浙江省苍南县钱高、灵溪二高高三上学期第一次联考(数学文).doc

浙江省苍南县钱高、灵溪二高高三上学期第一次联考（数学文）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题意要求的.
1．已知全集},2|{},2|{,N n n x x B N n x x A R U n
∈==∈===与集合，则正确表示集合B A 、关系
的韦恩（Venn ）图是( )
2.已知命题p ：1
x
＞0；命题q ：x 有意义，则¬ p 是¬ q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．不充分不必要条件
3.曲线y ＝e x
在点(2，e 2
)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.2
4
9e B.2e 2
C.e 2
D.2
2
e
4.已知函数f(x)＝log a (2x
＋b －1)(a>0，a≠1)的
图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( ) A ．0<a －1
<b<1 B ．0<b<a －1
<1
C ．0<b －1<a<1
D ．0<a<b －1<1
5.函数f(x)=2x -x 2 的零点有( )
A.0个 B ．1个 C.2个 D ．3个
6、函数1)(3
++=x ax x f 有极值的充要条件是 （ ）
A ．0≥a
B ． 0≤a
C ．0<a
D ．0>a
7.设a ∈｛-1，1，1/2 , 3｝,则使幂函数y ＝x a
的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( ) A ． －1,1 B ． 1,3 C ．－1,3 D ．－1,1,3
8.若双曲线过点0m n m n >>(，)()，且渐近线方程为y x =±，则双曲线的焦点（ ）
A ．在x 轴上
B ．在y 轴上
C ．在x 轴或y 轴上
D ．无法判断是否在坐标轴上
9.已知函数()sin f x x x =-,若12,,22x x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦且()()120f x f x +>,则下列不等式中 正确的是（ ）
A. 12x x >
B. 12x x <
C. 120x x +<
D. 120x x +>
10.过抛物线x y 42
=的焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD ，则||||CD AB +的最小值是（ ） A ．58 B ． 8 C ． 16 D ．7 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x 的定义域为________． 12.若函数
[)
[]
⎪⎩⎪
⎨⎧∈-∈=1,03
0,13
1)(x x x f x
x
则
=)2
1(log
3
f _______.
13.椭圆22
1123
x y +=的焦点是12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1F P 的中点在y 轴上，那么12:PF PF =
14.已知函数f(x)＝alnx ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是_______．
15.若函数y ＝g(x)是函数y ＝f(x)的导函数，则称函数y ＝f(x)是函数y ＝g(x)的原函数，例如y ＝x 3
是y ＝3x 2
的原函数，y ＝x 3
＋1也是y ＝3x 2
的原函数，现请写出函数y ＝2x 4
的一个原函数______． 16．在ABC ∆中，,120,
=∠=ABC AB BC 则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率 为
17.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x ＝1对称；
③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)， 其中正确的序号是____．
三、解答题（本大题共5小题，共72分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 18.已知P ：0}m ,0)m 1x )(m 1x ({>≥--+-∈其中x x ; Q:}0,1
{≠∈+
=∈n R n n
n x x x 且其中 ,且P 是Q 的必要条件，求实数m 的取值范围。

19.设f (x )＝a x
＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立． (1)求f (x )的解析式；
(2)设函数g (x )的定义域为[1,4]，且在定义域内g (x )＝f (x )-1，且函数h (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，求h (x )；
(3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域．
知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2
＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式； (Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )+x －1；
(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
21.已知函数x ax x a x f ln )(2
2++-=（a ∈R ）。

（I ）我们称使()f x =0成立的x 为函数的零点。

证明：当a =1时，函数()f x 只有一个零点； （II ）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围。

22.已知椭圆,22
)0(1:2222=>>=+e b a b
y a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点P （2，3），点F 2在线段PF 1的中垂线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角分别为
πβαβα=+且,,，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.
参考答案
一、 选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．.
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分． 11．(1,2] 12． 2 13． 7 14．
[)+∞-,2
15．15
2
5
+=x y （答案不唯一） 16．2
1
3+17．① ② ⑤
三、解答题：本大题共5个小题，14+14+14+15+15共72分．
18．解：由 0m ,0)m 1x )(m 1x (>≥--+-其中⇒ p ：∈x }m 1x m 1x x {-≤+≥或……………………… 2分
而0,1
≠∈+
=n R n n
n x 且其中，可知： 时取等号；，当且仅当时，1n 21
0=≥+=>n
n x n ………………5分
时取等号；
，当且仅当时，1n 2)]n
1
(n [10-=-≤-+--=+=<n n x n … 7分 ⇒q ：∈x }-2x 2x x {≤≥或……………………… 8分
又p 是q 的必要条件， 即p q ⇒,……………………… 9分
可知：}-2x 2x x {≤≥或⊆}m 1x m 1x x {-≤+≥或……………………… 11分 所以 2m 121≤+-≥-且m ，又m>0 …………………
13分
得实数m 的取值范围为}1m 0m {≤<。

