2017-2018学年高中数学 课时跟踪检测(十二)数列求和 新人教B版必修5

课时跟踪检测（十二） 数列求和
层级一 学业水平达标
1．已知a n ＝(－1)n
，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( ) A ．1,1 B ．－1，－1 C ．1,0
D ．－1,0
解析：选D S 9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，
S 10＝S 9＋a 10＝－1＋1＝0.
2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1
n ＋n ＋1
，若前n 项和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120
D ．121
解析：选C ∵a n ＝
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ，
∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，
令n ＋1－1＝10，得n ＝120.
3．已知数列{a n }，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前10项和等于( ) A ．130 B ．120 C ．55
D ．50
解析：选C 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1
a n
＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以a n ＝2×2
n －1
＝2n
.
所以b n ＝log 22n
＝n .
则数列{b n }的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.故选C. 4．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)
n －1
(4n －3)，则S 15＋S 22－
S 31的值( )
A ．13
B ．－76
C ．46
D ．76
解析：选B ∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14
(4×15－3)＝29.
S 22＝(－4)×11＝－44.
S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.
∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.
5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1
，…的前99项和为( )
A ．2100
－101 B ．299
－101 C ．2100－99
D ．299
－99
解析：选A 由数列可知a n ＝1＋2＋22
＋…＋2
n －1
＝1－2n
1－2
＝2n －1，所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22
－1)＋…＋(299
－1)＝2＋22
＋…＋299
－99＝
－299
1－2
－99＝2100
－101.
6．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前4项和为
________．
解析：∵等比数列{a n }中，a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，∴3q 2＝2q ＋q 3
.又∵q ≠1，∴q ＝2，∴a n
＝2
n －1
，∴
1
a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1
，即⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1是首项为12，公比为14的等比数列， ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1441－14＝85
128.
答案：85
128
7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6
＝________. 解析：S 6S 3
＝3，故q ≠1， ∴
a 1
－q 6
1－q
×
1－q a 1
－q
3
＝1＋q 3
＝3， 即q 3
＝2.
所以S 9S 6＝a 1－q 91－q ×1－q a 1－q 6＝1－23
1－22＝73
.
答案：73
8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
解析：∵a n ＋1－a n ＝2n
，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2
n －1
＋2
n －2
＋…＋22
＋2＋2＝2－2n
1－2
＋2＝2n －2＋2＝2n
.
∴S n ＝2－2n ＋1
1－2
＝2n ＋1
－2.
答案：2
n ＋1
－2
9．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 2
2＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，d >0.由题意得(2＋d )2
＝2＋3d ＋8，解得d ＝2. 故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n . (2)∵b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n
， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝(2＋22
)＋(4＋24
)＋…＋(2n ＋22n
) ＝(2＋4＋…＋2n )＋(22
＋24
＋ (22)
) ＝
＋2n n
2
＋
－4n
1－4
＝n (n ＋1)＋
4
n ＋1
－43
. 10．在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝
a n
2
n －1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)因为d ＝
a 7－a 3
7－3
＝1，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝n ＋1.
(2)b n ＝a n 2n －1＝n ＋1
2
n －1，
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋42
2＋…＋n ＋1
2
n －1. ①
12T n ＝22＋322＋…＋n 2n －1＋n ＋12
n ， ②
由①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1
22＋…＋12n －1＋1－n ＋12n
＝1－1
2n
1－12＋1－n ＋12n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－n ＋12n
＝3－
n ＋3
2
n
，所以T n ＝6－
n ＋3
2
n －1
.
层级二 应试能力达标
1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )
A ．2
n －1
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1 D.12
n －1 解析：选B 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得3S n ＝2S n
＋1
，所以
S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，故S n ＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －
1
.
2．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋4
5，…，那么数列{b n }＝⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1前n 项的和为( )
A ．4⎝
⎛
⎭⎪⎫1－1n ＋1 B ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2－1n ＋1
C ．1－
1n ＋1
D.12－1n ＋1
解析：选A ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n
n ＋1＝
n n ＋
2n ＋1
＝n
2
， ∴b n ＝
1
a n a n ＋1＝
4n
n ＋
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1. ∴S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－1
4＋…＋1n －1n ＋1
＝4⎝
⎛
⎭
⎪⎫1－
1n ＋1. 3．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )
A ．11×(1.15
－1)a 亿元 B ．10×(1.15
－1)a 亿元 C ．11×(1.14－1)a 亿元
D ．10×(1.14
－1)a 亿元
解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为1.1a ，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a ，公比为1.1.所以其前5项和为S 5＝1.1a
－1.1
5
1－1.1
＝11×(1.1
5
－1)a 亿元，故选A.
4．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )
A ．1 033
B ．1 034
C ．2 057
D ．2 058 解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2
n －1
，
于是ab n ＝b n ＋1，
因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20
＋21
＋…＋29
＋10＝1－2
10
1－2
＋10＝1 033.
5．求和：S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋1＋12＋14＋18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1
4＋…＋12n －1＝________.
解析：被求和式的第k 项为：
a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫12k
1－12＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12k . 所以S n ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋1
2
3＋ (12)
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n －12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n
1－12
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2n ＋
12
n －1
－2. 答案：2n ＋
12
n －1
－2
6．已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1＝0，公差d ≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．
解析：设数列{a n }的公比为q ，则{a n }的前三项分别为1，q ，q 2
，{b n }的前三项分别为0，
d,2d ，于是⎩⎪⎨⎪
⎧
q ＋d ＝1，q 2
＋2d ＝2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
q ＝0，d ＝1
(舍去)或⎩⎪⎨
⎪
⎧
q ＝2，d ＝－1.
于是新数列的前10项和为(a 1
＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 10＋b 10)＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝1－2
10
1－2
＋10×0＋
－2
×(－1)＝978.
答案：978
7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列， 且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13. (1)求{a n }，{b n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 的前n 项和S n .
解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且
⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋2d ＋q 4
＝21，1＋4d ＋q 2
＝13，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
d ＝2，
q ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1
＝2
n －1
.
(2)a n b n ＝
2n －1
2n －1
，
S n ＝1＋32
＋52
2＋…＋
2n －32n －2＋2n －12
n －1， ① 2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －1
2
n －2.
②
②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －1
2n －1
＝2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1
22＋…＋12n －2－2n －12n －1
＝2＋2×1－1
2n －1
1－12
－2n －12n －1＝6－2n ＋3
2n －1
.
8．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2
－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n 的前n 项和为S n ，求证：S n <2.
解：(1)方程x 2
－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝1
2
n ＋1.
(2)证明：设⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋2
2n ＋1，则
S n ＝32
2＋42
3＋…＋n ＋12
n ＋n ＋2
2
n ＋1，
12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22
n ＋2.
两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋1
24＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2.
所以S n ＝2－n ＋4
2
n ＋1
.
∴S n <2.。