2016年江西省九校高三联合考试理科数学(解析版)

2016年江西省九校高三联合考试理科数学(解析版)
D
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】C
【解析】主要考查直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.执行程序框图,可得
N＝3是奇数,满足条件:不满足条件:返回循环;
是偶数,不满足条件,不满足条件,返回循环;
是奇数,满足条件不满足条件,返回循环;
是偶数,不满足条件,不满足条件,返回循环;
是偶数,不满足条件,不满足条件,返回循环;
是偶数,不满足条件,不满足条件,返回循环;
是偶数,不满足条件,满足条件,结束循环,输出i的值为8.故选C.
3．设集合,则等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要以分式不等式的解法及指数函数的值域为载体,考查集合的补集和交集运算.由集合
,,,
又全集是
,故选B.
4．函数的图像的一个对称中心为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质以及二倍角公式.
因为函数,令求得
可得它的图象的对称中心为故选C.
5．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是
A. B.4 C. D.3
【答案】B
【解析】本题主要考查空间几何体的三视图和直观图,及简单几何体的体积.
由三视图知余下的几何体如图所示:其中都是侧
棱的中点,∴上、下两部分的几何体相同,∴上、下两部分的体积相等,∴几何体的体积故选B.
6．在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为
A.1 193
B.1 359
C.2 718
D.3 413
附:若,则
,,
【答案】B
【解析】主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.考查正态分布中两个变量和的应用,以及正态分布的图象的对称性.
正态分布的图象如下图:正态分布(-1,1),则在(0,1)的概率如图中阴影部分,由概率为
即阴影部分的面积为0.1359;所以点落入图中阴影部分的概率为
=0.1359;所以投掷10 000 个点,则落入阴影部分的个数的估计值为故选B.
7．已知数列是等比数列,数列是等差数列,若
,则的值是
A.1
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】主要考查等差数列和等比数列的性质以及正切函数的求值.
因为数列是等比数列,且所以
,解得,;又因为数列
是等差数列,所以,,故tan故选D.
8．已知实数满足,则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】主要考查简单的线性规划问题.作出不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示,由表示的
几何意义可知,当曲线过点时,取最大值9.故选D.
9．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2B＋cos B＝1-cos A cos C,则
A.a,b,c成等差数列
B.a,b,c成等比数列
C.a,2b,3c成等差数列
D.a,2b,3c成等比数列
【答案】B
【解析】主要考查正弦定理,诱导公式,同角三角函数间的基本关系,两角和的余弦公式以及等比数列的性
质,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.∵cos 2B＋cos B＝1-cos A cos C,即
由正弦定理可知:所以a,b,c成等比数列.故选B.
10．某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析,则在取到选择题时解答题也取到的概率为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】主要考查分布计数原理以及古典概型的概率计算公式.
由条件,采用分类的方法:分三类;
第一类:抽到的3道题分别为:一道选择题,一道填空题,一道解答题;共有种;
第二类:抽到的3道题分别为一道选择题,两道解答题,共有种;
第三类:抽到的三道题为两道选择题,一道解答题,共有种;
总的抽取方式共有种,由古典概型的概率计算公式可知:在取到选择题时解答题也取到的概率为
故选C.
11．双曲线eq f(x2,a2)-eq f(y2,b2)＝1(a,b＞0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ,则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离和直线与圆锥曲线的位置关系.
因为双曲线的虚轴两端点为B1,B2,两焦点为
F 1,F2.可得直线的方程为
双曲线的两顶点为A 1,A2, 以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2
点到直线的距离等与半径,即化简得
上式化简整理得
两边同时除以得,解之得
双曲线的离心率大于1,故选C. 12．已知又若满足的
有四个,则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】主要考查利用导数研究函数的单调性,函数
的零点与方程根的关系.易知在
上是单调递增函数,当
时,故上是增函数,在上是减函数,作其图象如下:
且故方程有两个不同的实根,,故解得,
故选A.
二、填空题：共4题
13．设,则的展开式中各项系数和为_________.
【答案】3
【解析】主要考查二项式定理和定积分的应用.
则,
令得,故答案为3.
14．正Δ中,在方向上的投影为,且,则________.
