陕西省商洛市2019年高考数学模拟试卷(理科)

陕西省商洛市2019年高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．函数lg()y x =-的定义域为A ，函数x y e =的值域为B ，则A B =
A.(0,)+∞
B.(0,)e
C.R
D.∅
2．定积分2
(21)x dx +⎰的值为 A.6 B.5 C.4 D. 3
3．下列函数中,满足“()()()f x y f x f y ∙=+”的单调递增函数是 A.()2f x x = B.()2log f x x = C.()f x =2x
D.()0.5log f x x =
4．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.已知向量(3,1),(sin ,cos )αα==a b ，且a ∥b ，则tan 2α=
A ．35
B ． 35-
C ．34
D ．34
-
6. 等差数列的前项和为，已知
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 的展开式中的系数是 A ．5 B ．－5 C ．20 D ．－20 8．执行如图所示的程序框图，则输出的M 的值是
A ．2
B ．1
2
C.－1
D ．－2
9.
若过点()
2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是
A. 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D.
51
(2)2
x y -23x
y
0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦
10.已知函数1
()32
x f x x =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，则n 的值是
A ． 2-
B ．1-
C ．0
D ．1
11.在四面体P ABC -中，
1PA PB PC ===，90APB BPC CPA ∠=∠=∠=，则该四面体P ABC -的外接球的表面积为
A ．π
B
C ．2π
D ．3π
12．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆22
24
a x y +=
的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为
A B ．5
C ．
2
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．如图，在矩形ABCD 中，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD
上，若
，则
的值是（ ）
A ．
B ．2
C ．0
D ．1
14．如果复数（1+bi ）（2+i ）是纯虚数，则
的值为 ．
15．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为 ．
16．已知F1，F2是等轴双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1||PF2|等于．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA
（1）判断三角形△ABC的形状；
（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．
18．（12分）某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．
（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
（Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．
19．（12分）（2016榆林二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求平面MBQ与平面CBQ夹角的大小．
20．（12分）已知F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过点P作l 的垂线，垂足为点Q，且．
（Ⅰ）求动点P的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M，且与直线x=﹣1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点E？若存在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=λ1（+x2+x）+λ2x3x，（a，b∈R且a＞0）．
（1）当λ1=1，λ2=0时，若已知x1，x2是函数f（x）的两个极值点，且满足：x1＜1＜x2＜2，求证：f′（﹣1）＞3；
（2）当λ1=0，λ2=1时，
①求实数y=f（x）﹣3（1+ln3）x（x＞0）的最小值；
②对于任意正实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证：a3a+b3b+c3c≥9．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴
重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，
2sinα+2），参数α∈R．
（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．
陕西省商洛市2019年高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1、D 2 、A 3 、B 4 、C 5、D 6、C
7、A 8、C 9、B 10、B 11、D 12、C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若，则的值是（）
A．B．2 C．0 D．1
【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），
B（，0），E（，1），F（x，2）
∴=（，0），=（x，2），
∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）
∴=（，1），=（1﹣，2）
∴=（1﹣）+1×2=
故选：A
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．
14．如果复数（1+bi）（2+i）是纯虚数，则的值为．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数，再由已知复数（1+bi）（2+i）是纯虚数，列出方程组，求解得到b的值，然后代入，由复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算则答案可求．
【解答】解：（1+bi）（2+i）=2﹣b+（1+2b）i，
∵复数（1+bi）（2+i）是纯虚数，
∴，
解得b=2．
==，
则=
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．15．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为9π．
【分析】利用三视图的空间几何体的结构特征，镶嵌在长方体中求解．
【解答】解：根就三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，
把它镶嵌在长方体中，长宽为2，高为1，
∴体对角线外接球的半径，
∴R==，
∴该几何体的外接球表面积为：4π×=9π，
故答案为：9π．
【点评】本题综合考查了空间几何体的三角图的运用，空间思维能力的运用，属于中档题，构造思想的运用．
16．已知F1，F2是等轴双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1||PF2|等于4．
【分析】根据双曲线方程，算出焦距|F1F2|=2，△F1PF2中利用余弦定理，结合双曲线的定义列出关于|PF1|、|PF2|的方程组，联解即可得到|PF1||PF2|的值．
【解答】解：∵双曲线C的方程为：x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，得c==
由此可得F1（﹣，0），F2（，0），焦距|F1F2|=2
∵∠F1PF2=60°，
∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°，即|PF1|2+|PF2|2﹣
|PF1||PF2|=8①
又∵点P在双曲线C：x2﹣y2=1上，
∴||PF1|﹣|PF2||=2a=2，平方得|PF1|2﹣2|PF1||PF2|+|PF2|2=4②
①﹣②，得|PF1||PF2|=4
故答案为：4
【点评】本题给出等轴双曲线上一点对两个焦点的张角等于60度，求两条焦半径的积，着重考查了余弦定理和双曲线的定义、简单性质等知识，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA
（1）判断三角形△ABC的形状；
（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理，结合结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，从而可三角形△ABC的形状；
（2）记∠ACM=θ，表示出f（θ）=，利用辅助角公式化简，即可求f（θ）的最大值．
【解答】解：（1）由正弦定理可得：
结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A
∵a＞b，∴A＞B
∵A，B∈（0，π），∴2B+2A=π，∴A+B=，即C=
∴△ABC是直角三角形；
