北京市石景山区高三第一学期期末考试数学理科试题

石景山区第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．已知集合}2,1,0{=P ，},2|{P a a x x Q ∈==，则Q P =（ ）
A ．}0{
B ．}1,0{
C ．}2,1{
D ．}2,0{
2．“b a +是偶数”是“a 与b 都是偶数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数x x f ln 2
1
)(=
的反函数是（ ） A ．2
1
)(x e x f
=- B ．2
1
10)(x x f
=- C ．x e x f
21
)(=-
D ．x x f
21
10)(=-
4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，)1,(x BC =，)3,2(=AC ，则x 的值是（ ）
A ．5
B ．5-
C ．
2
3 D ．2
3-
5．不等式21
2
>++
x x 的解集是（ ） A ．),1()0,1(+∞- B ．)1,0()1,( --∞ C ．)1,0()0,1( - D ．),1()1,(+∞--∞
6．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则
543a a a ++=( )
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
7．设函数⎩
⎨⎧>≤++=)0(2)
0()(2x x c bx x x f ，若)0()4(f f =-，2)2(-=-f ，则关于x 的
方程x x f =)(的解的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字-09和字母F A -共16个记
数符号．这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
例如，用十六进制表示：B D E 1=+，则=⨯B A （ ）
A ．E 6
B ．72
C ．F 5
D ．0B
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．复数
i
i
4321-+的实部是 ． 10．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法种数共有 ．（用数字作答）
11．已知n x x )(1-+的展开式中各项系数的和是128，则=n ；展开式中3
x 的系数
是 ．（用数字作答）
12．已知函数=)(x f ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+>--)1()1(11
2x a x x x x 在1=x 处连续，则实数a 的值为 ．
13．在半径为35的球面上有A 、B 、C 三点，6=AB ，8=BC ，10=CA ，
则球心到平面ABC 的距离为 ．
14．设函数)(x f 的图象与直线a x =，b x =及x 轴所围成图形的面积称为函数)(x f 在
],[b a 上的面积，已知函数nx y sin =在[0，
n
π]上的面积为n 2（*
∈N n ），则
（1）函数x y 3sin =在[0,
3
π
]上的面积为 ；
（2）函数1)3sin(+-=πx y 在[3π，3
4π
]上的面积为 .
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，73tan =C ．
（Ⅰ）求C cos 的值；
（Ⅱ）若2
5
=⋅CA CB ，且9=+b a ，求c 的长．
16．（本题满分12分）
已知函数b ax ax x x f +++=2
3)(的图象过点)2,0(P .
（Ⅰ）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间.
17．（本题满分14分）
如图，在三棱锥BCD A -中，面⊥ABC 面BCD ，ABC ∆是正三角形，
︒=∠90BCD ，︒=∠30CBD ．
（Ⅰ）求证：CD AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角C AB D --的大小； （Ⅲ）求异面直线AC 与BD 所成角的大小．
A
C
B
D
18．（本题满分14分）
袋中装有4个黑球和3个白球共7个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，
甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需的取球次数．
（Ⅰ）求恰好取球3次的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布；
（Ⅲ）求恰好甲取到白球的概率．
19．（本题满分14分）
已知等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足：4532=⋅a a ，
1441=+a a ．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）通过公式c
n S b n
n +=
构造一个新的数列}{n b ．若}{n b 也是等差数列， 求非零常数c ； （Ⅲ）求1
)25()(+⋅+=n n b n b n f （*
N n ∈）的最大值．
20．（本题满分14分）
设)(2)(x f x
p
px x g --=，其中x x f ln )(=． （Ⅰ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求实数p 的取值范围；
（Ⅱ）证明： ()1≤-f x x ；
（Ⅲ）证明：2*222ln 2ln 3
ln 21(,2)23
4(1)
n n n n N n n n --++
+<∈≥+．。