原创1：1.2.1 空间中的点、直线与空间向量

典例精析
例1：若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( AB )

A．(2，2，6)
B．(1，1，3)
C．(3，1，1)
解析：∵M，N在直线l上，
∴ MN ＝(1，1，3)，
故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量．
D．(－3，0，1)
典例精析
第一章
空间向量与立体几何
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
学习目标：
1.理解直线的方向向量与平面的法向量；
2.会求一个平面的法向量.
教学重点：平面的法向量．
教学难点：会求一个平面的法向量.
新知探索
空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P
就可以用向量 OP 来表示．我们把向量 OP 称为点P的位置向量．
则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔ a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R) .
答案
返回
新知探索
空间两条直线所成的角
v1
l2
l1
θ
θ
l1
v1
v2
π v1 , v2
v1 , v2
特别
v2
l1 l2
v1 , v2
π
2

v1 v2 0
l2
新知探索
异面直线与空间向量
Ԧ
b＝(0，1，0)，
∴·
Ԧ b＝0，∴⊥
Ԧ b，∴l1⊥l2.
典例精析
反思感悟
利用向量判断直线的位置关系
(1)证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
(2)证明线线垂直只需证明两条直线的方向向量的数量积为0．
跟踪练习
练习: 已知a＝(2 ，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1∥l2，
本
课
结
束
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P
O
新知探索
在正方体ABCD－A1B1C1D1中．
棱AB，DC，D1C1，A1B1之间的位置关系是什么？
它们的方向向量之间又有什么关系？
新知探索
直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线 共线 或 平行 的向量，
一条直线的方向向量有 无数 个．
新知探索
在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，
例2 :设，
Ԧ b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2
的位置关系：
①＝(4，6，－2)，
Ԧ
b＝(－2，－3，1)；
②＝(5，0，2)，
Ԧ
b＝(0，1，0)；
Ԧ
b＝(－2，－3，1)，
解析： ①∵＝(4，6，－2)，
∴＝－2
Ԧ
b，∴Ԧ ∥b，∴l1∥l2.
②∵＝(5，0，2)，
设v1，v2分别是空间中直线l1 ， l2的方向向量.
（1）如果设l1与l2异面，那么v1与v2可能平行吗？
（2）如果设v1与v2不平行，那么l1与l2一定异面吗？
显然，如果l1与l2异面吗，v1与v2不可能平行.
反之，如果v1与v2不平行，那么l1与l2可能异面，可能相交.
即“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件.
P
能确定一条直线在空间的位置吗?
空间中任意一条直线l的位置可以由
Ԧ
l上一个定点A以及一个定方向确定.
B
这样，点A和向量，不仅可以确定直线l的位置，还
Ԧ
A
Ԧ
可以具体表示出l上的任意一点.
=
新知探索
线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，
则( D )
A.x＝6，y＝15
15
B.x＝3，y＝
2
C.x＝3，y＝15
D.x＝6，y＝
2 4 5
解析：由l1∥l2，得
3 x y
15
2
15
，解得x=6，y=
.
2
课堂小结
空间中的直线及空间向量
v1＝λv2
l1∥l2
l1⊥ l2
v1 v2 0
θ
θ
v1 , v2
π v1 , v2