3.2.2 复数代数形式的乘除运算及其几何意义
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
3.2.2复数代数形式的乘除运算(1)
∴ z z 2a R
∴ z 1 是实数. z
2.设 z 为复数,且| z || z 1 | 1，求 | z 1 | 的值.
解：设 z a bi(a，b R) z 1 (a 1) bi，且| z || z 1| 1
a2 (a
b2 1)2
1 b2
1
a2
a2
b2 b2
1 2a
⑵z1·z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
y
y
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
(a,b)
o
x
(a,-b)
(0,b)
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)
o
x
o
x
(a,o)
(0,-b)
=a2-abi+abi-bi2
z1=a+bi
z1=bi
z1=a
=a2+b2
得出结论：在复平面内，共
轭复数z1 ,z2 所对应的点
解方程组,得
a
1 2
0
b2
3 4
| z 1|| (a 1) bi | (a 1)2 b2 ( 1 1)2 3 3 24
注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数 形式 a＋bi（a，b∈R），而后利用已知条件列出关于 a，b 的方程组，求解出 a，b，也即求得了这个复数，在这里， 方程的思想方法得到了充分运用.
(
12 212
23 232i
2
i1)2
4
(3i
2
1 2
2
3
4
23 i) 2
2
( 10; 3 i)( 1 3 i) ( 1)2 ( 3 i)2
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(A版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（A版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（A版）必修一目录第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示1.2.1函数的概念1.2.2函数的表示法阅读与思考函数概念的发展历程1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值1.3.2奇偶性信息技术应用用计算机绘制函数图象实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（I）2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算。
2.1.2指数函数及其性质信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数2.2.1对数与对数运算阅读与思考对数的发明2.2.2对数函数及其性质探究与发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术求方程的近似解3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2函数模型的应用实例信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业小结复习参考题必修二目录第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.1.2简单组合体的结构特征1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图1.2.3空间几何体的直观图阅读与思考画法几何与蒙日1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2球的体积与表面积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法小结复习参考题第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定探究与发现魔术师的地毯3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离阅读与思考笛卡尔与解析几何小结复习参考题第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程4.1.2圆的一般方程阅读与思考坐标法与机器证明4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系4.3．2空间两点间的距离公式信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆小结复习参考题必修三目录第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构1.2基本算法语句1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2.1随机抽样阅读与思考一个著名的案例2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样阅读与思考广告中数据的可靠性2.1.3分层抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征阅读与思考生产过程中的质量控制图2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1随机事件的概率3.1.1随机事件的概率3.1.2概率的意义3.1.3概率的基本性质阅读与思考天气变化的认识过程3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2（整数值）随机数（random numbers）产生3.3几何概型3.3.1几何概型3.3．2均匀随机数的产生阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修四目录第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.2.2同角三角函数的基本关系1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象1.4.2正弦函数、余弦函数的性质探究与发现函数y=Asin(ωx+ψ)及函数y=Acos(ωx+ψ)的周期探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质1.4.3正切函数的性质与图象信息技术应用利用正切线画函数y=tanx，x∈（—，）的图象1.5函数函数y=Asin(ωx+ψ)的图象阅读与思考振幅、周期、频率、相位1.6三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义2.2.3向量数乘运算及其几何意义2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3．3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2简单的三角恒等变换小结复习参考题必修五目录第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1．1.2余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1.3实习作业小结复习参考题第二章数列2.1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列信息技术应用估计的值2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3.4基本不等式：≤小结复习参考题选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）1.3.3非（not）阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程探究与发现为什么截口曲线是椭圆2.1.2椭圆的简单几何性质信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.2双曲线2.2．1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的简单几何性质信息技术应用探究与发现为什么y=± x是双曲线－=1的渐近线2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3．2抛物线的简单几何性质探究与发现为什么二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其作用小结复习参考题第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念3.1.3导数的几何意义3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数3.3.2函数的极值与导数3.3.3函数的最大（小）值与导数信息技术应用图形技术与函数性质3.4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理2.1.2演绎推理阅读与思考科学发现中的推理2．