2023高考数学北京卷

ӗݧ⋆ǕؘϝҨɈॷůǡ
2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
̾Ɠ
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

ljĂˌœ（选择题共40分）
Ă뺮˞Պʚդ10Ňʚ뻟ƲŇʚ4œ뻟դ40œ뺯ćƲŇʚԉŜĀ˗ċ˞ֻġ뻟˞Ŝ฼ʸʚϝđ̂ĀĂֻ.
1.已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x−1<0}，则M∩N=
A.{x|−2≤x<1}
B.{x|−2<x≤1}
C.{x|x≥−2}
D.{x|x<1}
2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√
3).则z的共轭复数z=
A.1+√
3i B.1−
√
3i C.−1+
√
3i D.−1−
√
3i
3.已知向量a,b满足a+b=(2,3)，a−b=(−2,1)，则|a|2+|b|2=
A.−2
B.−1
C.0
D.1
4.下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是
A.f(x)=−ln x
B.f(x)=1
2x
C.f(x)=−
1
x
D.f(x)=3|x−1|
5.在(
2x−
1
x
)5
的展开式中，x的系数是
A.−40
B.40
C.−80
D.80
6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x=−3的距离为5，则|MF|=
A.7
B.6
C.5
D.4
7.在△ABC中，(a+c)(sin A−sin C)=b(sin A−sin B)，则∠C=
A.π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
8.若xy=0，则“x+y=0”是“x
y
+
y
x
=−2”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF ，四边形ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，△ADE 和△BCF 是全等的等腰三角形.若AB =25m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形
所在的面与底面夹角的正切值均为√14
5.某学习小组为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则
所需灯带的长度为
A
B C
D E
F A.102m B.112m C.117m D.125m
10.数列{a n }满足a n +1=1
4
(a n −6)3+6，下列说法正确的是
A.若a 1=3，则{a n }是递减数列，∃M ∈R ，使得n >m 时，a n >M
B.若a 1=5，则{a n }是递增数列，∃M ≤6，使得n >m 时，a n <M
C.若a 1=7，则{a n }是递减数列，∃M >6，使得n >m 时，a n >M
D.若a 1=9，则{a n }是递增数列，∃M ∈R ，使得n >m 时，a n <M
ljȕˌœ（非选择题共110分）ȕ뺮ฒ˭ʚդ5Ňʚ뻟ƲŇʚ5œ뻟դ25œ뺯
11.已知函数f(x)=4x+log2x，则f(1
2
)=.
12.已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,0)，离心率为√
2，则C的方程为.
13.已知命题p：若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明命题p为假命题的一组α,β
的值可以是α=，β=.
14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”
.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=12,a9=192，则a7=，数列{a n}的所有项的和
为.
15.设a>0，函数f(x)=
x+2,x<−a,
√
a2−x2,−a≤x≤a,
−
√
x−1,x>a.
，给出下列四个结论：
x f(x)在区间(a−1,+∞)上单调递减；y当a≥1时，f(x)存在最大值；
z设M(x1,f(x1))(x1≤a)，N(x2,f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；
{设P(x3,f(x3))(x3<−a)，Q(x4,f(x4))(x4≥−a)，若|PQ|存在最小值，则a的取值范围为(
0,
1
2
]
.
其中所有正确的序号有.
Ɓ뺮̛٫ʚդ6Ňʚ뻟դ85œ뺯̛٫ˆϷŜNJϹĸdž뻟ӲΚϳ቟ͱըdžĿԙ뺯16.（本小题14分）
如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1，PC=√3.
（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角A−PC−B的大小.
A
B C
P
17.（本小题13分）
已知函数f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(
ω>0,|φ|<
π
2
)
.
（1）若f(0)=−√
3
2
，求φ的值；
（2）若f(x)在[
−
π
3
,
2π
3
]
上单调递增，且f(
2π
3
)=1，再从条件x、条件y、条件z这三个条件中选
择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值.
条件x：f(π
3
)=1；条件y：f(−
π
3
)=−1；条件z：f(x)在
[
−4π
3
,−
π
3
]
上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题13分）
为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示，在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
时段价格变化
第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+
第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+
用频率估计概率.
（1）试估计该农产品“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”
和“不变”的概率估计值哪个最大.（结论不要求证明）
19.（本小题15分）
椭圆E:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)，离心率为
√
5
3
，点A,C分别是E的上、下顶点，点B,D分别是E
的左、右顶点，|AC|=4.
（1）求E的方程；
（2）点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与BC交于点M，直线PA与直线y=−2交于点N，求证：MN//CD.
20.（本小题15分）
设函数f(x)=x−x3e ax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1.
（1）求a,b的值；
（2）设g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间；
（3）求f(x)的极值点的个数.
21.（本小题15分）
数列{a n},{b n}是两个m项的有穷数列，且∀a i,b i∈{1,2,···,m}，i∈{1,2,···,m}.记A n,B n分别为数列{a n},{b n}的前n项和，且A0=B0=0.
另记r k=max{i|B i≤A k,k∈{0,1,···,m}}.
（1）若a1=2,a2=1,a3=2；b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；
（2）若a1≥b1，且2r i≤r i−1+r i+1，求r n；
（3）证明：存在0≤p<q≤m，0≤r<s≤m，使得A p+B s=A q+B r.
뻛ҨŀӪκȝ٫ޯ٫ć٫ʚجĘ뻟ćɈਲĘǟ٫Ƅв뻜。