最大无关组练习

再变成行最简形矩阵。 把 A 再变成行最简形矩阵。 1 行变换 r r r r r 0 ( a1, a2 , a3, a4 , a5 ) ~ 0 0 r r r
即得a3 = −a1 − a2 , r r r r a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4.
4 1 −1 0 3 , 0 0 1 −3 0 0 0 0
0 −1 0
4.
1 0 2 3 5 设A = 2 −6 −2 0 −2 , 3 −6 0 4 3
的列向量组的一个最大无关组及A 求A 的列向量组的一个最大无关组及 的其余列向量 用它们线性表示的表达式。 用它们线性表示的表达式。 解 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
练 习
1.
解.
2.
解.
2 −1 −1 1 1 1 −2 1 3. 设矩阵 A = 4 −6 2 −2 3 6 −9 A 的列向量组的一个最大无关组， 求矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并把不属 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。 解 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
1 行变换 0 A ~ 0 0 1 −2 1 1 −1 1 0 0 0 0 4 0 , 1 −3 0 0
1 0 A~ 0 0
1 −2 1 1 −1 1 0 0 0 0
4 0 , 1 −3 0 0
故列向量组的最大无关组含3个向量 个向量。 知R(A) = 3, 故列向量组的最大无关组含 个向量。 而三个非零行向量的非零首元在1、 、 三列 三列， 而三个非零行向量的非零首元在 、2、4三列， 为列向量组的一个最大无关组。 故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组。 这是因为
1 行变换 r r r 0 ( a1, a2 , a4 ) ~ 0 0 1 1 0 0 1 1 , 1 0
r r r r r r R(a1, a2 , a4 ) = 3, 故a1, a2 , a4线性无关.
r r r r r 为把a3 , a5用a1, a2 , a4 线性表示， 线性表示，
行变换 1 0 2 0 5 A ~ 0 1 1 0 2 , 0 0 0 1 0 r r
知R( A) = 3,
r 故a1, a2 , a4 为A 的列向量组的一个最大无关组 ( 不
r r r r r r 且有： 唯一 ) 。且有： a3 = 2a1 + a2 ; a5 = 5a1 + 2a2.