江西赣江市2014-2015学年高二下学期期末考试理数试题

赣州市2014～2015学年度第二学期期末考试 高二数学（理科）试题 2015年6月
（共150分．考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．)
1.已知i 为虚数单位，(2i)z 12i +=+，则z 的共轭复数z =（ ） A.
43i 55+ B.43i 55- C.4i 3+ D.4
i 3
-
2.用数学归纳法证明某命题时，左式为
1
cos cos3cos(21)2
n ααα+++⋅⋅⋅+- (π, ,)k k Z n α*≠∈∈N 在验证1n =时，左边所得的代数式为（ ）
A.
12 B.1cos 2α+ C.1cos cos32αα++ D.1
cos cos3cos52
ααα+++
3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：
根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（ ） A.0097.5
B.0099
C.0099.5
D.0099.9
参考数据:2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．
临界值表：
4.设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）
A.5
B.53
C.7
3
D.3 【答案】C 【解析】
试题分析：由正态分布的对称性及已知可得：(23)(2)
32
a a -++=，
解得73
a =
；
故选C
考点：正态分布.
5. 一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ,则()D ξ等于（ ） A.0.2 B.0.8
C.0.196
D.0.804
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可知发病的牛的头数为~(10,0.02)B ξ，所以
()100.02(10.02)0.196D ξ=⨯⨯-=；
故选C.
考点：二项分布的期望与方差.
6.由曲线y =
2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A.4
B.6
C.103
D.163
【答案】D 【解析】
试题分析：如图
易求得曲线y =2
y x =-
的交点坐标为(4,2)，所以由曲线y =
2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为：
4
(2))S x dx =-⎰
324
20
21
(2)32
x x x =-+
32221
442432=⨯-⨯+⨯ 163
= 故选D. 考点：定积分．
7.从0,1,2,3,4,5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（ ） A.40个
B.36个
C.28个
D.60个
8.
由抛物线2
4y x =与直线3y x =-围成的平面图形的面积为（ ）
A.
643
B.
32
3
C.64
D.32
333
13
292220034441()()(3)23332
x x x x x =++-++ 333322222
244414113(9939)(3333)2333232=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+
46418233
=
+-= 故选A ． 考点：定积分.
9.设()5
2501252x a a x a x a x -=+++
+，那么
024
13
a a a a a +++的值为（ ）
A.122121-
B.6160-
C.244
241
- D.1-
10.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ） A.e - B.1 C. 1- D.e 【答案】C 【解析】
试题分析： 由已知得1()2(1)f x f x ''=+，令1x =得：1
(1)2(1)(1)11
f f f '''=+⇒=-，注意在求导数时(1)f '是常数； 故选C.
考点：导数的求法.
11.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式2100a b -+>成立的事件发生的概率等于（ ） A.
81
61
B.
81
60 C.
8159
D.
8152
1
2.下列命题中
①若0()0f x '=,则函数()y f x =在0x x =取得极值； ②直线5210x y -+=与函数()sin(2)3
f x x π
=+
的图像不相切； ③若z ∈C （C 为复数集），且|22i |1,|22i |z z +-=--则的最小值是3；
④定积分
4-=π⎰
．
正确的有．（ ） A.①④ B.③④
C.②④
D.②③④
【答案】D 【解析】
试题分析：对于①，由于0()0f x '=,还需()f x '在0x x =的两侧的符号不同，函数()y f x =在0x x =才能取得极值，故①不正确； 对于②，由于函数()sin(2)3
f x x π
=+
的导数()2c o s (2)23f x x π'=+≤，而直线
5210
x y -+=的
斜
率
为
第
Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案涂在答题卡上）
13.复数
21i
1i2
+
+
+在复平面中的第
象限.
1 4.有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．
考点：1.分步计数原理；2.排列与组合.
15.如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE（阴影部分）内”，则(|)
P B A= .
【答案】1 4
【解析】
试题分析：()1()()4
OHE EFGH S P AB P B A P A S ∆=
==正方形 故答案为
14
. 考点：1.几何概率；2.条件概率.
16.已知函数()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()ln ()2
f x x ax a =->
，当(2,0)x ∈-时，
()f x 的最小值为1，则a 的值为
.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨
=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）.
（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为π
2
t =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7
C ρθθ-=距离的最小值.
1
8.（本小题满分12分）
已知函数3
()16f x x x =+-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(26)-，处的切线方程；
（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．
19.
（本小题满分12分）
给出四个等式：11=；14(12)-=-+；149123-+=++；
14916(1234)-+-=-+++.猜测第()n n *
∈N 个等式，并用数学归纳法证明．
【答案】2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-＝1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+，证明详见解析. 【解析】
20.（本小题满分12分）
某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
2 5，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，()
q p q
<，且不同课程是否取得优秀
成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3………………………………………………7分
6
(0)125
p ξ==
， 43212213337
(1)555555555125p ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
42243312358
(2)555555555125
p ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
6375824
(3)1p ξ==---=……………………………………………………10分
∴01231251251251255
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．
∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为
9
5
．…………………………………………12分 考点：1. 相互独立事件的概率；2.互斥事件的概率；3.数学期望． 21.（本小题满分12分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、
65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.
（Ⅰ）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：
有线性相关性？如果具有线性相关性，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由.
参考公式：相关系数
(
)()
n
i
i
x x y y r --=
∑；回归直线的方程是：ˆy
bx a =+. 其中对应的回归估计值1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b a y bx x x ==--=
=--∑∑；
参考数据：8
8
2
21
11
1
77.5,85,
()
1050,()456i i x y x x y y ====-≈-≈∑∑；
8
1
1
1
()()23.5i x x y y =--≈≈≈≈∑
（Ⅱ）若1-=a ，求证：当1>x 时，33
2)(x x f <
. 【答案】（Ⅰ）若0a ≤时， ()f x 的单调增区间为(0,)+∞；若0a >时，()f x 的单调增
区间为)+∞ ，减区间为；（Ⅱ）详见解析. 【解析】。