2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义3．2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2复数代数形式的乘除运算小结复习参考题第四章框图4．1流程图4．2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）1.3.3非（not）阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程2.2椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程探究与发现为什么截口曲线是椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3双曲线2.3．1双曲线及其标准方程2.3.2双曲线的简单几何性质信息技术应用探究与发现为什么y=± x是双曲线－=1的渐近线2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程2.4．2抛物线的简单几何性质探究与发现为什么二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象是抛物线阅读与思考一、圆锥曲线的光学性质及其作用二、圆锥曲线的离心率与统一方程小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算3.1.3空间向量的数量积运算3.1．4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念1.1. 3导数的几何意义1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数1.3.2函数的极值与导数1.3.3函数的最大（小）值与导数信息技术应用图形技术与函数性质1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念信息技术应用曲边梯形的面积1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用实习作业走进微积分小结复习参考题第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理阅读与思考平面与空间中的余弦定理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义3.2.2复数代数形式的乘除运算阅读与思考代数基本原理小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.2二项分布及其应用2.2.1条件概率2.2.2事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布信息技术应用用计算机研究正态曲线随着μ，σ变化而变化的特点对正态分布的影响信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-1【没有找到书】第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质信息技术应用四直角三角形的射影定理第一讲小结第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-3选修4-4第一讲坐标系一平面直角坐标系1.平面直角坐标系2.平面直角坐标系中的伸缩变换二极坐标系1.极坐标系的概念2.极坐标和直角坐标的互化三简单曲线的极坐标方程1.圆的极坐标方程2.直线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介1.柱坐标系2.球坐标系阅读与思考笛卡尔、费马与坐标方法第二讲参数方程一曲线的参数方程1.参数方程的概念2.圆的参数方程3.参数方程和普通方程的互化二圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程信息技术应用圆锥曲线参数方程中参数的几何意义3.抛物线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线1.渐开线2.摆线阅读材料摆线及其应用学习总结报告选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式阅读与思考法国科学家柯西二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告附录一连分数附录二分数法德最优性证明附录三常用正交表选修4-8选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例。
高中数学第五章复数3.1复数的三角表示式3.2复数乘除运算的几何意义课件北师大版必修第二册
π
6
,于是
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数三角形式的乘法运算
例2计算下列各式
(1) 2 cos
π
12
π
+ isin
π
· 3 cos
12
π
(2)3 cos 4 + isin 4 ·7 cos
π
π
(3) 2 cos 3 + isin 3
4
;
(4)(cos 36°+isin 36°)5.
3π
4
5π
且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
π
3π
显然当a>0时,arg a=0,arg(-a)=π,arg(ai)=2 ,arg(-ai)= 2 .
如果z=0,那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量),它的方向是
任意的,所以复数0的辐角也是任意的.
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)复数的三角形式的特征:
6
i= 2 -1 −
2
2
3
2
i = 2(-cos 60°-isin 60°)
= 2(cos 240°+isin 240°).将绕点 O 按顺时针方向旋转 120°,
然后将所得向量的模伸长到 2 倍,则所得向量对应的复数为:
1
2(cos 240°+isin 240°)÷2(cos 120°+isin 120°)
=3(0+i)=3i;
(2)原式=9(cos 360°+isin 360°)=9(1+0)=9.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
2
设 z=- 2 −
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算说课稿说课教师：张晶晶一教材分析1、教材的地位和作用《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。
前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。
它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。
2．教学重点与难点教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。
3. 教学目标（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。
（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
二教法分析1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。
3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。
2022版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修2_
复数z,z1,z2和自然数n,m,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·
=z2)n
1 ·2 .
知识梳理
【做一做1-1】 复数z1=2+i,z2=1-i,那么z=z1·z2在复平面内对
应的点位于(
)
A.第一象限 B.第二象限
=(-8-8 3i)(2-2
=-16+16 3i-16
(4)(方法 1)
=
2i 4
-2i
3 − i)2]3=(2-2 3i)3
3i)
3i)
3i-48=-64.
1+i 8
1-i
=
4
1+i 2
1-i
= (-1)4=1.
1+i
(1+i)2
(方法 2)因为 1-i = (1-i)(1+i) =
所以
1+i 8
=
21-28i+3i-4i 2
25
(i-2)(i-1)
(4)
=
(1+i)(i-1)+i
-2-i+6i+3i 2
5
(5)原式 =
=
=
=
25-25i
= 1-i.
25
2
i -i-2i+2
i-1+i 2 -i+i
-5+5i
=
1-3i
-2+i
=
(1-3i)(-2-i)
(-2+i)(-2-i)
= −1+i.
