直击高考数列求和

直击高考数列求和
数列求和是高考必考内容，数列求和大体有以下几种方法：
一、分组相加法
如果一个数列的第n项能分解成多项的代数和，各项组成等差、
等比数列分别求和即可。

例1、（2008年浙江省高考题）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列，求：（1）P，q的值；
（2）数列{x n}前n项和S n的公式。

分析：（1）通过x1，x4，x5成等差数列可求P，q的值；（2）把P，q 的值代人x n=2n p+nq，x n可分为两部分。

一部分组成等差数列，一部分组成等比数列，分别求和得S n。

解：
（1）由x1=3，得2p+q=3
又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，得3+25p+5q=25p+8q
解得p=1，q=1
（2）S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=2n+1-2+
2)1
(
n
n
点评：本题求和就是分别由等比、等差数列求和相加。

二、裂相相消法
如果一个数列的第n项能裂为两项的差，可用此法。

相加，消中间项，即可求和。

例2 (1)（2008年江西省高考题）等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，
前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1=1，且b 2S 2=64，b 3S 3=960，
①
求a n 与b n ； ② 求n
S S S 11121+++ 。

（2）数列{a n }的通项公式是a n =
11
++n n ，若前n 项和为10，则项
数为（ ） A 、11 B 、99 C 、120 D 、121
（3）已知{a n }的通项a n =lg ()1
1n +，求{a n }的前n 项和S n 。

解：（1）本题考查数列的基础知识及裂项相消法。

① 设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，
等比数列{b n }的公比为q ，
则a n =3+（n-1）d ，S n =3n+
2)1(-n n d ， b n =1·q n-1=q n-1
又∵b 2S 2=64，b 3S 3=960，
∴⎩⎨⎧=+=+960
)39(64
)6(2d q d q 解得⎩⎨
⎧==82q d ∴a n =2n+1，b n =8n-1
② 由（1①得a n =2n+1
∴S n =3n+
2)1(-n n ×2=3n+n 2-n=n 2+2n=n （n+2） ∴n S 1=)
2(1+n n =21（n 1-21+n ）
则n
S S S 11121+++ =21[（1-31）+（21-41）+（31-51）+…+（11-n -11+n ）+（n 1-
21+n ）]=21（1+21-11+n -21+n ）=21（23-11+n -21+n ） =43-
)1(21+n -)2(21+n =43-)2)(1(232+++n n n ∴
n S S S 11121+++ =43-)
2)(1(232+++n n n （2）∵a n =11
++n n =n n -+1
∴S n =（2-1）+（3-2）+…+（n n -+1）=11-+n ∴11-+n =10，n=120，选C
（3）∵a n =lg n
n 1+=lg （n+1）-lgn ∴S n =（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+（lg （n+1）-lgn ）=lg （n+1）-lg1=lg （n+1） 点评：常见裂项公式有①
nm p =n m p -（n 1-m 1） （m ＞n ） ②
n k n p ++=k
p （n k n -+）；③lg n n 1+=lg （n+1）-lgn
三、乘公比错位相减法
若{a n }组成等差数列，{b n }组成等比数列，求{a n b n }的前n 项和的方法是给S n 等式两边同乘{b n }的公比后两等式相减便可求和。

例3、（2008年安徽省高考题）设数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=ca n +1-c ， n ∈N*，其中a ，c 为实数，且c ≠0
（1） 求数列{a n }的通项公式；
（2） 设a=21，c=21，b n =n （1-a n ），n ∈N*，求数列{b n }的前n 项和
S n 。

（3） （略）
分析：本题主要考查数列的概念，数列通项公式的求法以及数列求和，考查运算能力，综合运用知识解决问题的能力
解：（1）∵a n+1-1=c （a n -1）
∴当a ≠1时，{a n -1}是首项为a-1，公比为c 的等比数列
∴a n -1=（a-1）c n-1，即a n =（a-1）c n-1+1
当n=1时，a n =a 仍满足上式。

∴数列{a n }的通项公式为a n =（a-1）c n-1+1（n ∈N*）
（2）由（1）得b n =n （1-a ）c n-1=n （2
1
）n ，
S n =b 1+b 2+…+b n =21+2（21）2+…+n （2
1）n ① 21S n =（21）2+2（21）3+…+（n-1）（21）n +n （2
1）n+1 ② ∴①-②得21S n =21+（21）2+…+（21）n -n （2
1）n+1
∴S n =1+21+（21）2+…+（21）n-1-n （21）n =2[1-（21）n ]-n （2
1）n ∴S n =2-（2+n ）（21）n 点评; 运用乘公比错位相减法求数列和时，特别注意①-②得等式右边最后一项的符号。

如上例题是“-”号。

四、并项求和法
对于正负相间项的数列，在求其前n 项和时，有时可根据其规律，若干项并为一组，从而求和
例4 （2008年湖北省质检题）求和：S n =-1+3-5+7-…+（-1）n （2n-1）。

分析：分n 为偶数、奇数讨论求和。

解：当n 为偶数时，S n =（-1+3）+（-5+7）+…——[-（2n-3）+（2n-1）]=2+2+…+2=2
n ·2=n
当n 为奇数时，则n-1为偶数
S n =-1+3-5+7-…-（2n-1）=-1+（3-5）+（7-9）+……+[（2n-3）-（2n-1）]=-1+（-2）+（-2）+…+（-2）=-1+（-2）21-n =-1-n+1=-n 点评：对于正负相间项的数列，在求其前n 项和时，分n 为偶数、奇数讨论求和。

练习题
1、 求和
（1） 121+341+581+…+[（2n-1）+
n 21] （2） 4+44+444+……+44…4 2、已知数列{a n }中，a n =
2343
n n ++，求S n 3、求1+6+27+…+n ·3n-1
练习题答案
解：（1）原式=[1+3+5+…+（2n-1）]+[
21+221+…+n 21] =2)121(-+n n +211])21(1[21--n =n 2+1-（21）n } n 个
（2）∵44…4=9
4（10n -1）
∴原式=94（101+102+…+10n ）-94n=94·101)101(10--n -94n=8140（10n -1）-94n 2、令
)3)(1(3++n n =1+n A -3+n B ，则)3)(1(3++n n =)3)(1()3()(++-+-n n B A n B A ∴⎩⎨⎧=-=-3
30B A B A →A=B=23，∴a n =23（11+n -31+n ）， ∴S n =23[（21-4
1）+（31-51
）+（41-61）+…+（
11-n -11+n ）+（n 1-21+n ）+（11+n -31+n ）] = 23（21+31-21+n -31+n ）=45-)
3)(2(2156+++n n n 3、解析：∵各项都可写成n ·3n-1，其中1，2，…n 组成等差数列，3，31，32，…，3n-1组成等比数列，故可用乘公比错位相减法求S n 。

S n =1·30+2·31+3·32+…+n ·3n-1，3S n =1·31+2·32+…+3·33+…+（n-1）·3n-1+n ·3n
（1-3
）S n =1·30+（31+32+…+3n-1）-n ·3n =1+3
1)31(31---n -n ·3n =-21+213n -n ·3n ， ∴S n =41+（2n -4
1）3n。