高一数学苏教版必修4教师用书：3.3 几个三角恒等式

3.3 几个三角恒等式
1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式.(重点)
2.能利用所学公式进行三角恒等变换.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1降幂公式
阅读教材P121例3，完成下列问题.
sin2α＝1－cos 2α
2，
cos2α＝1＋cos 2α
2，
tan2α＝1－cos 2α1＋cos 2α
.
1.若cos α＝－3
5，且π＜α＜
3π
2，则cos
α
2＝________.
【解析】∵π＜α＜3π
2，∴
π
2＜
α
2＜
3π
4，
∴cos α
2＝－
1＋cos α
2＝－
5
5.
【★答案★】－
5 5
2.若tan α
2＝3，则cos α＝________.
【解析】∵tan2α
2＝
1－cos α
1＋cos α
＝9，
∴cos α＝－4 5.
【★答案★】－4 5
教材整理2积化和差与和差化积公式
阅读教材P126链接以上内容，完成下列问题.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B.()
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B.()
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－cos2β.() 【解析】(1)正确.
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin A sin B，故错.
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝1
2(cos 2α＋cos 2β)，故错.
【★答案★】(1)√(2)×(3)×
教材整理3万能公式
阅读教材P126～P127的“链接”内容，完成下列问题.
设tan α
2＝t，则sin α＝
2t
1＋t2
，cos α＝
1－t2
1＋t
，tan α＝
2t
1－t2
.
1.若tan α＝3，则sin 2α＝________，cos 2α＝________.
【解析】∵tan α＝3，∴sin 2α＝
2tan α
1＋tan2α
＝
3
5，cos 2α＝
1－tan2α
1＋tan2α
＝－
4
5.
【★答案★】3
5－
4
5
2.若tan α＝1，则
tan
α
2＝________.
【解析】tan α＝
2tan
α
2 1－tan2
α
2
，∴tan2
α
2＋2tan
α
2－1＝0，
解得tan
α
2＝－1±2.
【★答案★】－1±2
[小组合作型]
应用和差化积或积化和差求值
求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值.
【精彩点拨】先降幂；再和差化积，或积化和差求解.
【自主解答】原式＝
1－cos 40°
2＋
1＋cos 100°
2＋
1
2(sin 70°－sin 30°)＝1＋
1
2(cos 100°－cos 40°)＋
1
2sin 70°－
1
4
＝
3
4＋
1
2(－2sin 70°sin 30°)＋
1
2sin 70°
＝
3
4－
1
2sin 70°＋
1
2sin 70°＝
3
4.
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
[再练一题]
1.已知cos α－cos β＝
1
2，sin α－sin β＝－
1
3，求sin(α＋β)的值. 【导学号：48582146】
【解】 ∵cos α－cos β＝1
2， ∴－2sin α＋β2sin α－β2＝1
2.① 又∵sin α－sin β＝－1
3， ∴2cos α＋
β2sin α－β2＝－13.②
∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32， 即tan α＋β2＝32.
∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β
2
＝2×32
1＋94＝12
13.
万能公式的应用
设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ
＝1
2(t ＋1).
【精彩点拨】 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明.
【自主解答】 由sin θ＝2tan θ2
1＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ
2
1＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ2＝(1＋t )2
1＋t 2
， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋tan θ21＋tan 2θ2＝2(1＋t )1＋t
2， 故
1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ
＝1
2(t ＋1).
在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成
tan
α
2＝t的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.
[再练一题]
2.已知cos θ＝－
3
5，且180°＜θ＜270°，求tan
θ
2.
【解】∵180°＜θ＜270°，∴90°＜
θ
2＜135°，∴tan
θ
2＜0.
由cos θ＝
1－tan2
θ
2
1＋tan2
θ
2
，得
1－tan2
θ
2
1＋tan2
θ
2
＝－
3
5，
解得tan2
θ
2＝4.
又tan
θ
2＜0，∴tan
θ
2＝－2.
[探究共研型]
函数f(x)＝a sin2ωx＋b sin ωx cos
ωx＋c cos2ωx的性质探究1要研究上述f(x)的性质必需把f(x)化成什么形式？
【提示】把f(x)化成A sin(ωx＋φ)＋B的形式.
探究2在上述转化过程中，要用到哪些公式？
【提示】降幂公式：sin2α＝
1－cos 2α
2，cos
2α＝
1＋cos 2α
2.
辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋θ)，其中tan θ＝
b
a.
求函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sin x cos x，x∈⎣⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
π
4，
7π
24的最小值，并求其单调减区间.
【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x
2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －1
2sin 2x
＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin π3cos 2x －cos π3sin 2x
＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－2x
＝33－4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3，
∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π
4. ∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22.
∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π
24时， f (x )取最小值为33－2 2.
∵y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，7π24上单调递减.
1.研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；
(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质. 2.对三角函数式化简的常用方法： (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；
(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个
角”的函数.
[再练一题]
3.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π12(x ∈R ).
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合.
【解】 (1)∵f (x )＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π12
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π12＋1
＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛
⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π.
(2)当f (x )取得最大值时， sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π
2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋5π
12(k ∈Z )， ∴所求x
的集合为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k π＋5π
12，k ∈Z
.
1.sin 37.5°cos 7.5°＝________.
【解析】 原式＝1
2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14.
【★答案★】 2＋14
2.化简：
sin 15°＋cos 65°
cos 15°＋sin 65°
＝________.
【解析】 原式＝
sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°
＝2sin 20°cos 5°
2cos 20°cos 5°
＝tan 20°.
【★答案★】 tan 20°
3.已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α
2等于________. 【导学号：48582147】
【解析】 因为sin α＝55>0，cos α＝2
55>0，
所以α的终边落在第一象限，α
2的终边落在第一、三象限. 所以tan α2>0，故tan α
2＝1－cos α
1＋cos α
＝
1－255
1＋255
＝5－2. 【★答案★】
5－2
4.已知tan α＝－1
2，则sin 2α的值等于________. 【解析】 sin 2α＝2sin α·cos αcos 2α＋sin 2α＝2tan α
1＋tan 2α
＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫－122
＝－
45. 【★答案★】 －4
5
5.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，π3上的最小值与最大值.
【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3 ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6＋4.
所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π. (2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π
6，
当x＝π
3时，2x＋π
6＝
5π
6，函数f(x)取得最小值为5.
当x＝π
6时，2x＋π
6＝
π
2，函数f(x)取得最大值为6.。