高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题16 不等式选讲 文

【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题16 不等式选讲 文
【2012高考真题精选】 【2012·陕西卷】若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．
【答案】－2≤a≤4 【解析】本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义.||x －a ＋||x －1≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a≤4. 【2012·辽宁卷】已知f(x)＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}． (1)求a 的值； (2)若⎪
⎪⎪⎪
－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．
【2012·江苏卷】已知实数x ，y 满足：|x ＋y|＜13，|2x －y|＜16，求证：|y|＜5
18
.
【2012·课标全国卷】已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.
(1)当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)当a ＝－3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋5，x≤2，1，2<x<3，
2x －5，x≥3.
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；
当2<x<3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3得2x －5≥3，解得x≥4； 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}． (2)f(x)≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|
⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．【2011高考真题精选】
1.（2011年高考陕西卷文科15) A.（不等式选做题）若不等式
12
x x a
++-≥
对任意x R
∈恒成立，则a
的取值范围是______。

【答案】(,3] -∞
【解析】因为
12|12|3
x x x x
++-≥+-+=
，对任意x R
∈恒成立，所以有3
a≤
（2011·辽宁卷）已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
（2011·课标全国卷）设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
【解答】(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
【2010高考真题精选】1.（2010陕西文）15.
（不等式选做题）不等式21
x-
<3的解集为. 。

【答案】{}
12 x x
-<<
【解析】
2
1
3
1
2
3
3
1
2<
<
-
⇔
<
-
<
-
⇔
<
-x
x
x
2.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。

若PB=1，
PD=3，则BC
AD的值为。

3. (2010年高考宁夏卷文科24)（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数
()x ⎰=24x - + 1。

（Ⅰ）画出函数y=()x ⎰的图像：
（Ⅱ）若不等式
()x ⎰≤ax 的解集非空，求n 的取值范围
【2009高考真题精选】
（2009天津文9）设
y x b a b a b a R y x y x 1
1,32,3,1,1,,+
=+==>>∈则若的最大值为 A 2 B 23 C 1 D 21
答案：C
解析：因为3log ,3log ,3b a y x y x b a ====，1)2(log log 1123
3=+≤=+b a ab y x
（2009年 海南、宁夏）选修4-5：不等式选讲
如图，O 为数轴的原点，,,A B M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. （1）将y 表示为x 的函数；
（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
解：
（Ⅰ）4|10|6|20|,030y x x x =-+-≤≤ （Ⅱ）依题意，x 满足
4|10|6|20|70,030x x x -+-≤⎧⎨
≤≤⎩
解不等式组，其解集为[9,23] 所以 [9,23]x ∈
【2008高考真题精选】
1．（2008·山东文）不等式2
5
2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．
132⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．132⎡⎤
-⎢
⎥⎣⎦，
C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，，
D ．(]11132⎡⎫
-⎪⎢
⎣⎭
，，
2．（2008·广东文）设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ） A ．0b a -> B ．3
3
0a b +< C ．2
2
0a b -< D ．0b a +> 解析：利用赋值法：令1,0a b ==排除A,B,C,选D 答案：D
3. (安徽文3)不等式组
3434x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域的面积等于
（A ）．32 （B ）. 23 （C ）. 43 （D ）. 3
4
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△A BC
由3434x y x y +=⎧⎨
+=⎩得A （1，1），又B （0，4），C （0，43）
∴S △ABC=144
(4)12
33-⨯=
，选C 。

答案：C
4.（2008天津文8）设函数⎩⎨
⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A ),3()1,3(+∞⋃-
B ),2()1,3(+∞⋃-
C ),3()1,1(+∞⋃-
D )3,1()3,(⋃--∞
【最新模拟】
1．不等式|2x －1|<3的解集为________．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
3．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
5．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，如果∀x∈R，f(x)≥2，则a的取值范围是________．
6．对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的取值范围是________．
7．设a1，a2，…，a2011都为正数，且a1＋a2＋…＋a2011＝1，则a21
2＋a1＋
a22
2＋a2
＋…＋
a22011
2＋a2011
的最小值
是________．
解析：由柯西不等式，得
(a21
2＋a1＋
a22
2＋a2
＋…＋
a22011
2＋a2011
)[(2＋a1)2＋(2＋a2)2＋…＋(2＋a2011)2]≥(a1＋a2＋…＋a2011)2＝1，所
以
a21
2＋a1
＋
a22
2＋a2
＋…＋
a22011
2＋a2011
≥
1
4023.
答案：
1 4023
8．如果存在实数x使不等式|x＋1|－|x－2|<k成立，则实数k的取值范围是________．
9
．设a、b为正数，且a＋b＝1，则1
2a＋
1
b的最小值是________．
10．已知实数x、y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值是________．
11．函数y＝x＋3－x的最大值为________．
解析：由柯西不等式得x＋3－x
≤＋＋3－＝ 6.
答案： 6
12．关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥2a在R上恒成立，则实数a的最大值是________．
解析：本小题考查了绝对值的定义，令f(x)＝|x－2|＋|x－a|，当a>2时，易知f(x)的值域为[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成立，即a≤－2(舍去)．
13．设a>b>0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x、y的大小关系是x________y.
14．不等式|x|＋|x－1|<2的解集是________．
15．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|，则f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
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．如图，O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和．
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
解：(1)y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x≤30.
(2)依题意，x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
4|x －10|＋6|x －20|≤70，
0≤x≤30.
解不等式组，其解集为[9,23]．
所以x ∈[9,23]．
17．已知函数f(x)＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x ＋15的解集．
18．已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥33
a2b·a·b2＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，
等号成立；
同理：ab2＋a2＋b≥33
ab2·a2·b＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
19．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
20．设不等式|2x－1|<1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
21．已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．
综上可得：φ(x)≤1，即a ≤1.
22．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2
的最小值．。