2020版高考数学一轮复习课时规范练39空间图形的基本关系与公理理北师大版

课时规范练39 空间图形的基本关系与公理
基础巩固组
1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
2.(2018河北衡水二调,3)已知l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题中正确的是()
A.若l∥α,m⫋α,则l∥m
B.若l∥α,m∥α,则l∥m
C.若l⊥m,m⫋α,则l⊥α
D.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
3.(2018河南六市一模,6)在空间中,a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是()
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a⫋α,b⫋β,α⊥β,则a⊥b
C.若a∥α,a∥b,则b∥α
D.若α∥β,a⫋α,则a∥β
4.(2018广东深圳二模,5)已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()
A.若l⊥m,l⊥n,且m,n⫋α,则l⊥α
B.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥n,n⊥α,则m⊥α
5.
如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面
D.B ,B 1,O ,M 共面
6.(2018广东佛山模拟,4)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点,则在空间中与直线A 1B 1,EF ,BC 都相交的直线( ) A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.有无数条
7.(2018云南保山统考二,10)四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是边长为2的正方形,PA=,E 为PC 的中点,则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为 ( )
A. B.
C.
D.
8.
(2018河北衡水一模,14)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CC 1⊥底面ABC ,D 是AB 的中点,∠
ACB=90°,AC=BC=CC 1,过点D 、C 作截面交BB 1于点E ,若点E 恰好是BB 1的中点,则直线AC 1
与DE 所成角的余弦值为 .
综合提升组
9.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m ,α∩平面
ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为( )
A. B.
C.
D.
10.
(2018重庆模拟,14)如图,四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP 与BD 所成的角为 .
11.α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题;
①如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β. ②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. ③如果α∥β,m ⫋α,那么m ∥β.
④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
创新应用组
12.
(2018山西太原三模,10)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中;①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
13.
(2018陕西黄陵中学6月模拟,7)我国古代《九章算术》里,记载了一个例子;“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8
尺,AB,CD间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
参考答案
课时规范练39 空间图形的基本关系与公理
1.A“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”.“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”.故选A.
2.D由题意,A中,若l∥α,m⫋α,则l∥m或l与m异面,所以不正确;B中,若l∥α,m∥α,则l∥m或l与m相交或异面,所以不正确;C中,若l⊥m,m⫋α,则l⊥α或l与平面α斜交或平行,所以不正确;D 中,若l⊥α,l∥m,则m⊥α是正确的,故选D.
3.D若a∥α,b∥α,则a,b位置关系不定;若a⫋α,b⫋β,α⊥β,则a,b位置关系不定;若a∥α,a∥b,则b ∥α或b⫋α;若α∥β,a⫋α,则a∥β,选D.
4.D对于选项A,若l⊥m,l⊥n,且m,n⫋α,则l不一定垂直平面α,因为m有可能和n平行,所以该选项错误;对于选项B,若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α,β可能相交或平行,所以该选项错误;对于选项C,若m⊥α,m⊥n,则n有可能在平面α内,所以该选项错误;对于选项D,由于两平行线中有一条垂直平面α,则另一条也垂直平面α,所以该选项正确.故答案为D.
5.A 连接A 1C 1,AC ,则A 1C 1∥AC ,
所以A 1,C 1,A ,C 四点共面. 所以A 1C ⫋平面ACC 1A 1.
因为M ∈A 1C ,所以M ∈平面ACC 1A 1. 又M ∈平面AB 1D 1,
所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上.
同理A ,O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上,所以A ,M ,O 三点共线. 6.D
在EF 上任意取一点M ,直线A 1B 1与M 确定一个平面,这个平面与BC 有且仅有1个交点N ,当M 的位置不同时确定不同的平面,从而与BC 有不同的交点N ,而直线MN 与A 1B 1,EF ,BC 分别有交点P ,M ,N ,如图,故有无数条直线与直线A 1B 1,EF ,BC 都相交. 7.C 取CD 的中点F ,连接BF ,EF ,
∵E 是PC 的中点,∴EF ∥PD ,
则∠BEF 是BE 与PD 的夹角,EF=PD=.
∵PC=, ∴cos ∠BPC==, ∴BE 2=32+2-2×3××=.
又BF=,
∴cos ∠BEF===.
8. 连接AB 1,且AB 1∥DE ,所以直线AC 1与DE 所成角为∠C 1AB 1,由CC 1⊥底面ABC ,所以为直三棱柱,设AC=BC=CC 1=1,∠ACB=90°,所以B 1C 1=1,AC 1=,AB 1=,且B 1C 1⊥AC 1,cos ∠C 1AB 1==.填. 9.A (方法一)∵α∥平面CB 1D 1,平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1,α∩平面ABCD=m ,平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1=B 1D 1,∴m ∥B 1D 1.
∵α∥平面CB 1D 1,平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1,α∩平面ABB 1A 1=n ,平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1=CD 1,∴n ∥CD 1.
∴B 1D 1,CD 1所成的角等于m ,n 所成的角,即∠B 1D 1C 等于m ,n 所成的角. ∵△B 1D 1C 为正三角形,∴∠B 1D 1C=60°, ∴m ,n 所成的角的正弦值为.
(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1平移,
补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,
所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.
因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,
故m,n所成角的正弦值为.
10. 如图,将原图补成正方体ABCD-QGHP,连接GP,则GP∥BD,
所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,
在△AGP中,AG=GP=AP,
所以∠APG=.
11.②③④对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有②③④.
12.C
将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)-DEF,如图;
对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;
对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);
对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;
对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,
而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.
综上所述,正确命题的序号是②③④,故答案为②③④.
13.B
如图;根据题意AB∥CD,所以∠FDC为异面直线DF与AB所成角,又因为CD=10尺,EF=8尺且侧面为等腰梯形,过点F作FG⊥DC,则DG=9尺,CD,EF间的距离为7尺,故FG=7尺,由勾股定理得DF==尺,所以sin∠FDC==,故选B.。