韩信点兵问题,中国仅有的世界通用定理

韩信点兵问题与中国剩余定理
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？这段文字翻译成现代数学语言其实并不难，就是一个数同时满足除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2，问这个数是多少？此类问题古人称为“韩信点兵问题”,据说是韩信不用过问兵的数量，只需让士兵变换方阵即可快速得出士兵的数量，也不知道是真是假，如果是真的，那韩信也算是一个数学过硬的将军了.
上过小学的同学都知道，我们随便试几个数就可以很快发现，23就是第一个满足的数字.然而，你要找到更多的数字，那就有些难度了.要是换成更大的数字，例如一个数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，那这样的数如何去求呢？这就是今天小编要分享的是中国剩余定理.
中国剩余定理是唯一一个以国家命名的定理，“韩信点兵问题”的记载最早出自南北朝数学名著《孙子算经》,中国剩余定理也叫孙子定理.这个问题放在现在肯定是不难求解的，接触过初等数论的同学就知道，只需解一个同余式组.
)5(mod 3)3(mod 2N )7(mod 2{≡≡≡N N 的最小正整数解.
方法一：大衍求一术
公元13世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得超越前人的辉煌成果，系统的阐述了“大衍求一术”，到了明代，著
名大数学家程大位，在他的《算法统宗》中，还编写了四名歌诀：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.意思不难理解：三个人一同走路，70岁的老者很少，五棵梅花树上一共有21
朵梅花，7个孩子在每月十五团圆，把这些数减去105便能得出答案.为什么？其中的原理还是让多数人摸不着头脑的,程大位数学家就更加详细了：
①找出能被5与7整除而被3除1的数70，被3与7除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7余1的数15；
②把70、21、15这三个数字分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是2.同理，233与63被5除余数是3；233与30被7除余数是2，所以233是满足题目的一个数；
③而3，5，7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3，5，7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求.故105n+23就是问题的解.
方法二：等差数列法
学过小学奥数的同学或者学过高中数学数列的同学非常好理解，三三数之余二，即3n+2，穷举得2，5，8，11，14........，从这些数中找到除以5余数是3的数，第一个数是8，故15n+8满足前两条件；再从15n+8的数中找到23满足除以7余2，而15和7的最小公倍数为105，故105n+23即满足所有条件.是不是相当简单？
方法三：不定方程法
设这个数为n ，则有
2
73
52
3+=+=+=z n y n x n 消去n 可得,175135-=--=-z y x y ，再消去y 得
z z z x 31237+==
，而x 为整数，可令k =z 3
1，即有z =3k ,x =7k ，代入可得5y -21k =-1,可得y =21k ′+4，代入可得n =105k ′+23,此法亦不难理解，初中生学过方程的即可.
当然，还是一个核心的问题，这类问题有没有固定的解法，一旦数字改变，那解法可能会变得复杂，甚至算不出来.其实是有的.古人也早就提出了解法，不过具体原因在哪里，很多人是不明白的.如下：
三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。

凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得.
结合现代初等数论的知识和方法来解答,具体如下，
孙子定理设m1,m2,…,m k是k个两两互素的正整数，m=m1m2…m k,M i =m/m i(i=1,…,k),则同余方程组
x≡b1(mod m1);x≡b2(mod m2);……;x≡b k(mod m k)
有唯一解
x≡M1N1b1+M2N2b2+…+M k N k b k(mod m)
其中M i N i≡1(mod m i)(i=1,…,k)。

我们把此法套用来解决这个问题:
m1=3，m2=5，m3=7，k=3，m1、m2、m3两两互素。

b1=2，b2=3，b3=2；
m=m1m2m3=3×5×7=105,
105=m1M1，故M1=35，105=m2M2，故M2=21，105=m3M3，故M3=15。

又要求M'i M i≡1(mod m i)；35M'1≡1(mod3)，
故M'1=2，21M'2≡1(mod5)，故M'2=1，15M'3≡1(mod7)，
故M'3=1，于是
x≡2×35×2+1×21×3+1×15×2≡233≡23(mod105)。