高中数学成才之路必修4：3-1-2

3.1.2
一、选择题
1．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45
，则cos αcos β的值为( ) A ．0
B.45
C ．0或45
D ．0或±45
[答案] A
[解析] 由条件得，cos αcos β－sin αsin β＝45
， cos αcos β＋sin αsin β＝－45
， 左右两边分别相加可得cos α·cos β＝0.
2．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝
62
，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
[答案] B
[解析] a ＝2sin(14°＋45°)＝2sin59°， b ＝2sin(16°＋45°)＝2sin61°，c ＝2·32
＝2sin60°， 由y ＝sin x 在(0°，90°)上单调增知：a <c <b .
3.2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的化简结果是( ) A ．22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x
B ．22sin ⎝⎛⎭
⎫x －5π12 C ．22sin ⎝⎛⎭⎫7π12＋x
D ．22sin ⎝⎛⎭
⎫x －7π12 [答案] A
[解析] 2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋x ＝2sin ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋6sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋x ＝22⎣⎡⎦
⎤12cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋32sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22⎣⎡⎦
⎤sin π6cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋cos π6sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22sin ⎣⎡⎦⎤π6＋⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋x . 4．若α、β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35
，则cos β等于( ) A.255
B.2525
C.255或2525
D ．－2525
[答案] B
[解析] ∵α与β均为锐角，且sin α＝255>sin(α＋β)＝35
，∴α＋β为钝角， 又由sin(α＋β)＝35得，cos(α＋β)＝－45
， 由sin α＝255得，cos α＝55
， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525
，故选B.
5．若α、β为两个锐角，则( )
A ．cos(α＋β)>cos α＋cos β
B ．cos(α＋β)<cos α＋cos β
C ．cos(α＋β)>sin α＋sin β
D ．cos(α＋β)<sin α＋sin β
[答案] B
[解析] cos(α＋β)－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β
∵α、β是锐角，∴cos β－1<0，cos β>0，cos α>0，sin β>0，sin α>0
∴cos(α＋β)－(cos α＋cos β)<0，
∴cos(α＋β)<cos α＋cos β.
[点评] ∵α、β均为锐角，∴cos β>0,0<α<α＋β<π，∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减． ∴cos α>cos(α＋β)，∴cos α＋cos β>cos(α＋β)．故A 错，B 对；当α、β很接近于0时，
sin α＋sin β接近于0，cos(α＋β)接近于1，故D 错，当α＝β＝π4
时，C 错． 6．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.1－m 2
B ．－1－m 2 C.m 2－1
D ．－m 2－1
[答案] B
[解析] 由条件得，sin[(α－β)－α]＝sin(－β)
＝－sin β＝m ，∴sin β＝－m .
又∵β为第三象限角，
∴cos β＝－1－sin 2β＝－1－m 2.
7．若sin α－sin β＝1－
32，cos α－cos β＝－12
，则cos(α－β)的值是( ) A.12
B.
32 C.34 D ．1
[答案] B
[解析] ∵sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝－12
， ∴(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝(1－
32)2＋(－12)2 ∴2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2－ 3
∴cos αcos β＋sin αsin β＝32
，
即cos(α-β)＝32
. 8．若cos αcos β＝1，则sin(α＋β)等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
[答案] B
[解析] ∵cos αcos β＝1，
∴cos α＝1，cos β＝1或cos α＝－1，cos β＝－1，
∴sin α＝0，sin β＝0，
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0.
9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x (x ∈R )的最小值等于( ) A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．－ 5
[答案] C
[解析] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π6
∈R ，∴y min ＝－1. 10．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( )
A ．x ≤y
B ．x ＜y
C ．x ≥y
D ．x ＞y
[答案] D
[解析] ∵π>A ＋B ＞π2
，∴cos(A ＋B )＜0， 即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.
二、填空题
11．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45
，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________. [答案] －3＋4310
[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－45
， ∵450°<β<540°，∴sin β＝35
， ∴sin(60°－β)＝32·⎝⎛⎭⎫－45－12×35＝－3＋4310
. 12．已知α、β为锐角，且tan α＝23，tan β＝34
，则sin(α＋β)＝________. [答案] 171365
[解析] ∵α为锐角，tan α＝2
3
， ∴sin α＝213，cos α＝313， 同理可由tan β＝34得，sin β＝35，cos β＝45
. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝213×45＋313×35
＝171365. 13．化简(tan10°－3)·cos10°sin50°
＝________. [答案] －2
[解析] (tan10°－3)·cos10°sin50° ＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50° ＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°
＝
sin10°·cos60°－cos10°·sin60°cos10°·cos60°·cos10°sin50° ＝sin(－50°)cos60°·1sin50°＝－sin50°12
·1sin50°
＝－2. 14．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3的最大值是________． [答案] 3
[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3
＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3 ＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32
sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡⎦
⎤32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3
＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭
⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6， 当cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6＝1时，y max ＝ 3. 三、解答题
15．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35
，求sin2α的值． [解析] ∵π2<β<α<3π4
， ∴π<α＋β<3π2，0<α－β<π4
. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝
1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.
∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝⎝⎛⎭⎫－35×1213＋⎝⎛⎭⎫－45×513＝－5665. 16．求证：sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α
. [解析] sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.
由待证式知sin α≠0，故两边同除以sin α得
sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α
. [点评] 在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等变换的基本策略．
17．在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513
，求cos C . [解析] ∵0<cos B ＝513<22
，且0<B <π. ∴π4<B <π2，且sin B ＝1213
. 又∵0<sin A <35<22
，且0<A <π， ∴0<A <π4或34
π<A <π. 若34π<A <π，则有π<A ＋B <32π，与已知条件矛盾，∴0<A <π4，且cos A ＝45
. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )
＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×1213－45×513＝1665
. [点评] 本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A ＝35得出cos A ＝±45
，导致错误结论cos C ＝5665或1665
. 18．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝
255
. (1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513
，求sin α的值． [解析] (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝45， 又a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，
∴a 2＝b 2＝1，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝35. (2)∵－π2<β<0<α<π2
，∴0<α－β<π， 由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45
，
又sin β＝－513，∴cos β＝1213
， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365
.。