………………… 14分
19．解（1）由f(0)=1得b=1, ……………………… 1分
由f(x+1)=2f(x)-1得a x
(a-2)=0……………………… 3分 由于a x
>0得a=2,所以f(x)=2x
+1………………………
4分
(2)由题意知x ∈[1,4]时g (x )＝f (x )-1=2x
, ……………………… 5分 由于函数h (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，
所以h (x )=log 2x (x ∈[2,16]) ………………………
8分
(3)由已知可得y=2x
+log 2x,且两个函数的公共定义域是[2,4], 所以函数y=2x
+log 2x (x ∈[2,4]) ………………… 10分
由于函数g(x),h(x)在区间[2,4]上均为单调递增……………………… 11分 因此当x=2时，y=5,当x=4时，y=18………………………
13分
所以函数y ＝g (x )＋h (x )的值域为[5,18] ………………………
14分
：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则
000
0,,2
.0,2
x x
x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨
+=-⎩⎪=⎪⎩即……………………… 3分 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故……………………… 4分 (Ⅱ)由g (x )≥f (x )+x －1化简可得2
210x x +-≤，解得12
x -≤≤………… 6分 因此，原不等式的解集为11,2
⎡-⎢⎣
……………………… 7分
（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+………………………
8分
①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=- ………………… 10分 ②11.1x λ
λλ
-≠-=
+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ
λλλ
-<-≤-<-+当时,解得……………………… 12分
ⅱ）当011111≤<≥+->λλ
λ
λ--解得时，………… 14分 0.λ≤综上，……………………… 15分
21．解：（I ）当a=1时，x x x x f ln )(2
++-=，其定义域为（0，+∞），……… 1分
/
1()21f x x x
=-++221x x x --=-
，令/
()0f x =， 解得1
2
x =-
或1x =，又∵x>0，故x=1，……………………… 3分
当0<x<1时，/
()0f x >； 当x>1时， /
()0f x <，
∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，… 5分 当x=1时，函数()f x 取得最大值，即max ()(1)0f x f ==， 所以函数()f x 只有一个零点；（6分）
（II ）因为x ax x a x f ln )(2
2++-=，其定义域为（0，+∞），
所以/
2
1()2f x a x a x
=-++2221(21)(1)
a x ax ax ax x x -++-+-==，……… 8分
（1）当a=0时，/
1
()0f x x
=
>， 所以()f x 在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意。

（10分）
（2）当a>0时，/
()0f x <(0)x >等价于(21)(1)0ax ax +->(0)x >，
即x>
1a ，此时，()f x 的单调减区间为（1
a
，+∞），依题意， 得110
a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，解之得1a ≥。

（12分） （3）当a<0时，/
()0f x <(0)x >等价于(21)(1)0ax ax +->(0)x >，
即0<x<12a -
，此时()f x 的单调减区间为（0，1
2a
-），不合题意。

……… 14分 综上所述，实数a 的取值范围是[1,)+∞。

（15分）
22．解：（Ⅰ）由椭圆C 的离心率2
2
=e 得
2
2=a c ，其中22b a c -=，（1分） 椭圆C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -又点F 2在线段PF 1的中垂线上
222221)2()3()2(|,|||c c PF F F -+=∴=∴解得,1,2,122===b a c
.12
22
=+∴y x 椭圆的方程为 -------（4分）
（Ⅱ）由题意，知直线MN 存在斜率，由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m kx y y x ,
1222
消去.0224)12(,2
2
2
=-+++m kmx x k y 得设),,(),,(2211y x N y x M
则,122
2,1242
221221+-=+-=+k m x x k km x x 且
1
,1221122-+=-+=
x m kx k x m kx k N F M F ----------（8分）
由已知πβα=+， 得.01
1,0221122=-++-+=+x m
kx x m kx k k N F M F 即（10分）
化简，得
02))((22
1
2
1
=-+-+m x x k m x kx
0212)
(412222222=-+--+-⋅∴m k k m km k m k 整理得.2k m -=--------（13分）
∴ 直线MN 的方程为)2(-=x k y ，
因此直线MN 过定点，该定点的坐标为（2，0）----（15分）。