沙河市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

沙河市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（）
A．B．
C．D．
2．复数z为纯虚数，若（3﹣i）•z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）
A．﹣B．3 C．﹣3 D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
4．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA 上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（）
A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣
5．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）
（A）8
（B ）4
（C）8 3
（D）4 3
6．下列结论正确的是（）
A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．
B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．
C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2
D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α
7． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
8． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 9． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ） A ．{5，8}
B ．{7，9}
C ．{0，1，3}
D ．{2，4，6}
10．设函数f （x ）=，则f （1）=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ）
A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435 12．椭圆22
:143
x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的
取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）
A ．3
1,42⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ B ．33,48
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．
二、填空题
13．若实数x ，y 满足x 2+y 2
﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ．
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，
则△ABC 的面积是 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
16．已知关于 的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________
17．定积分
sintcostdt= ．
18．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{
}的前10项的和为 ．
三、解答题
19．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ． （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM •MB=DF •DA ．
20．（本题满分13分）已知函数x x ax x f ln 22
1)(2
-+=. （1）当0=a 时，求)(x f 的极值；
（2）若)(x f 在区间]2,3
1[上是增函数，求实数a 的取值范围.
【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思
想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.
21．设集合{}
{}2
|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =，求实数组成的集合C ．
22．已知函数f （x ）=|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）+f （x+1）≤2
（2）若a ＜0，求证：f （ax ）﹣af （x ）≥f （2a ）
23．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x a
f x b
+-+=+.
（1）当1a b ==时，求满足()3x
f x =的x 的取值；
（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在t R ∈，不等式()()
22
22f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；
②若函数()g x 满足()()()
12333
x
x f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.
24．已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|． （Ⅰ）求不等式f （x ）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）﹣log 2（a 2
﹣3a ）＞2恒成立，求实数a 的取值范围．
沙河市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．
故选B．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
2．【答案】D
【解析】解：∵（3﹣i）•z=a+i，
∴，
又z为纯虚数，
∴，解得：a=．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．【答案】B
【解析】解：三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体，
它们的底面直径均为2，故底面半径为1，
圆柱的高为1，半圆锥的高为2，
故圆柱的体积为：π×12×1=π，
半圆锥的体积为：×=，
故该几何体的体积V=π+=，
故选：B
4．【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．
【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），
有空间想象能力可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：
或
．
故选D 5． 【答案】A
【解析】
根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于1
22322383
⨯⨯-⨯⨯⨯=
6． 【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交． 故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
7． 【答案】B
【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=﹣+
，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f
（a ）的最大值为，
故（﹣6≤a ≤3）的最大值为
=
，
故选B ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 9． 【答案】B
【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}， 所以（C U A ）∩（C U B ）={7，9} 故选B
10．【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=，
f （1）=f[f （7）]=f （5）=3． 故选：D ．
11．【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22n n
n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922
n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性. 12．【答案】B
二、填空题
13．【答案】10 【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，
即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，
最大值为：10．
故答案为：10．
14．【答案】4．
【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，
∵c=2a，可得：b=a，
∴cosB===，可得：sinB==，
∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC=acsinB==4．
故答案为：4．
15．【答案】8π．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
16．【答案】
【解析】
因为在上恒成立，所以，解得
答案：
17．【答案】．
【解析】解：0sintcostdt=0sin2td（2t）=（﹣cos2t）|=×（1+1）=．
故答案为：
18．【答案】．
【解析】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a n=．
∴=2．
∴数列{}的前n项的和S n=
=
=．
∴数列{}的前10项的和为．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】证明：（1）连接OC ，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA ，
∵CA 是∠BAF 的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA ，
∴OC ∥AD ．…
∵CD ⊥AF ，
∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线．…
（2）连接BC ，在Rt △ACB 中，CM ⊥AB ，∴CM 2=AM •MB ．
又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF •DA ．
∵∠MAC=∠DAC ，∠D=∠AMC ，AC=AC
∴△AMC ≌△ADC ，∴DC=CM ，
∴AM •MB=DF •DA …
【点评】几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．
20．【答案】
【解析】（1）函数的定义域为),0(+∞，因为x x ax x f ln 22
1)(2-+=，当0=a 时，x x x f ln 2)(-=，则x x f 12)('-
=.令012)('=-=x x f ，得2
1=x .…………2分
所以当2
=x 时，)(x f 的极小值为2ln 1)21(+=f ，函数无极大值.………………5分
21．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C .
【解析】
考
点：1、集合的表示；2、子集的性质.
22．【答案】
【解析】（1）解：不等式f （x ）+f （x+1）≤2，即|x ﹣1|+|x ﹣2|≤2．
|x ﹣1|+|x ﹣2|表示数轴上的点x 到1、2对应点的距离之和，
而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，
∴不等式的解集为[0.5，2.5]．
（2）证明：∵a ＜0，f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣2|﹣a|x ﹣2|=|ax ﹣2|+|2﹣ax|
≥|ax ﹣2+2a ﹣ax|=|2a ﹣2|=f （2a ﹣2），
∴f （ax ）﹣af （x ）≥f （2a ）成立．
23．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6 【解析】
试题
解析：（1）由题意，131331
x x x +-+=+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-= 解得()13133
x x =-=舍或， 所以1x =- （2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1133033x x x x a a b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x x a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且
解得：11{{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1{ 3
a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()13133
x x f x +-+=+ ①()131********x x x f x +-+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()211212121222333313133131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭
因为12x x <，所以21330x x ->，所以()()12f x f x >， 因此()f x 在R 上递减．
因为()()
2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在时有解
所以440t ∆=+>，解得：1t >-， 所以的取值范围为()1,-+∞ ②因为()()()
12333x x f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()3323x x g x f x --=- 即()33x x
g x -=+ 所以()()22223333
2x x x x g x --=+=+- 不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，
即()()
23323311x x x x m --+-≥⋅+-， 即：93333x x x x
m --≤++
+恒成立 令33,2x x t t -=+≥，则9m t t
≤+在2t ≥时恒成立 令()9h t t t =+，()29'1h t t =-， ()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤
所以，实数m 的最大值为6
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）原不等式等价于或或
，
解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，
∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}．
（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立⇔
+2＜f（x）min恒成立，
∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，
∴f（x）的最小值为4，
∴+2＜4，
即，
解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．
∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．。