【答案】
【解析】主要考查平面向量的数量积.因为正Δ
中,在方向上的投影为,所以以边上的高为轴,以为轴建立平面直角坐标
系,由可
知:故答案为
15．已知P,A,B,C是球O球面上的四点,Δ是正三角形,三棱锥的体积为,且,则球O 的表面积为______________.
【答案】
【解析】主要考查球的体积和表面积的求法.如图,是球球面上的四点,∆ABC是正三角形,设∆的中心为S,球的半径为的边长为
.,解得三棱锥的体积为
解得球O的表面积故答案为
16．下列说法中所有正确的序号是________.
①为真的一个必要不充分条件是为真.
②若,则
③若实数满足,则
④数列的最大项为
【答案】①③④
【解析】主要考查命题的真假判断.
①为真等价于均为真;为真等价于只需一真即可,①正确;
②若,则②错误;
③由基本不等式可知,
函数y=是单调递减的,故答案为:①③④
三、解答题：共8题
17．已知数列的前项和为,且满足．
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:．
【答案】(1)∵,令,得．
∵,∴
两式相减得,整理
∴数列是首项为,公比为的等比数列,
∴,∴．
(2)∵=
=
.
【解析】主要考查由递推公式求数列的通项公式及数列求和(裂项相消法). (1)令,得,根据通项公式求出,整理得到数列是首项为,公比为的等比数列,根据等比数列的通项公式即可得出结果;(2)∵
.
18．已知正方形ABCD的边长为2,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点．
(1)在正方形ABCD内部随机取一点P,求满足的概率;
(2)从A,B,C,D,E,F,G,H这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离的平方为,求随机变量的分布列与数学期望．
【答案】(1)所有点P构成的区域是正方形ABCD的内部,其面积为．
满足的所有点P构成的平面区域是以E为圆心,1为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分,其面积为．
所以的概率为．
(2)从A,B,C,D,E,F,G,H这八个点中,任意选取两个点,共可构成28C28
条不同的线段,其中长度为1的线段有8条,长度为的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为的线段有8条,长度为的线段有2条．
所以所有可能的取值为1,2,4,5,8,
且,
,
所以随机变量的分布列为:
1 2 4 5 8
P
3
14
2
7
随机变量的数学期望为
.
【解析】主要考查离散型随机变量的分步列,离散型随机变量的数学期望及几何概型的概率计算公式.(1)根据已知条件可知:满足的所有点P构成的平面区域是以E为圆心,1为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分, 其面积为根据几何概型的概率计算公式即可得出结果;(2)根据条件列出随机变量的分布列,根据随机变量的数学期望的计算公式即可得出结果.
19．如图,在三棱柱中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,过作平面平行于,交AB于点D.
(1)求证:;
(2)若四边形是正方形,且 ,求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)连结AC1,设AC1与A1C相交于点E,连接DE,
则E为AC1中点,
∵BC 1∥平面A1CD,平面平面,
∴DE∥BC1,
∴D为AB的中点,
又∵Δ为正三角形,∴
. (2)22
2
115AD +A A =A D ,
, 又∥
, , 又AD
BC B
,
平面
设BC 的中点为O ,的中点为,以O 为原点,OB 所在的直线为x 轴,
所在的直线为y 轴,OA 所在的直
线为z 轴,建立空间直角坐标系O-x y z .
则,∴, 平面
的一个法向量
,
.
所以直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值为. 【解析】主要考查线面平行的性质定理以及用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. (1)连结AC 1,设
AC1与A1C相交于点E,连接DE,由线面平行即可得出DE∥BC 1, 进而得到D为AB的中点,又因为Δ为正三角形,所以得证;(2)由勾股定理得出:,结合题中条件得出平面建立适当的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,进而求出结果.
20．已知顶点为原点O,焦点在轴上的抛物线,其内接Δ的重心是焦点F,若直线BC的方程为.
(1)求抛物线方程;
(2)过抛物线上一动点M作抛物线切线,又且交抛物线于另一点N,ME(E在M的右侧)平行于轴,若
,求的值.
【答案】(1)设抛物线的方程为,则其焦点为, 设,
联立,整理得,
∴,
又Δ的重心为焦点F,,
代入抛物线中,解得,故抛物线方程为.
(2)设,即切线⇒,
即,
又,
∵,即.