5
(-1+ 3i)2 (-1+ 3i)
3.2.2复数代数形式的乘除运算
������＋������ ������＋������������
•
＝((������������＋＋���������������)���)((������������－－���������������������)���)
＝
������������－������������������＋������������－������������������
3.2.2 复数代数形式的 乘除运算
第4课时 复数代数形式 的乘除运算
• 两个实数的积、商是一个实数，那么两 个复数的积、商是怎样的?怎样规定两个 复数的乘、除运算，才能使在复数集中 的乘法、除法与原实数集中的有关规定 相容?复数的加减运算把i看作一个字母， 相当于多项式的合并同类项，那么复数 乘法可否像多项式乘法那样进行呢?
＝
������������－������－������������＋������ ������－������＋������������－������＋������
•
＝－������－������＋������������������
＝
(������－������������)(－������－������) (－������＋������)(－������－������)
第4课时 复数代数形式 的乘除运算
• 2.复数的除法运算
• 例2计算:(1)(������－������������)(������������＋＋������������)������＋������＋������������;
• (2)(������(＋������－������)���(���)������－(������－������)���＋���) ������; (3)(－(������������＋＋������)������������������)������ － －������＋������＋������������������.
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
两个复数 z1z2 相乘时,把向量 OZ1 绕点O 按逆时针方
向旋转角 2 (如果2 0 ，就要把 OZ1 绕点O 按顺时针方向
旋转| 2 | )
再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ， OZ 表示的复
数就是积 z1z2 .这是复数乘法的几何意义.
2.复数三角形式的除法运算的几何意义
类比复数三角形式的乘法的几何意义,你能不能得出复数三角形式的除法
课后作业
请完成《7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》的 课后作业
(1) (a bi)(c di)
(2) (a bi) (c di)
ac adi bci bd (ac bd) (ad bc)i
a bi (a bi) (c di) c di (c di) (c di)
分子、分母都乘
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
模相除，辐角相减
2i
例1（3）计算
2 (cos i sin )
4
4
.（课本89页练习2）
代数形式
三角形式
分析：两个复数有一个是代数形式，另一个是三角形式，这道题如何运算呢？
处理方法：把两个复数的表示形式统一为三角形式或代数形式.
方法一 化为代数形式进行运算
2 (cos i sin ) 2 ( 2 2 i)
角主值是 .
-2
O
巩固练习2
将复数 1 3i 所表示的向量绕原点 O按逆时针方向旋转角 (0 2 )，
所得的向量对应的复数为-2，则 =
.
解：由题意得 (1 3i)(cos i sin ) 2
即
2(cos
3
i
sin
3
复数代数形式的乘除运算及其几何意义
3+i 1.(2010课标)已知复数z = ,则|z|( 2 (1 − 3i ) 1 1 A. B. C.1 D.2 的除法法则
先把除式写成分式的形式, 先把除式写成分式的形式,再把分子 与分母都乘以分母的共轭复数, 与分母都乘以分母的共轭复数,化简后 写成代数形式(分母实数化).即 写成代数形式(分母实数化).即 ).
(a + bi )(c − di ) (ac + bd ) + (bc − ad )i = = (c + di )(c − di ) c2 + d 2
(3)共轭复数：实部相等，虚部互为 共轭复数：实部相等， 共轭复数 相反数的两个复数叫做互为共轭复数 互为共轭复数. 相反数的两个复数叫做互为共轭复数 复数Z = a + bi. 的共轭复数记做 Z 当复数 有 的虚部b=0时 Z = a + bi 的虚部 时，
Z = a − bi.
Z = Z.
即实数的共轭复数仍是它本身. 即实数的共轭复数仍是它本身
3.2《复数代数形式的乘除运算》
复习： 复数相加(减),就是把实部与实部、虚部与虚部分别 相加减,即:
( a + bi ) ± (c + di ) = ( a ± c ) + (b ± d )i
注意:复数的加减法类似于多项式的合并, 符合实数的交换律和 结合律，无需死记硬背公式.
