课时提升作业(二十七) 13.5.3

课时提升作业(二十七)
角平分线
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·朝阳中考)如图,三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论:
①∠AFE=∠AEF;②AD垂直平分EF;③错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

;④EF一定平行B C.其中正确的是
()
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
【解析】选A.①∵三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,DE⊥AC,DF⊥AB, ∴∠ADE=∠ADF,DF=DE,AF=AE,
∴∠AFE=∠AEF;
②∵DF=DE,AF=AE,
∴点D在EF的垂直平分线上,点A在EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF;
③∵S△BFD=错误！未找到引用源。

BF·DF,S△CDE=错误！未找到引用源。

CE·DE,DF=DE,
∴错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

;
④∵∠EFD不一定等于∠BDF,∴EF不一定平行B C.
2.与相交的两条直线距离相等的点在()
A.一条直线上
B.两条互相垂直的直线上
C.一条射线上
D.两条互相垂直的射线上
【解析】选B.相交的两条直线成四个角,利用到角两边距离相等的点在角的平分线上可得,但要注意此处不是一条直线,而是两条互相垂直的直线.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交
BC于点D,DE⊥AB于点E,若△DEB的周长为10cm,则斜
边AB的长为()
A.8cm
B.10cm
C.12cm
D.20cm
【解析】选B.∵AD平分∠BAC,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,
∴DE=CD,∴△ACD≌△AED,∴AC=AE=BC,
∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,若
CD=4,则点D到AB的距离是.
【解析】如图,过点D作DE⊥AB于点E,
∵AD是∠BAC的平分线,∴DE=CD,
∵CD=4,∴DE=4.
答案:4
【易错提醒】在运用角的平分线的性质和判定时,往往错误地将一线段当作“距离”,主要原因是不能正确理解角平分线的性质和判定,因此在运用角平分线的性质和判定时,一定要注意“距离”必须有垂直的条件.
5.(2013·泉州中考)如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB
于D,若QC=QD,则∠AOQ=°.
【解析】∵QC⊥OA,QD⊥OB,QC = QD,
∴点Q在∠AOB的平分线上,
∴∠AOQ=错误！未找到引用源。

∠AOB,
∵∠AOB =70°,∴∠AOQ =35°.
答案:35
6.(2013·河池中考)如图,点O是△ABC的两条角平分线的交
点,若∠BOC=118°,则∠A的大小是.
【解析】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO.
∵点O是△ABC的两条角平分线的交点,
∴∠ABO=错误！未找到引用源。

∠ABC,∠ACO=错误！未找到引用源。

∠ACB, ∴∠BOC=∠A+错误！未找到引用源。

∠ABC+错误！未找到引用源。

∠ACB=错误！未找到引用源。

(∠A+∠ABC+∠ACB)+错误！未找到引用源。

∠A=90°+错误！未找到引用源。

∠A=118°,
则∠A=56°.
答案:56°
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,点P为∠ABC平分线上的一点,D点和E
点分别在AB和BC上,且PD=PE,试探究∠BDP与
∠BEP的数量关系,并给予证明.
【解析】∠BDP+∠BEP=180°.
理由:过P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,由角平分线性质,得PM=PN,
在Rt△DPM和Rt△EPN中PD=PE,PM=PN,
∴Rt△DPM≌Rt△EPN(H.L.),∴∠ADP=∠BEP,
又∠BDP+∠ADP=180°,∴∠BDP+∠BEP=180°.
【变式训练】如图,点D,B分别在∠A的两边上,C是∠A内一点,且AB=AD,BC=DC,CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为E,F.
求证:CE=CF.
【证明】连结AC,∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(S.S.S.).
∴∠DAC=∠BA C.
又CE⊥AD,CF⊥AB,
∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等).
8.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角
∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN.(保留作图痕迹,
不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)
【解析】(1)作出∠ADC的平分线DN如图所示.
(2)△ADF是等腰直角三角形.
【培优训练】
9.(10分)观察、猜想、探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.
(1)如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线时,求证:AB=AC+C D.
(2)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想.
(3)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
【解析】(1)过D作DE⊥AB,交AB于点E,如图所示,
∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,
∴DE=DC,在Rt△ACD和
Rt△AED中,AD=AD,DE=DC,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(H.L.),
∴AC=AE,∠ACB=∠AED,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,
∴BE=DE=DC,则AB=BE+AE=AC+C D.
(2)AB=CD+A C.
(3)AB=CD－AC,理由为:在AF上截取AG=AC,连结DG,
如图所示,
∵AD为∠FAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD,
∵在△ADG和△ADC 中,AG=AC,∠GAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ADG≌△ADC,
∴CD=GD,∠AGD=∠ACD,
即∠ACB=∠FGD,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠FGD=2∠B,
又∵∠FGD=∠B+∠GDB,
∴∠B=∠GDB,
∴BG=DG=DC,则AB=BG－AG=CD－A C.
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