【解析】主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查了直线的倾斜角与斜率的关系.(1)先设抛物线的方程为,然后表示焦点坐标,抛物线和直线方程联立可消去得到关于的一元二次方程,进而可得到的横坐标之和与纵坐标之和,再由点在抛物线上得到坐标满足抛物线方程,最后将的坐标代入Δ的重心坐标公式可求得的值,从而确定抛物线方程;(2)设,即切线
⇒,由直线倾斜角与斜率的关系和题上的已知条件即可得出结果.
21．已知函数满足,且为自然对数的底数.
(1)已知,求在处的切线方程;
(2)设函数为坐标原点,若对于在
时的图象上的任一点,在曲线上总存在一点,使得,且的中点在轴上,求的取值范围.
【答案】(1),
.
在处的切线方程为,即
(2), ,
,故,从而,
设为在时的图象上的任意一点,则,
的中点在轴上,的坐标为,
,所以
,.
由于,所以.
当时,恒成立,,
当时,,令,
则,
,从而在
上为增函数,由于时,,
.
【解析】主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性问题,同时也考查了分类讨论的数学思想方法. (1)
,求出并对求导,求出导函数在时的值,也即切线的斜率,利用直线方程的点斜式
即可求出结果;
(2)根据导数的定义和题干中的已知条件,求出, 设为在时的图象上的任意一点,的中点在轴上,的坐标为,再利用,得
.当时,恒成立,,当
时,,令,则,根据的单调性求出,进而求出a的取值范围.
22．如图所示,AC为⊙O的直径,D为eq o(BC,︵)的中点,E为BC的中点．
(1)求证:DE∥AB;
(2)求证:AC·BC＝2AD·CD.
【答案】(1)连接OE,因为D为eq o(BC,︵)的中点,E 为BC的中点,
所以OED三点共线．
因为E为BC的中点且O为AC的中点,
所以OE∥AB,故DE∥AB.
B
D
E
A C
(2)因为D为eq o(BC,︵)的中点,所以∠BAD＝∠DAC,
又∠BAD＝∠DCB,∠DAC＝∠DCB.
又因为AD⊥DC,DE⊥CE△DAC∽△EC D
, AD·CD＝AC·CE, 2AD·CD＝AC·2CE,
2AD·CD＝AC·BC.
【解析】主要考查直径所对的圆周角为直角以及与圆有关的比例线段的知识,解题时,注意线段乘积的形式通常可以转化为比例的形式,通过相似三角形的性质得出.(1) 连接OE,因为D为eq o(BC,︵)的中点,E为BC的中点,所以OED三点共线．因为E为BC的中点且O为AC的中点,所以OE∥AB,故DE∥AB;(2)要证AC·BC＝2AD·CD,转化为AD·CD＝AC·CE,再转化为比例式,最后只须证明△DAC∽△ECD即可.
23．已知直线l:为参数, 曲线为参数.
(1)设l与相交于A,B两点,求;
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
【答案】(1) l的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得l与的交点为, 则
(2)的参数方程为为参数).故点P的坐标是
从而点P到直线l的距离是
,
由此当时,d取得最小值,且最小值为.
【解析】主要考查直线的参数方程,函数的图象与图像变化,圆的参数方程和点到直线的距离公式,以及两点间距离公式. (1)分别求出直线的普通方程和曲线的普通方程,联立直线方程与曲线方程,求出点的坐标,利用两点间距离公式即可得出结果;(2)把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲线的参数方程:为参数),任取一
点P的坐标是利用点点到直线的距离公式即可求出,根据三角函数的值域得出d 的最小值为.
24．已知函数
(1)解不等式:
(2)若a<0,求证:
【答案】(1)由题意,得,
因此只须解不等式
当x≤1时,原不式等价于-2x+3≤2,即
当1<x≤2时,原不式等价于1≤2,即
当x>2时,原不式等价于2x-3≤2,即.
综上,原不等式的解集为.
(2)由题意得=
=≥
=
所以成立．
【解析】主要考查含绝对值不等式,取绝对值时常用零点分段法.(1)根据题意,不等式可等价转化为通过对与的讨论分析,去掉绝对值符号,即可求得原不等式的解集;(2)利用绝对值不等式时,可得
=从而可得结论.。