1.复数的乘法与除法 复数的乘法与除法
复数的乘法满足交换律、结合律以 复数的乘法满足交换律、结合律以 交换律 及乘法对加法的分配律. 及乘法对加法的分配律. 分配律 即对任何z 即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
福建省厦门市高中数学教材人教A版目录(详细版)
2.2.2反证法
第三章数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念
3.3.1数系的扩充和复数的概念
3.3.2复数的几何意义
3.2复数代数形式的四则运算
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
3.2.2复数代数形式的乘除运算
第四章框图
4.1流程图
4.2结构图
理科必考内容：
1.4.2存在量词
1.4.3含有一个量词的命题的否定
第二章圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程
2.1.2求曲线的方程
2.2椭圆
2.1.1椭圆及其标准方程
2.1.2椭圆的简单几何性质
2.3双曲线
2.2.1双曲线及其标准方程
2.2.3双曲线的简单几何性质
2.4抛物线
2.3.1抛物线及其标准方程
2.2.1向量加法运算及其几何意义
2.2.2向量减法运算及其几何意义
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3平面向量的坐标运算
2.3.4平面向量共线的坐标表示
2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2.2.3双曲线的简单几何性质
2.3抛物线
2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.2抛物线的简单几何性质
第三章导数及其应用
3.1变化率与导数
3.1.1变化率问题
3.1.2导数的概念
3.1.3导数的几何意义
3.2导数的计算
3.2.1几个常用函数的导数
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2 复数乘除运算的三角表示及其几何意义
课文精讲
➢ 复数三角形式的除法法则 1.（复重数点除）法的几何意义
设两个复数z1,z2对应的向量分别为OZ1，OZ2， 把向量OZ1绕原点O按顺时针旋转角θ2(如果 θ角向2<|量θ02O,|就),Z然要,O后把Z把表O它Z示1的绕的模原复变点数为O就原按是来逆z1的时. 针r12 方倍向，旋得转到
课文精讲
➢ 复数三角形式的乘法法则 1.（重点）
即 r1(cos 1 i sin1 ) r2(cos 2 i sin2 )
r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
模相乘
辐角相加
这就是说，两个复数相乘、积的模等于各 复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的 和.
课文精讲
2)
i sin(1
2 )]
这就是说，两个复数相除，商的模等于
被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐
角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的
差.
课文精讲
➢ 复数三角形式的除法法则 1.（复重数点三）角形式的除法公式记忆口诀：
商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
课文精讲
➢ 复数三角形式的除法法则 1.（重点思）考：类比复数乘法的几何意义，由复
y
Z Z2 π
3
Z1
O
π
x
6
课典文 型精例讲题
例2:如图，向量 OZ 对应的复数为1+i,把OZ 绕点
1.（重O点按）逆时针方向旋转120°，得到OZ . 求向
量 OZ 对应的复数(用代数形式表示). 分析:根据复数乘法的几何意
义，向量 OZ 对应的复
y
数是复数1+i与z0的积，
2.2 复数的乘法与除法 2.3 第2课时 复数乘法的几何意义与复数运算的综合应用
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有a－2＋3ab＝2－3，3b＝1， 解得ab＝ ＝－0，1， 或ab＝ ＝－3. 1， 所以z＝－1或z＝－1＋3i.
020＝22i2
020＝i2
020＝(i4)505＝1.]
共轭复数及其应用 [探究问题] 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数 z 是什么？ 提示： z ＝a－bi(a，b∈R)． 2．z·z 的计算结果是什么？ 提示：若z＝a＋bi，则z·z ＝|z|2＝a2＋b2.
【例3】 已知 z 为z的共轭复数，若z·z －3i z ＝1＋3i，求z.
[解] 由题意，设复数－1＋4i对应向量O→A，
因为∠ABC＝π3，所以|O→B|＝ 3|O→A|，
所以向量O→B是由向量O→A按逆时针旋转π2后，再拉伸 3倍得到的， 所以点B对应的复数为(－1＋4i)· 3i＝－4 3－ 3i，
同理点C对应的复数为(－1＋4i)· 3i·33i＝1－4i，
点D对应的复数为(－1＋4i)·
O→Z
，把
O→Z
按逆时针旋转
π 2
所得
到的向量对应的复数是( )
A．－3＋2i
B．2－3i
C．2＋3i
D．－2－3i
D [把O→Z按逆时针旋转π2所得到的向量对应的复数是(－3＋2i)·i ＝－2－3i.]