（2）记∠ACM=θ，由（1）得∠BCN=
∴AC=，BC=
∴f（θ）==cosθ+=cos（θ﹣），
∴θ=时，f（θ）的最大值为．
【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形形状的判定，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（12分）某单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5．该地区汽车限行规定如下：
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车相互独立．
（Ⅰ）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
（Ⅱ）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．
【分析】（Ⅰ）利用互斥事件的概率公式，可求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求X 的分布列及其数学期望E（X）．
【解答】解：（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为A i，B车在星期i出车的事件为B i，i=1，2，3，4，5，则
由已知可得P（A i）=0.6，P（B i）=0.5．
设该单位在星期一恰好出车一台的事件为C，则
P（C）=P（）=+=0.6×（1﹣0.5）+（1
﹣0.6）×0.5=0.5，
∴该单位在星期一恰好出车一台的概率为0.5；
（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3，则
P（X=0）==0.4×0.5×0.4=0.08，
P（X=1）==0.5×0.4+0.4×0.5×0.6=0.32，
P（X=2）==0.6×0.5×0.4+0.5×0.6=0.42，
P（X=3）=P（A1B1）P（A2）=0.6×0.5×0.6=0.18，
∴X的分布列为
EX=1×0.32+2×0.42+3×0.18=1.7．
【点评】求随机变量的分布列与期望的关键是确定变量的取值，求出随机变量取每一个值的概率值．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求平面MBQ与平面CBQ夹角的大小．
【分析】（1）由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而AD⊥平面PQB，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MBQ与平面CBQ的夹角．
【解答】证明：（1）由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，
又∵AD⊂平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立如图所求的空间直角坐标系，
由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），
∴==（﹣），
设是平面MBQ的一个法向量，
则，取x=，得=（），
又∵=（0，0，1）平面BQC的一个法向量，
∴cos＜＞=，
∴平面MBQ与平面CBQ夹角为60°．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．（12分）已知F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过点P作l 的垂线，垂足为点Q，且．
（Ⅰ）求动点P的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M，且与直线x=﹣1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点E？若存在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）设出P点坐标，求出向量，代入坐标后直接得抛物线方程；
（Ⅱ）联立直线方程和抛物线方程，由判别式等于0得到m与k的关系，从而把M和N的坐标用含有m的代数式表示，设出E点坐标，由ME⊥NE代入坐标整理即可得到E点坐标．
【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（﹣1，y），由，得（x+1，0）（2，﹣y）=（x﹣1，y）（﹣2，y），化简得y2=4x；
（Ⅱ）由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，
由△=0，得km=1，从而有M（m2，2m），，
设点E（x，0），使得ME⊥NE，则．
（1﹣x）m2+x2+x﹣2=0，得x=1．
所以存在一个定点E（1，0）符合题意．
【点评】本小题主要考查相关点法求轨迹方程和直线与抛物线的位置关系的判断和应用，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一般离不开联立方程组，所以要仔细运算，该题是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=λ1（+x2+x）+λ2x3x，（a，b∈R且a＞0）．
（1）当λ1=1，λ2=0时，若已知x1，x2是函数f（x）的两个极值点，且满足：x1＜1＜x2＜2，求证：f′（﹣1）＞3；
（2）当λ1=0，λ2=1时，
①求实数y=f（x）﹣3（1+ln3）x（x＞0）的最小值；
②对于任意正实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证：a3a+b3b+c3c≥9．
【分析】（1）求出f（x）的导数，得到关于a，b的不等式组，解出即可；（2）①求出f（x），得到关于y的表达式，求出y′，求出函数的单调区间，从而求出其最小值即可；②根据x3x≥3（1+ln3）x﹣3ln3，当x分别取a，b，c，相加即可证明．
【解答】解：（1）当λ1=1，λ2=0时，f′（x）=ax2+（b﹣1）x+1，
已知x1，x2是函数f（x）两个极值点，则x1，x2是方程f′（x）=0的两根，
由a＞0，x1＜1＜x2＜2，∴，即，
∴f′（﹣1）=a﹣b+2=﹣3（a+b）+（4a+2b﹣1）+3＞3…（4分）．
（2）①当λ1=0，λ2=1时，f（x）=x3x，得y=x3x﹣3（1+ln3）x，
则：y′=3x（xlnx+1）﹣3（ln3+1），
令：g（x）=3x（xlnx+1）﹣3（ln3+1），g′（x）＞0，（x＞0），所以y′是（0，+∞）增函数，
且x=1是它的一个零点，也是唯一的一个零点，
所以：当0＜x＜1时，y′＜0，当x＞1时，y′＞0，
∴当x=1时，y═x3x﹣3（1+ln3）x有最小值为﹣3ln3…（8分）
②由①知：x3x≥3（1+ln3）x﹣3ln3，当x分别取a，b，c时有
a3a≥3（1+ln3）a﹣3ln3，
b3b≥3（1+ln3）b﹣3ln3
c3c≥3（1+ln3）c﹣3ln3，
又a+b+c=3，所以三式相加即得a3a+b3b+c3c≥9．…（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，
2sinα+2），参数α∈R．
（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．
【分析】（Ⅰ）设点P（x，y），由点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R，能求出点P的轨迹的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出直线l的直角坐标方程为，由P的轨迹是圆心为（0，2），半径为2的圆，求出圆心到直线的距离，从而能求出点P到直线的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），
∵点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R，
∴，且参数a∈R，
∴点P的轨迹的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．
（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为：ρ=，∴，∴，
∴，
∴直线l的直角坐标方程为，
由（1）知点P的轨迹是圆心为（0，2），半径为2的圆，
∴圆心到直线的距离d==4，
∴点P到直线的距离的最大值为4+2=6．
【点评】本题考查点的轨迹的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．
【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；
（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=
当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；
当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；
当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M=（﹣2，2）．…（5分）
（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，
∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，
∴4（a+b）2＜（4+ab）2，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）
【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．。