于 ，有 恒成立，
即 恒成立，因此 ，
设 ，所以 ，
函数 在区间 上是单调递减的，
，
（2）由 对于一切实数 恒成立，可得 ，
由存在 ，使得 成立可得 ，
，
，当且仅当 时等号成立，
【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据三角函数相关公式化简求解；
（2）根据三角恒等变换化简求解.
【小问1详解】
解：
，
由 ，得 ，解得
又 ，所以 .
【小问2详解】
解：若 ， ，则 ，
因为 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以
18、（1）{1}；（2）
【解析】（1）求出函数 的定义域为集合 ，函数 的值域为集合 ，即可求得答案；
8、D
【解析】利用正弦函数的图像性质即可求解.
【详解】 .
故选：D.
9、C
【解析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.
【详解】∵
∴ ， ， ， ,
又函数 的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可得 在区间 上一定有零点
故选：C.
10、B
【解析】由定义域和 ，使用排除法可得.
【详解】 的定义域为 ，故AD错误；BC中，又因为 ，所以 ，故C错误，B正确.
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．“ ”是“ ”的条件
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
2．设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列命题：
①若 ， ， ，则 ；
【详解】（1）令 ， .
当 时， ，该函数为常值函数，不合乎题意.
所以， ，内层函数 的对称轴为直线 ，
由于函数 在 上单调递减，且外层函数 为增函数，
故内层函数 在 上为减函数，且对任意的 ， 恒成立，
所以， ，解得 ；
（2）因为函数 的值域是 ，则 为二次函数 值域的子集.
当 时，内层函数为 ，不合乎题意；
，
，
，
，
异面直线 与 所成角的正切值为
【详解】充分性：取 ，满足 .但是 无意义，所以充分性不满足；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ必要性：当 成立时，则有 ,所以 .所以必要性满足.
故选：B
4、B
【解析】解不等式求得集合 、 ，由此求得 .
【详解】 ，
，
所以 .
故选：B
5、A
【解析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
【详解】由 得 ，解得 或 .
即原不等式的解集为 或 .
10.88
-52.488
-232.064
在以下区间中， 一定有零点的是（）
A.（1，2）B.（2，4）
C.（4，5）D.（5，6）
10．当 时，在同一平面直角坐标系中， 与 的图象是（）
A. B.
C. D.
11．在 中，若 ，且 ，则 的形状为
A.等边三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.等腰直角三角形
12．若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．设当 时，函数 取得最大值，则 __________.
14．设x， ．若 ，且 ，则 的最大值为___
15．已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，则实数 的取值范围是___________；
【详解】 ，
， ，
， ，
，
，
当且仅当 时即 取等号，
，解得 ，
故 ，
故 的最大值为 ，
故答案为：
15、①. ②.
【解析】（1）分析可知内层函数 在 上为减函数，且对任意的 ， 恒成立，由此可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实数 的取值范围；
（2）分析可知 为二次函数 值域的子集，分 、 两种情况讨论，可得出关于实数 的不等式组，综合可得出实数 的取值范围.
20、（1） ， ；（2） 或
【解析】（1）根据题意，由 可得结合 ，解不等式 可得集合 ，
（2）根据题意，分 是否为空集2种情况讨论，求出 的取值范围，综合即可得答案
【详解】解：（1）根据题意，集合 ， ，
当 时， ，
，则 ，
（2）根据题意，若 ，
分2种情况讨论：
①，当 时，即 时， ， 成立；
②，当 时，即 时， ，
A. 或 B.
C. 或 D.
6．已知函数 的值域为 ，则实数m的值为（）
A.2B.3
C.9D.27
7．不论 为何实数，直线 恒过定点（）
A. B.
C. D.
8．满足 的角的集合为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：
1
2
4
5
6
123.136
15.552
【详解】（1）∵不等式 的解集为
∴ ， 是方程 的两个根
∴ ，解得 ．∴
则
∴存在 ，使不等式 成立，等价于 在 上有解，
而 在 时单调递增，∴
∴ 的取值范围为
（2）原方程可化为
令 ，则 ，则 有两个不同的实数解 ， ，
其中 ， ，或 ，
记 ，
则 ①，解得
或 ②，不等式组②无实数解
∴实数 的取值范围为
（2）若 的值域是 ，则实数 的取值范围是___________.
16．已知平面向量 ， ，若 ，则 ______
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的值.
18．设全集 ，已知函数 的定义域为集合A，函数 的值域为集合B.
（1）求 ；
（2）若 且 ,求实数a的取值范围.
考点：充分必要条件
2、C
【解析】由空间中直线与平面的位置关系逐项分析即可
【详解】当 时， 可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当 时， 可以平行，也可以相交，所以④不正确；若 ， ，则 ；若 ，则 ，故正确命题的序号是②③.
【点睛】本题考查空间中平面与直线的位置关系，属于一般题
3、B
【解析】用定义法进行判断.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与方程的根的关系，考查函数的单调性，考查利用函数性质解决方程解的情况，属于较难题.