3．设复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i对应的向量分别为 O→Z1 ， O→Z2 ， 则O→Z1，O→Z2的夹角为________．
19高中数学“复数的乘除运算”知识点详解
高中数学“复数的乘除运算”知识点详解一、引言复数作为高中数学的重要知识点，其乘除运算是复数理论中的核心内容。
通过掌握复数的乘除运算，我们可以进一步深入理解复数的性质和应用。
本文将详细解析“复数的乘除运算”这一知识点，帮助同学们更好地掌握和应用复数理论。
二、复数的乘法运算1.复数乘法的定义：设z₁ = a + bi, z₁ = c + di 是任意两个复数，则它们的积定义为：z₁ × z₁ = (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
2.复数乘法的几何意义：在复平面上，复数的乘法运算可以看作是向量的旋转和伸缩变换。
具体来说，设z₁ 对应的向量为OA, z₁ 对应的向量为OB, 则z₁ × z₁ 对应的向量为OC, 其中 C 点是由 A 点绕原点按逆时针方向旋转到 B 点所在射线上，且|OC| = |OA| × |OB|, OC 的辐角等于OA 和OB 辐角之和。
3.复数乘法的性质：复数乘法满足交换律、结合律和分配律，即对于任意复数z₁,z₁, z₁, 有z₁ × z₁ = z₁ × z₁, (z₁ × z₁) × z₁ = z₁ × (z₁ × z₁), z₁ × (z₁ + z₁) = z₁× z₁ + z₁ × z₁。
三、复数的除法运算1.复数除法的定义：设z₁ = a + bi, z₁ = c + di 是任意两个复数，且z₁ ≠ 0,则它们的商定义为：z₁ ÷ z₁ = (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c - di)] ÷ [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] ÷ (c² + d²)。
复数的乘、除法运算及几何意义 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课堂练习 教材P80练习
1. 计算： （1）(7 6i)(3i)；（2）(3 4i)(2 3i)；（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)． 2. 计算：
（1）( 3 2 i) ( 3 2 i) ；（2）(1 i)2；（3）i(2 i)(1 2i)．
化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.
2
PART TWO
例题精讲
例3： 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 解析： (1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. 例4：计算(1) (2+3i)(2-3i); (2) (1+i)2. 解析： （1）(2+3i)(2-3i)=22-(3i)=4-(-9)=13.
= (ac-bd)+(ad+bc)i. 即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i 注意：两个复数的积是一个确定的复数.
知识点一 复数的乘法运算
问题1 规定了复数乘法运算法则，请回答下列问题？ （1）两个复数的积是个什么数?它的值唯一确定吗? （2）当 z1 ，z2 都是实数时,与实数乘法法则一致吗? （3）运算中的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定， 运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一 复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是 否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？
复数乘除的几何意义
复数乘除的几何意义首先，我们来看复数的乘法。
假设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其中a1，b1，a2，b2为实数部分。
在复平面上，可以将一个复数z1表示为平面上的一个点P1，其坐标为(a1,b1)，另一个复数z2表示为平面上的一个点P2，其坐标为(a2,b2)。
通过复数乘法z1*z2，我们可以得到结果z=z1*z2=(a1+b1i)*(a2+b2i)=a1*a2+a1*b2i+b1*a2i+b1*b2i^2我们可以将乘法进行展开：z=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+b1*a2)i。
这个结果可以表示为复平面上的一个新点P，其坐标为(a1*a2-b1*b2,a1*b2+b1*a2)，即乘积也是一个复数。
通过乘法运算，我们可以看到乘积复数的实部由两个复数的实部和虚部的乘积之差得出，而乘积复数的虚部由两个复数的实部和虚部的乘积之和得出。
从几何角度来看，复数乘法实际上是对平面上的两个向量进行操作。
我们可以将z1看作是从原点到点P1的向量，z2看作是从原点到点P2的向量。
通过复数乘法，我们得到了一个新的向量z，它的起点和末点分别与原来两个向量相同，在平面上形成一个新的三角形。
