2019广东省初中学业水平考试数学专题——―四边形测试卷

2019广东省初中学业水平考试数学专题――四边形测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．一个正n边形的每一个外角都是36°，则n等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是( )
A．OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC C．AB＝CD D．AC＝BD
4．菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为( )
A．52 B．48 C．40 D．20
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
7．如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )
A．正方形B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
8．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG ⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于 ( )
A．1 B．1
2
C.
1
3
D．
1
4
9．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF 交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 3
10．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N 分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( )
A.1
2
B．1 C. 2 D．2
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 .
12．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(6,0)，点C的坐标是(1,4)，则点B的坐标是．
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：，使四边形ABCD为平行四边形．(不再添加任何辅助线)
14．如图，在平行四边形ABCD中，请添加一个条件：，使平行四边形ABCD是矩形．(不再添加任何辅助线)
15．已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是 .
16．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 .
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
17．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
19．如图，在矩形ABCD中，AD＝AE，DF⊥AE于点F.求证：AB＝DF.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
20．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF.
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若GB＝3，BC＝6，BF＝3
2
，求AB的长．
21．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE ∥DC，EF⊥CD于点F.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD，连接BD，点E在AB上，且∠BDE＝15°，DE＝43，DC＝221.
(1)求BE的长；
(2)求四边形DEBC的面积．
五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
23．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
24．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD 边上的点P处．
(1)如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.若△OCP与△PDA 的面积比为1∶4，求边CD的长；
(2)如图2，在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P，A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点M，N在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律；若不变，求出线段EF的长度．
25．在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE＝EG，∠AEF＝∠BEG.
(1)如图1，求证：△ABE≌△FGE；
(2)如图2，当∠ABC＝120°时，求证：AB＝BE＋BF；
(3)如图3，当∠ABC＝90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？请写出理由．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．
1-5CDDBA 6-10 ABBAB
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11.8 12. (7,4)
13. AD ＝BC (答案不唯一) 14. AC ＝BD (答案不唯一) 15. 23 16.
342
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 17.解：设∠A ＝x ，则∠B ＝x ＋20°，∠C ＝2x. 由四边形内角和定理得x ＋(x ＋20°)＋2x ＋60°＝360°， 解得x ＝70°.∴∠A ＝70°，∠B ＝90°，∠C ＝140°.
18.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，且AB ＝CD ， 又∵AE ＝CF ，∴BE ＝DF ， ∴BE ∥DF 且BE ＝DF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形．
19.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠AEB ＝∠DAE ， ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B ＝90°，
在△ABE 和△DFA 中，⎩⎨⎧
∠AEB ＝∠DAF ，
∠B ＝∠AFD ，
AE ＝DA ，
∴△ABE ≌△DFA (AAS )，∴AB ＝DF.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
20.(1)证明：∵E 是AC 的中点，∴AE ＝CE ， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE ＝∠CDE ，
在△AEF 和△CED 中，⎩⎨⎧
∠AFE ＝∠CDE ，
∠AEF ＝∠CED ，
AE ＝CE ，
∴△AEF ≌△CED (AAS )，∴AF ＝CD ，
又AB ∥CD ，即AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形． (2)解：∵AB ∥CD ，∴△GBF ∽△GCD ，
∴GB GC ＝
BF CD ，即33＋6＝32
CD ，解得CD ＝9
2
， ∵四边形AFCD 是平行四边形，
∴AF ＝CD ＝92，∴AB ＝AF ＋BF ＝92＋3
2＝6.
21.(1)证明：∵AD ∥BC ，AE ∥DC ， ∴四边形AECD 是平行四边形， ∵∠BAC ＝90°，E 是BC 的中点， ∴AE ＝CE ＝1
2BC ，∴四边形AECD 是菱形．
(2)解：如图，过A 作AH ⊥BC 于点H ，
∵∠BAC ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，∴AC ＝102－62＝8， ∵S △ABC ＝12BC·AH ＝12AB·AC ，∴AH ＝6×810＝24
5，
∵点E 是BC 的中点，BC ＝10，四边形AECD 是菱形， ∴CD ＝CE ＝5，
∵S ▱AECD ＝CE·AH ＝CD·EF ，∴EF ＝AH ＝24
5
.
