24.1.3 弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系定理

一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O· B
判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③
④
思考
1、在圆O中，圆心角∠AOB对应的弧是谁？弦是 谁？弦心距是谁？
2、在圆O中，圆心角∠AOB确定后，其他对应的 三个量确定吗？
O B D A
二、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
六、练习
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
E D C A
= DE
∵
BC = CD
= DE

O
·
BOC= COD= DOE=35
B
AOE 180 3 35


75

七、思考
1.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦， ⌒ ⌒
辨析1
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
辨析2
定理“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距 相等，所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分 别相等”中，为什么说是“所对的优弧和劣弧分 别相等”？直接说成“所对的弧相等”行吗？
A′ B
B′
O
·
根据旋转的性质，将圆心角 ∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′， 半径OA与OA′重合，OB与OB′重 A 合．而同圆的半径相等，OA=OA′， OB=OB′，从而点A与A′重合，B与 B′重合．
⌒ ⌒ 因此，AB与A'B' 重合， AB与A′B′ 的弦心距 AB与A′B′重合． 相等吗？ ⌒ ⌒ = A'B' AB A ' B '. AB
复习回顾
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直 线都是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转 任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 文字语言： 并且平分弦对的两条弧。
C
数学语言：
.O
A
M D
∵ ①CD是圆O 的直径
② CD⊥AB
B
∴ ③AM=BM ④AC=BC ⑤AD=BD
文字语言： 垂径定理的推论1： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦对的两条弧。
C
数学语言：
.O
A
∵ ①CD是圆O 的直径
③AM=BM
B
M
D
∴ ②CD⊥AB ④AC=BC ⑤AD=BD
学习目标：
1、发现圆的旋转不变性。 2、了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。 3、发现圆心角、弧、弦、弦心距之间的 相等关系，并初步学会用它们解决有关 问题。
30 M P A Q
3．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假设 拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是 否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时 间为多少秒？
⌒ ⌒ ⌒
B
1、三个元素：
圆心角、弦、弧、
α
Oα A1 B1
A
2、三个相等关系：
(1) 圆心角相等 (2) 弧相等
(3) 弦相等
知 一 得 二
随堂练习
1、如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆 外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B 和C、D。 求证：AB=CD
M
B E

NOC
O M A C N B
3.如图，BC为⊙O的直径，OA是
⊙O的半径，弦BE∥OA,
⌒ ⌒ 求证：AC=AE
证明：连接OE， ∵BE∥OA， ∴∠B=∠COA， ∠E=∠AOE， ∵OE=OB， ∴∠B=∠E， ∴∠COA=∠AOE， ∴AC=AE ⌒ ⌒．
C
A
O
E
B
4.已知：如图，∠AOB=90°，D、C将 ⌒ 三等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E AB 求证：AE=DC=BF．
A P C
.
O D
N
F
2、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。求证：AC=BD。
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BOC=∠2+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
⌒ ⌒， ∴AC=BD
∴AC=BD．
3．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且 ∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m， 假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的 影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶 时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由， 如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那 N 么学校受影响的时间为多少秒？
④在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧有两条，此题没说 清楚是所对的优弧相等还是劣弧相等，故错误。
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AC
,∠ACB=60°,
A
证明：
∵
AB =
AC
B
O
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
C B O D A
AD=BC, 求证AB=CD。
2.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点 ⌒ 的中点，M、N分别为OA、OB C为AB 的中点，求证：MC=NC
提示：证 MOC
证明： 连接OC ∵点C是弧AB的中点 ⌒=⌒ ∴ AC BC ∴∠AOC=∠BOC（等弧对等角） ∵OA=OB=⊙O的半径 点M、N分别是OA、OB的中点 ∴OM=ON=1/2⊙O的半径 又∵OC=OC ∴△OMC≌△ONC（SAS） ∴MC=NC
证明：连接AC,BD ∵C和D 是弧AB的三等分点 ∴AC = CD = DB ∴AC=CD=BD(在同圆中相等的弧所对的弦也相等） ∵∠AOB=90° ∴∠AOC=30° ∠BOC=60° ∴∠BAC=30° （在同圆中一条弧所对圆周角等于这条弧所对圆心角的一半） ∵OA=OC ∴∠OCA=（180°-∠AOC）÷2=75° ∴∠AEC=∠AOE+∠OAE=30°+∠OAE=∠OAC=75° ∴AC=AE（等腰三角形的两个腰长相等） 同理：BD=BF 又∵AC=CD=BD ∴AE=BF=CD
三、四者间的关系定理
弧、弦、弦心距与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．
还可以得到：
在同圆或等 圆中，两个 相等 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____， 圆心角、两 相等 ， 所对的弦心距_____ 相等 ； 所对的弦_____ 条弧、两条 弦、两条弦 相等 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距___，所 心距中有一 相等 ，所对的优弧和劣弧分别____ 相等； 对的圆心角____ 组量相等， 它们所对应 相等 ， 在同圆或等圆中，相等的弦心距所对应的弦_____ 的其余三组 相等 ，所对应的弧_____ 相等 ． 所对应的圆心角______ 量也相等．
·
·
小试身手 1.判断下列说法是否正确：
（1）相等的圆心角所对的弧相等。（×）
（2）等弧所对的弦相等。（ √ ）
（3）相等的弧所对的弦相等。（×）
（4）在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等。 （×）
①在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦也相等．故错误；
③相等的弧不一定是等弧，所对的弦不一定相等；故错误；