这个新的三角形的边长和角度都与原来的两个向量有一定的关系。
其中，边长的比例与两个复数的模相乘有关，而角度的关系则由两个复数的辐角相加得出。
因此，从几何意义上看，复数乘法实际上是对向量的长度和方向进行了组合和变换。
接下来，我们来看复数的除法。
假设有两个非零复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i。
通过复数除法z1/z2，我们可以得到结果z=(a1+b1i)/(a2+b2i)。
为了方便计算，我们可以将分母化简为实部和虚部的形式，即z=[(a1+b1i)*(a2-b2i)]/[(a2+b2i)*(a2-b2i)]=[(a1a2+b1b2)+(b1a2-a1b2)i]/(a2^2+b2^2)。
这个结果可以表示为复平面上的一个新点P，其坐标为[(a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2),(b1a2-a1b2)/(a2^2+b2^2)]。
复数乘除的几何意义
复数乘除的几何意义复数的乘除是一个很重要的概念，它具有深远的几何意义，有助于我们更好地理解一些计算机图形、空间几何和动态系统的基本原理。
首先，要理解复数乘除的几何意义，需要简要介绍复数本身。
复数是由实数和虚数组成的，它可以表示为一个复平面。
复平面上的点可以用复数来表示，比如一个复数x+iy可以用一个点(x, y)表示。
这时可以引入复数的乘除。
复数的乘除是两个复数相乘或相除的结果，也就是说它的乘积是一个新的复数，而它的商也是一个新的复数。
复数的乘法可以用矢量的乘法来表示，也就是说两个复数x+iy 和u+iv相乘，可以用点(x, y)和点(u, v)的矢量之积表示出来。
它们的乘积是一个新的矢量，可以用一个新的复数表示。
同样，复数的除法也可以用矢量的除法来表示，即两个复数x+iy和u+iv相除，可以用点(x, y)除以点(u, v)的矢量表示出来。
它们的商也是一个新的矢量，可以用一个新的复数表示。
这样，通过复数的乘除，我们可以将现实世界的几何图形转换成复数的形式，这就是复数乘除的几何意义所在。
例如，许多计算机图形系统都是由复数乘除定义的。
例如，可以用复数乘除来定义一个复数的平移、旋转、缩放等变换。
这也正是计算机图形系统中变换的基本原理。
此外，复数乘除也可以用于定义空间几何形状。
例如，立方体、球形和椎体等几何形状都可以用复数乘除来定义。
此外，复数乘除还可以用于定义动态系统。
例如，可以用复数乘除来模拟质点在二维空间中的特性，比如振荡和混沌等。
由此可见，复数乘除有着深远的几何意义，它不仅有助于我们绘制几何图形，还可以用来定义动态系统。
它的几何意义，也反映在许多计算机应用程序中，包括地图制作、三维设计、游戏开发等。
因此，复数乘除是一个应用广泛而深远的数学概念，对于更好地理解计算机图形、空间几何和动态系统的基本原理有着十分重要的作用。
复数乘法、除法的几何意义
七.深化认识
已知A、B两点对应的复数为1+i、
4+5i,把向量 AB 按逆时针方向绕点
A旋转600，得到 AB
及B’点对应的复数
'，求与向量
AB
'
AB '
3 2 3 (2 3 3 )i
2
2
B’ 5 2 3 (3 3 3 )i
2
2
八.应用巩固
《掌握学习指导》第45页达标题 第1、2、3题
小结
1.复数乘法的几何意义实质是用 运动的观点来看问题,本来静止 的运算结果用旋转、伸缩来考察 它. 2.几何意义的核心是辐角相加,运 动的反映就是旋转一个角的问题.
能将几何问题代数化把绕某点旋转一个角所得到的复数看成是在原来对应的复数的基础上乘以绕了的角度为辐角的一个数
复数乘法、除法的几何意义
教学目的：能将代数中复数在三角形式下的乘除 运算，变换观点看成是几何中的图形变换。
教学重点：认识复数的辐角相加，即在某 一个角的基础上旋转；能将几何问题代 数化，把绕某点旋转一个角所得到的复 数看成是在原来对应的复数的基础上乘 以绕了的角度为辐角的一个数。
教学难点：认识积与因数的相互关系，积 对应的向量就是某一因数的向量旋转后 再伸缩。
一.复习
1。两个复数的三角形式的乘法 法则怎样，除法法则怎样？ 2.棣莫佛定理怎样？
二.把复数的乘除运算结果 画 到复 平面上研究，寻找 积与两个因数的相究结果
1.辐角：积的辐角是两个因数的辐角 的和反映在图中是在某一辐角的基础 上再加上另一个辐角；这样的相加可 以认为是以某一向量为始边，按逆时 针方向旋转另一个因数的辐角而成。 即辐角相加通过旋转而形成。
2.积模：积的模等于各 复数的模的积,即把z1对 应的向量绕原点旋转后,
复数乘除法的几何解释
复数乘除法的几何解释复数是数学中一个抽象的概念，它包括了实数和虚数部分。
复数的乘法和除法是在复数域上进行操作的重要运算，它们在几何解释中有着深刻的意义。
复数乘法的几何解释复数乘法的几何解释可以通过复平面上向量的旋转和缩放来加以理解。
在复平面上，每个复数都可以表示为一个有序对(a,b)，其中a为实部，b为虚部。
将复平面看作一个坐标系，复数a+bi对应于复平面上的一个点(a,b)。
考虑两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i相乘的情况。
它们的乘积可以表示为：$z_1 \\cdot z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$可以看出，复数的乘法实际上是在实部和虚部上进行的分开的运算。
在几何上，这意味着对应的向量之间进行了平移。
具体来说，$z_1 \\cdot z_2$对应于将z1对应的向量沿z2对应的向量的方向平移，并且根据模的乘积来缩放。
