高中数学必修二 8 5 3 平面与平面平行(第2课时)平面与平面平行的性质 导学案新

【新教材】 8.5.3 平面与平面平行（人教A 版）
第2课时 平面与平面平行的性质
1．理解平面和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.
2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
1.逻辑推理：探究归纳平面和平面平行的性质定理，线线平行、线面平行、面面平行之间的转化；
2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.
重点：平面和平面平行的性质定理.
难点：平面和平面平行的性质定理的应用.
一、 预习导入
阅读课本141-142页，填写。

1、直线与平面平行的性质定理
探究1:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?
探究2:平行于同一个平面的两个平面什么关系?
1.若a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是()
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行或异面或相交
2.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中()
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
3.过平面外一点作一平面的平行线有条.
4.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′与△ABC的面积比为.
题型一平面与平面平行的性质定理的应用
例1 夹在两个平行平面间的平行线段相等.
跟踪训练一
1、如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交
点,连接NF.求证:NF∥CM.
题型二 平行关系的综合应用
例2 如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,P,Q 分别是BC,C 1D 1,AD 1
,BD 的中点.
(1)求证:PQ ∥平面DCC 1D 1
;
(2)求PQ 的长;
(3)求证:EF ∥平面BB 1D 1
D.
跟踪训练二
1、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1
上的点,问:当点
Q 在什么位置时,平面D 1
BQ 与平面PAO 平行?
1.下列命题中不正确的是()
A.两个平面α∥β,一条直线a平行于平面α,则a一定平行于平面β
B.平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β
C.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行
D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线
2.已知两条直线l,m,α,β是两个平面,下列命题正确的是()
A.若α∥β,l∥α,则l∥β
B.若l∥α,m∥α,则l∥m
C.若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m
D.若α∥β,l⊂α,则l∥β
3.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的()
A.一个侧面平行
B.底面平行
C.仅一条棱平行
D.某两条相对的棱都平行
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中过BD1的平面,分别与AA1,CC1交于M,N,则四边形BND1M的形状为.
5.如图所示,已知正三棱柱(底面是正三角形,侧面是矩形)ABC-A′ B′C′中,D是AA′上的点,E是B′C′的中点,且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置,并给出证明.
答案
小试牛刀
1．D.
2．D.
3．无数.
4. 4:49.
自主探究
例1 【答案】证明见解析
【解析】如图,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.求证：AB=CD.
证明： 因为AB//CD，
所以过AB，CD可作平面γ，
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.
因为α//β，所以BD//AC.
因此四边形ABCD是平行四边形.
所以AB=CD
跟踪训练一
1、【答案】证明见解析
【解析】因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,
又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,
同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,
又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC.
例2 【答案】（1）见解析（2 a. (3)见解析.
【解析】(1)法一 如图,连接AC,CD 1
.
因为P,Q 分别是AD 1
,AC 的中点, 所以PQ ∥CD 1
又PQ ⊄平面DCC 1D 1
, CD 1⊂平面DCC 1D 1
, 所以PQ ∥平面DCC 1D 1
. 法二 取AD 的中点G,连接PG,GQ,
则有PG ∥DD 1
,GQ ∥DC,且PG∩GQ=G, 所以平面PGQ ∥平面DCC 1D 1
. 又PQ ⊂平面PGQ,
所以PQ ∥平面DCC 1D 1
.
(2)由(1)易知PQ=1
2D 1 a. (3)法一 取B 1D 1的中点O 1,连接FO 1,BO 1,则有FO 112B 1C 1. 又BE 12B 1C 1,所以BE FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形,
所以EF ∥BO 1,
又EF ⊄平面BB 1D 1D,BO 1⊂平面BB 1D 1D,所以EF ∥平面BB 1D 1D.
法二 取B 1C 1的中点E 1,连接EE 1,FE 1,则有FE 1∥B 1D 1,EE 1∥BB 1,且FE 1∩EE 1=E 1,
所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D.
又EF ⊂平面EE 1F,所以EF ∥平面BB 1D 1D.
跟踪训练二
1、【答案】证明见解析
【解析】如图,设平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,点M 在AA 1上,平面D 1BQ∩平面BCC 1B 1=BQ,平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1,由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1
M.
假设平面D 1BQ ∥平面PAO,由平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,平面PAO∩平面ADD 1A 1=AP,可得AP ∥D 1M,所以BQ ∥D 1M ∥AP.因为P 为DD 1
的中点, 所以M 为AA 1的中点,Q 为CC 1
的中点, 故当Q 为CC 1的中点时,平面D 1
BQ ∥平面PAO. 当堂检测
1-3. ADC
4. 平行四边形.
5．【答案】证明见解析.
【解析】D点为AA′的中点.证明如下:
如图,取BC的中点F,连接AF,EF,
设EF与BC′交于点O,连接DO,
易证A′E∥AF,A′E=AF.
易知四边形A′EFA为平行四边形.
因为A′E∥平面DBC′,A′E⊂平面A′EFA,
且平面DBC′∩平面A′EFA=DO,
所以A′E∥DO.因为EC′∥BF,则EC′=BF,所以EO=OF.在平行四边形A′EFA中,因为O是EF的中点,
所以D点为AA′的中点.。