山东省济宁市任城区2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷 含解析

2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共9小题）
1．若分式有意义，则x应满足的条件是（）
A．x≠0 B．x≥3 C．x≠3 D．x≤3
2．下列各式中不是分式的是（）
A．B．C．D．
3．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（）
A．24x2y＝3x•8xy B．m2﹣2m﹣3＝m（m﹣2）﹣3
C．m2﹣2m﹣3＝（m﹣3）（m+1）D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
4．某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）
A．97 B．90 C．95 D．88
5．利用因式分解计算：2100﹣2101＝（）
A．﹣2 B．2 C．2100D．﹣2100
6．把分式（x+y≠0）中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．不变
7．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
则被遮盖的两个数据依次是（）
A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2
8．从甲地到乙地有两条同样长的路，一条是平路，另一条的是上山，是下山，如果上山的速度为平路速度的，平路速度是下山速度的，那么从甲地到乙地（）A．走山路快B．走平路快
C．走山路与平路一样快D．哪个快不能确定
9．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
10．已知x2+4mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为．
11．一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是．
12．若，则＝．
13．关于x的方程的解为x＝1，则a＝．
14．观察以下等式
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
……
按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：．（用含n的等式表示）．
三．解答题（共2小题）
15．分解因式
（1）a2b﹣b；
（2）﹣2x3+12x2﹣18x．
16．计算下列各题
（1）．
（2）．
17.解分式方程
（1）．
（2）．
18.为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应
知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”
的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88
90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为分．
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．
19.学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个向题：设n为整数，则（n+7）2﹣（n﹣
3）2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？
20.先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
（﹣）÷
21.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，
两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；
（3）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求（m+n）2的值．
22.为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校
各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
23.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽
种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．若分式有意义，则x应满足的条件是（）
A．x≠0 B．x≥3 C．x≠3 D．x≤3
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0．
【解答】解：∵x﹣3≠0，
∴x≠3．
故选：C．
2．下列各式中不是分式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、分母中含有未知数，故是分式，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，故不是分式，故本选项正确；
C、分母中含有未知数，故是分式，故本选项错误；
D、分母中含有未知数，故是分式，故本选项错误．
故选：B．
3．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（）
A．24x2y＝3x•8xy B．m2﹣2m﹣3＝m（m﹣2）﹣3
C．m2﹣2m﹣3＝（m﹣3）（m+1）D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
【分析】根据因式分解的定义，逐个判断，得到正确结论．
【解答】解：选项B和D都是和的形式，不是因式分解，选项A不是多项式的积的形式，不是因式分解；因为选项C是整式积的形式，符合因式分解的定义．
故选：C．
4．某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）
A．97 B．90 C．95 D．88
【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．
【解答】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，所以这组数据的中位数为90分，
故选：B．
5．利用因式分解计算：2100﹣2101＝（）
A．﹣2 B．2 C．2100D．﹣2100
【分析】提取公因式2100，整理并计算即可．
【解答】解：2100﹣2101＝2100﹣2100•2＝2100（1﹣2）＝﹣2100．
故选：D．
6．把分式（x+y≠0）中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．不变
【分析】把分式中的x换成3x，y换成3y，然后根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：（x+y≠0）中的x，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，
故选：A．
7．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
则被遮盖的两个数据依次是（）
A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），
则丙的得分是80分；
众数是80，
故选：A．
8．从甲地到乙地有两条同样长的路，一条是平路，另一条的是上山，是下山，如果上
山的速度为平路速度的，平路速度是下山速度的，那么从甲地到乙地（）A．走山路快B．走平路快
C．走山路与平路一样快D．哪个快不能确定
【分析】本题中无路程量，可设为1；根据路程与速度、时间的等量关系可得代数式，解可得答案．
【解答】解：设从甲地到乙地的路程为1，平路速度为x，则上山速度为x，下山的速度为2x，
则走平路所用的时间：，走山路所用时间：+＝；
故选：C．
9．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题目中的式子，可以求得a﹣b、a﹣c、b﹣c的值，然后对所求式子变形，利用完全平方公式进行解答．
【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
10．已知x2+4mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为±2 ．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断就确定出m的值．
【解答】解：∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，
∴m＝±2，
故答案为：±2．
11．一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是 5 ．
【分析】先利用中位数的定义得到a＝4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．
【解答】解：∵整数a是这组数据中的中位数，
∴a＝4，
∴这组数据的平均数＝（2.2+3.3+4.4+4+11.1）＝5．
故答案为5．
12．若，则＝ 2 ．
【分析】灵活运用完全平方和公式的变形，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，直接代入计算即可．【解答】解：∵，∴＝（x+）2﹣2＝4﹣2＝2．
故应填：2．
13．关于x的方程的解为x＝1，则a＝﹣3 ．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：＝，
去分母得：4（2a+3）＝3（a﹣1），
解得：a＝﹣3．
故答案是：﹣3．
14．观察以下等式
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
……
按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：．（用含n的等式表示）．
【分析】根据已知等式得出规律即可．
【解答】解：第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
……
第n个等式为：，
故答案为：
三．解答题（共2小题）
15．分解因式
（1）a2b﹣b；
（2）﹣2x3+12x2﹣18x．
【分析】（1）首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可；
（2）首先提取公因式，进而利用完全平方公式进行分解即可
【解答】解：（1）a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）；
（2）﹣2x3+12x2﹣18x＝﹣2x（x2﹣6x+9）＝﹣2x（x﹣3）2．
16．计算下列各题
（1）．
（2）．
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案；
（2）根据分式的运算法则即可求出答案；
【解答】解：（1）原式＝b（a﹣b）•
＝ab2；
（2）原式＝•
＝；
17.解分式方程
（1）．
（2）．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】522：分式方程及应用；66：运算能力．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x+4＝3x，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+2x﹣1＝x2﹣4，
解得：x＝﹣1.5，
经检验x＝﹣1.5是分式方程的解．
18.为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应
知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”
的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88
90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．
整理、描述数据：
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为91 分．
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．
【考点】V5：用样本估计总体；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【专题】542：统计的应用．
【分析】（1）由题意即可得出结果；
（2）由20×50%＝10，结合题意即可得出结论；
（3）由20×30%＝6，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；
出现次数最多的是90分，
∴众数是90分；
故答案为：5；3；90；
（2）20×50%＝10，
如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定为91分；
故答案为：91；
（3）估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：
∵20×30%＝6，
∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分．
19.学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个向题：设n为整数，则（n+7）2﹣（n﹣
3）2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】512：整式；66：运算能力．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2
＝[（n+7）+（n﹣3）][（n+7）﹣（n﹣3）]
＝10（2n+4）
＝20（n+2），
故（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．
20.先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
（﹣）÷
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】513：分式．
【分析】先化简分式，然后将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝[﹣]÷
＝•
＝x+2
∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，
∴x≠2且x≠4，
∴当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+2＝1．
21.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，
两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）
（1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
（3）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求（m+n）2的值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
【解答】解：（1）图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：2（m+2n）+2（2m+n）＝6m+6n ＝6（m+n）；
（2）2m2+5mn+2n2可以因式分解为：（m+2n）（2m+n），
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
（3）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10，
∴m2+n2＝29，
∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴（m+n）2＝29+20＝49．
22.为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校
各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】522：分式方程及应用．
【分析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时，由时间关系“甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地”
列出方程，解方程即可．
【解答】解：设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时，
由题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，
则1.5x＝90，
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/小时、90千米/小时．23.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽
种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】12：应用题．
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
＝，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．。