复数除法的几何解释复数除法的几何解释可以通过复平面上的相似三角形的关系来理解。
考虑两个复数z1和z2相除的情况，即$\\frac{z_1}{z_2}$。
在复平面上，z1对应的向量和z2对应的向量构成一个夹角为$\\theta$的三角形。
根据三角形相似性质，可以得到：$\\frac{z_1}{z_2}=\\frac{|z_1|}{|z_2|}(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)$这表示，复数的除法实际上是对应向量长度的比值，并乘以它们的夹角关系。
在几何上，这意味着对应复数的缩放与旋转。
综上所述，复数乘法和除法在复平面上有着直观的几何解释，可以通过旋转和缩放复平面上的向量来解释复数间的乘除运算。
这种几何解释为我们理解复数运算提供了一种直观的视角。
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1 i ， i 1
1 i ； 1 i
2006
谢谢!再见
z z ___________, z z ____________
随堂练习：
(1)
3 2i 3 2i
2
(2)i 2 i 1 2i
(3) 1 i
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
复数的乘方： 对任何z, z1 , z2 C 及m, n N 有 ，
复数除法法则
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
规定复数的除法是乘法运算的逆运算，即把
(c 满足： di)( x yi) a bi,(c di 0)
的复数 x 的商
yi 叫做复数 a bi 除以 c di
a bi 记作： c di
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
因为 (c di)( x yi) a bi,(c di 0) 所以 ( x yi )(c di ) (cx dy ) (dx cy )i
a bi
由此可得 于是有
ac bd x c2 d 2 cx dy a dx cy b y bc ad c2 d 2
3.2 复数代数形式的四则运算
复数代数形式的 乘除运算
复数的乘法法则
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
复数的乘法法则： z 设 z1 a bi，2 c di 是任意两个复数，那么它们
的积
(a bi)(c di) a bci adi bdi (ac bd ) (ad bc)i
典型例题2
求 (a bi )(a bi ) ．
解：(a bi )(a bi ) a 2 (bi )2 a 2 b 2 i 2
a 2 b 2
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
两个共轭复数 z, z 积是一个实数，这个实数于 2 2 每个复数的模的平方，即 z z | z | | z |
i , i
1, i
4 n 3
i
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
设 1
2
3 i ，求证： 2
2
3 1. 1 （1） 0；（2）
1 3 3 ( i13 3 i ) ( 1 3 i )2 (2 1 ) （2） 1 证明（1） 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 3 2 3 1 i ( 2 ) 1 2 3 i ( i) 2( 2 i) 2 2 i) 2 ( 2 2 2 2 2 1 3 1 3 3 ( 1 i 3 i 1 i 3 i ) 0; )( 2 2 2 24 2 4 2 2 1 2 3 2 1 3 ( ) ( i ) 1 2 2 4 4
ac bd bc ad (a bi ) (c di ) 2 2 i, (c di 0) 2 2 c d c d
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
在进行复数除法运算时，通常把 (a bi) (c di) 写成 的共轭复数 c di ，化简后，得出结果
解： (1 2i )( 3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
随堂练习：课本P60练习1
练习：复数z满足 (1 2i) z (3 10i) z 4 34i 求z．
z z z
m n
n
mn
n n
( z m )n z mn
( z1 z2 ) z1 z2
特殊的有：1 i i
4 3
i 1
2
n N 一般地，如果
i i i i i 1
，有
4 n 2
i 3 i 2 i i
i
4n
1, i
4 n1
2
任何 z1 , z 2 , z 3 C，
交换律 z1 z2 z2 z1 结合律
( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
分配律z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
典型例题
计算 (1 2i )(3 4i )(2 i ) ．
a bi (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i c di (c di )(c di ) c2 d 2
a bi 计算 (1 2i) (3 4i) ，并确定其复数在复平面 上对应的点所在的象限．