高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1 函数与方程(第2课时)用二分法求方程的近似

2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.4.1 函数与方程（第2课时）用二分法求方程的近似解学案苏教版必修1
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第2课时用二分法求方程的近似解
1．通过实例理解二分法的概念．(难点）
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)
［基础·初探］
教材整理二分法
阅读教材P93至P96,完成下列问题．
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f (a）·f （b)〈0的函数y＝f （x)，通过不断地把函数f (x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数f （x)零点近似值的步骤
（1)确定区间［a，b］，使f (a）·f （b)<0.
(2)求区间（a,b)的中点x1＝a＋b 2。

（3)计算f (x1）．
①若f (x1)＝0,x1就是函数的零点;
②若f (a)·f (x1)<0,则令b＝x1,此时零点x0∈（a，x1)；
③若f （x1）·f （b）〈0，则令a＝x1，此时零点x0∈（x1，b）．
（4）判断是否达到题目要求，即若达到，则得到零点近似值，否则重复步骤（2）~（4)．3．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f （x）＝g（x)的近似解时可构造函数h（x）＝f （x)－g（x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．
1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)
(1）二分法所求出的方程的解都是近似解．( ）
(2）函数f (x)＝|x｜可以用二分法求零点．（)
(3）用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( ）（4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f （x)在［a，b]内的所有零点得到．（）【解析】四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f (x）＝x－1在（0，2）上用二分法求解时，中点为x＝1,而f （1）＝0.（2）中，f (x)＝|x|≥0，不能用二分法．（3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f （x)在［a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可．故可能会漏掉一些，另外在等分区间后,中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法"不一定求出函数的所有零点的近似解．
【答案】（1)×（2）×(3）×（4)×
2．用二分法求函数y＝f （x)在区间[2，3］上的零点的近似值,验证f (2）·f （3）＜0，取区间[2，3]的中点x1＝错误!＝2.5，计算得f （2。

5）·f （3）＞0，此时零点x0所在的区间是________．
【解析】由于错误!
所以f (2)·f (2。

5)＜0，
所以x0∈(2，2.5)．
【答案】（2，2.5）
［小组合作型]
“二分法”求方程的
近似解
证明：方程6－3x＝2x在区间（1,2）内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1)
【精彩点拨】构造函数f （x)＝2x＋3x－6→验证f （1)·f (2）〈0
→根据图象说明解唯一→利用二分法求近似解
【自主解答】分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象,如图所示：
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，
并且这个解在区间(1，2)上．
设f （x）＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算,得:
f (1)<0，f (2)〉0⇒x
∈（1，2），
1
f （1)〈0，f （1。

5）>0⇒x
∈(1，1.5)，
1
f （1)<0，f （1.25)〉0⇒x
∈（1，1。

25)，
1
f (1.125)<0，f （1。

25）>0⇒x
∈(1.125，1.25),
1
f (1.187 5）〈0，f (1.25)>0⇒x
∈（1.187 5,1。

25），
1
f (1。

218 75）〈0，f (1.25)>0⇒x
∈（1。

218 75，1.25）,
1
f (1.218 75）<0，f （1.234 375）〉0⇒x
∈（1.218 75，1。

234 375)．
1
因为1。

218 75与1.234 375精确到0。

1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为x1≈1。

2.
1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．
2．求方程f （x)＝g(x）的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f (x），y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；②实施二分法时，需构造函数F (x)＝f (x)－g（x），求F (x)＝0的近似解．
［再练一题]
1．求3
2的近似值（精确到0.1)．
【解】错误!是x3＝2的根,因此可构造f （x）＝x3－2，问题转化为“求f (x)的零点的近似解"．
用二分法求其零点．
由f （1）＝－1<0，f （2)＝6〉0。

故可取区间［1，2］为计算的初始区间．
用二分法逐次计算,如下：
f （1）<0，f (1.5)〉0⇒x
1
∈（1,1。

5），
f (1。

25)<0，f （1.5）〉0⇒x
1
∈（1.25,1.5），
f （1.25）<0，f (1。

375)>0⇒x
1
∈(1。

25，1.375），
f （1.25)〈0,f (1.312 5)〉0⇒x
1
∈(1.25，1.312 5），
至此可见，区间［1.25,1.312 5］上所有值精确到0.1均为1.3,所以1。

3是错误!精确到0.1的近似值．
［探究共研型]
使用二分法的注意事
项
探究1
【提示】理论依据是零点存在性定理．
探究2 能用二分法求方程近似解的条件是什么？
【提示】条件共三点:
（1)f (x）图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号;(3）每次区间等分后,必须有端点函数值异号．
（1）下列函数没有零点的是________,在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．(填序号）
①y＝x－7；②y＝错误!x－2；③y＝log4x＋3;④y＝2x＋x;⑤y＝x2;⑥y＝－2x2;⑦y＝－2x －1.
（2）下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．(填序号)
【精彩点拨】根据二分法的概念进行判断．
【自主解答】（1)⑦中y<0，故没有零点,①②③可通过解方程求零点,④必须用二分法，⑤⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．
（2）①⑤图中，与x轴交点两侧符号一致，不能用二分法，②③④均可用二分法，但④应该注意区间的选择．
【答案】(1）⑦④⑤⑥（2)①⑤②③④
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点（在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
[再练一题］
2．(1)下面关于二分法的叙述，正确的是________．（填序号）
①用二分法可求所有函数零点的近似值；
②用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位；
③二分法无规律可循;
④只有在求函数零点时才用二分法．
（2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是________．（填序号)
【解析】（1）只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值,故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错;求方程的近似解也可以用二分法，故④错．
(2）由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．
【答案】（1)②（2）①
1．用二分法求函数y＝f (x)在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4）<0，精确到0。

1，取区间(2，4）的中点x1＝错误!＝3，计算得f (2）·f （x1）<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
【解析】由f （2)·f (3)<0可知．
【答案】(2,3)
2．用“二分法”可求近似解，对于精确到ε的说法正确的是________．(填序号)
①ε越大，零点的精确度越高；
②ε越大，零点的精确度越低；
③重复计算次数就是ε；
④重复计算次数与ε无关．
【解析】依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
【答案】②
3．在用二分法求函数f (x）零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4］，则第三次所取的区间可能是________．（填序号）
①［1,4]；②［－2,1];③[－2,2。

5］；④［－0。

5,1］．
【解析】因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1］，［1，4］；第三次所取的区间可能为[－2,－0.5］，[－0.5，1],[1，2.5］，［2。

5，4］,只有④在其中，故答案为④.
【答案】④
4．已知图象连续不断的函数y＝f (x）在区间（0，0.1）上有唯一的零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0。

01)的近似值，则应将区间(0，0.1）等分的次数至少为________
次．
【解析】由错误!〈0.01，得2n>10，∴n的最小值为4。

【答案】4
5．用二分法求函数f (x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
【解】由表中f (1。

562 5)＝0.003,
f （1。

556 2）＝－0.029，
∴f （1.562 5)·f (1.556 2)<0。

又因为1。

562 5和1.556 2精确到0。

01的近似值都为1.56，
故一个零点近似值为1。

56.。