22、（1） （2）
【解析】（1）取 中点 ，连结 、 ，则 是侧面 与底面 所成的二面角，由此能求出侧面 与底面 所成的二面角
（2）连结 ， ，则 是异面直线 与 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线 与 所成角的正切值
当 时，则有 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为：（1） ；（2） .
16、
【解析】求出 ，根据 ，即 ，进行数量积的坐标运算，列出方程，即可求解
【详解】由题意知，平面向量 ， ，则 ；
因为 ，所以 ，解得
故答案为
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中根据平面向量垂直的条件，得到关于 的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
19．设函数 .
（1）当 时，若对于 ，有 恒成立，求 取值范围；
（2）已知 ，若 对于一切实数 恒成立，并且存在 ，使得 成立，求 的最小值.
20．设集合 ， ，不等式 的解集为
（1）当a为0时，求集合 、 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围
21．已知函数 ，不等式 解集为 ，设
（1）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围；
【详解】解：（1）取 中点 ，连结 、 ，
正四棱锥 中， 为底面正方形的中心，
， ， 是侧面 与底面 所成的二面角，
侧棱 与底面 所成的角的正切值为
，
设 ，得 ， ， ，
，
，
侧面 与底面 所成的二面角为
（2） 为底面正方形的中心， 是 中点，
连结 ， ， 是 的中点， ，
是异面直线 与 所成角（或所成角的补角），
（2）根据集合的包含关系，列出相应的不等式，求得答案.
【详解】（1）由题意知 , ,则 ，
∴
（2）若 则 ；
若 则 ，
综上， .
19、 (1) (2)
【解析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为 恒成立，设 ，则 ，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.
（2）由题意，根据二次函数的性质，求得 ，进而利用基本不等式，即可求解.
故选：A.
6、C
【解析】根据对数型复合函数的性质计算可得；
【详解】解：因为函数 的值域为 ，所以 的最小值为 ，所以 ；
故选：C
7、C
【解析】将直线方程变形为 ,即可求得过定点坐标.
【详解】根据题意,将直线方程变形为
因为 位任意实数,则 ,解得
所以直线过的定点坐标为
故选:C
【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.
若 ，必有 ，
解可得 ，
综合可得 的取值范围为 或
【点睛】本题考查集合的包含关系的应用，（2）中注意讨论 为空集，属于基础题
21、（1） ；（2）
【解析】（1）由不等式 的解集为 可知 是方程 的两个根，即可求出 ，根据 的单调性求出其在 的最大值，即可得出m的范围；
（2）方程可化为 ，令 ，则 有两个不同的实数解 ， ，根据函数性质可列出不等式求解.
故选：B
11、D
【解析】由条件 可得A为直角，结合 ，可得解.
【详解】 ， = ，又 ，
为等腰直角三角形，
故选D.
【点睛】本题考查了向量数量积表示两个向量的垂直关系，考查了三角形的形状，属于基础题.
12、D
【解析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出
【详解】∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，
（2）若方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围
22．如图所示，正四棱锥 中， 为底面正方形的中心，侧棱 与底面 所成的角的正切值为
（1）求侧面 与底面 所成的二面角的大小；
（2）若 是 的中点，求异面直线 与 所成角的正切值；
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
【解析】若 ,则 ；若 ,则 ,推不出 ．所以“ ”是“ ”成立的充分不必要条件．故选A
②若 ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ，则
其中正确命题的序号是
A.①③B.①④
C.②③D.②④
3．已知M，N都是实数，则“ ”是“ ”的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
4．已知集合 ， ，则集合 （）
A. B.
C. D.
5．关于 的一元二次不等式 的解集为（）
∴a＞b＞c.
故选D
【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.
【详解】由辅助角公式可知 ， ， ， ，
当 ， 时取最大值，
即 ，
，
故答案为 .
14、 ##1.5
【解析】由 化简得 ，再由基本不等式可求得 ，从而确定 最大值
【详解】（1）据题意知，对于 ，有 恒成立，
即 恒成立，因此 ，
设 ，所以 ，
函数 在区间 上是单调递减的，
，
（2）由 对于一切实数 恒成立，可得 ，
由存在 ，使得 成立可得 ，
，
，当且仅当 时等号成立，
【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据三角函数相关公式化简求解；
（2）根据三角恒等变换化简求解.
【小问1详解】
解：
，
由 ，得 ，解得
又 ，所以 .
【小问2详解】
解：若 ， ，则 ，
因为 ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以
18、（1）{1}；（2）
【解析】（1）求出函数 的定义域为集合 ，函数 的值域为集合 ，即可求得答案；
8、D
【解析】利用正弦函数的图像性质即可求解.
【详解】 .
故选：D.
9、C
【解析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.
【详解】∵
∴ ， ， ， ,
又函数 的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可得 在区间 上一定有零点
故选：C.
10、B
【解析】由定义域和 ，使用排除法可得.
【详解】 的定义域为 ，故AD错误；BC中，又因为 ，所以 ，故C错误，B正确.