22.解：(1)∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAD ＝90°，
∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，
∵∠BDE ＝15°，∴∠ADE ＝30°，
在Rt △ADE 中，AE ＝DE·sin 30°＝23，AD ＝DE·cos 30°＝6， ∴AB ＝AD ＝6，∴BE ＝6－23.
(2)如图，作DF ⊥BC 于F ，则四边形ABFD 是矩形，
∴BF ＝AD ＝6，DF ＝AB ＝6，
在Rt △DFC 中，FC ＝CD 2－DF 2
＝43，∴BC ＝6＋43，
∴S 四边形DEBC ＝S △DEB ＋S △BCD
＝12×()6－23×6＋12
×()6＋43×6＝36＋63.
五、解答题(三)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
23.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ， ∴∠EBD ＝12
∠ABD ＝∠FDB ，∴EB ∥DF ， ∵ED ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．
(2)解：∵四边形BFDE 为菱形，∴BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝30°， ∵∠A ＝90°，AB ＝2，∴AE ＝23＝233，BF ＝BE ＝2AE ＝433， 故菱形BFDE 的面积为433×2＝833
.
24.解：(1)如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠D ＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，
∵由折叠可得∠APO ＝∠B ＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠3，
又∵∠D ＝∠C ，
∴△OCP∽△PDA.
∵△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4，∴OP PA ＝CP DA ＝14＝12，∴CP ＝12
AD ＝4， 设OP ＝x ，则CO ＝8－x ，在Rt △PCO 中，∠C ＝90°，
由勾股定理得 x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5，∴AB ＝AP ＝2OP ＝10，
∴边CD 的长为10.
(2)如图2，作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，∵AP ＝AB ，MQ ∥AN ，
∴∠APB ＝∠ABP ＝∠MQP ，
∴MP ＝MQ.
∵BN ＝PM ，∴BN ＝QM.
∵MP ＝MQ ，ME ⊥PQ ，∴EQ ＝12
PQ.∵MQ ∥AN ，∴∠QMF ＝∠BNF ， 在△MFQ 和△NFB 中，⎩⎨⎧ ∠QFM ＝∠BFN ，
∠QMF ＝∠BNF ，
MQ ＝NB ，∴△MFQ ≌△NFB (AAS )．
∴QF ＝12QB ，∴EF ＝EQ ＋QF ＝12PQ ＋12QB ＝12
PB ， 由(1)中的结论可得PC ＝4，BC ＝8，∠C ＝90°，∴PB ＝82＋42＝45，
∴EF ＝12
PB ＝25，∴在(1)的条件下，当点M ，N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为25.
25.(1)证明：∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠ABD ＝∠CBD ，
∵BE ＝EG ，∴∠CBD ＝∠BGE ，∴∠ABD ＝∠BGE ，
∵∠AEF ＝∠BEG ，∴∠AEB ＝∠FEG ，
在△ABE 和△FGE 中，⎩⎨⎧ ∠AEB ＝∠FEG ，
BE ＝GE ，
∠ABE ＝∠FGE ，∴△ABE ≌△FGE (ASA )．
(2)证明：∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠CBD ＝12
∠ABC ＝60°， ∵BE ＝EG ，∴△BEG 是等边三角形，∴BE ＝BG ，
由(1)知△ABE ≌△FGE ，∴AB ＝FG ＝BF ＋BG ＝BF ＋BE.
(3)解：结论：AB ＋BF ＝2BE.理由：
∵∠ABC ＝90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，
∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，
∵BE ＝EG ，∴∠G ＝∠CBE ＝45°＝∠ABD ，
∵∠AEF ＝∠BEG ，∴∠AEB ＝∠FEG ，
在△ABE 和△FGE 中，⎩⎨⎧ ∠AEB ＝∠FEG ，
BE ＝GE ，
∠ABE ＝∠G ，
∴△ABE ≌△FGE (ASA )，∴AB ＝FG ，
∵AB ＝BC ＝BF ＋FC ，FG ＝CF ＋CG ，
∴BF ＝CG ，∴BG ＝BC ＋CG ＝AB ＋BF ， ∵∠EBG ＝∠G ＝45°，∴∠BEG ＝90°，
∴BG ＝2BE ，∴AB ＋BF ＝2BE.。