北师大版高二理科数学选修试卷有答案

涡阳一中高二年级理科数学选修
2-1 模块学分认定试卷
命题人：涡阳一中
田备良
（测试时间： 120 分钟
满分 150 分）
注意事项： 答题前，考生务势必自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，答案
写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效 ．本卷考试结束后，上交答题纸．
．．．．．．．．．
一、选择题（每题
5 分，共 12 小题，满分 60 分）
1. 已知命题
p ： x
R ，使 tan x 1，此中正确的选项是
（ ）
(A)
p ： x R ，使 tan x 1 (B)
p ： x R ，使 tan x
1
(C)
p ： x
R ，使 tan x
1
(D)
p ： x
R ，使 tan x 1
2. 抛物线 y 2
4ax(a 0) 的焦点坐标是
（
）
（A ）（ a , 0） （ B ） ( － a , 0)
（ C ）（ 0, a ） （ D ）（ 0, － a ）
3. 设 a
R ，则 a 1 是
1
（
）
1 的
a
（A ）充足但不用要条件 （ B ）必需但不充足条件
（C ）充要条件
（ D ）既不充足也不用要条件
4. 已知△ ABC 的三个极点为 A （ 3， 3， 2）， B （ 4，－ 3， 7）， C （ 0， 5， 1），则 BC 边上的
中线长为
（
）
（A ）2
（B ）3
（C ）4
（D ）5
5. 有以下命题：
①假如向量 a, b 与任何向量不可以组成空间向量的一组基底，那么 a, b 的关系是不共线；
② O, A, B, C 为空间四点，且向量 OA,OB, OC 不组成空间的一个基底，则点 O, A, B, C 必定共面；③已
知向量 a,b, c 是空间的一个基底，则向量 a b, a b, c 也是空间的一个基底。

此中正确的命题是
（
）
（A ）①②
（ B ）①③ （ C ）②③ （D ）①②③
6. 如图：在平行六面体
ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1D 1 的交点。

若 AB
a ， AD
b ，
AA 1 c 则以下向量中与
BM 相等的向量是（
）
（ A ）
1 a 1
b c （ B ） 1
a 1
b c
2 2
2 2
（ C ）
1 a
1
b c
（ D ） 1
a
1
b c
2 2 2
2
D1
C1
M
A1
B1
D
C
A
B
7. 已知△ ABC 的周长为 20，且极点 B (0 ，－ 4) ， C (0 ， 4) ，则极点
A 的轨迹方程是 （ ）
（A ） x
2
y 2 1（ x ≠ 0） （ B ） x
2
y 2 1 （ x ≠ 0）
36
20 20
36
x 2 y 2
1（ x ≠ 0）
x 2 y 2 1 （ x ≠ 0）
（C ）
20 （ D ）
6
6
20
8. 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于
A （ x 1 , y 1）
B （ x 2, y 2 ）两点，假如 x 1 x 2 =6，
那么 AB ＝
（
）
（A ） 6
（B ）8
（C ）9
（D ）10
9. 若直线 y kx
2 与双曲线 x 2
y 2
6 的右支交于不一样的两点，那么
k 的取值范围是
（ ）
（A ）（
15 , 15 ）（ B ）（ 0, 15 ） （ C ）（
15
,0）
（ D ）（
15, 1 ）
3 3
3
3
3
10. 试在抛物线 y 2
4x 上求一点 P ，使其到焦点 F 的距离与到 A 2,1
的距离之和最小，则该点
坐标为
（ ）
（A ）
1
,1
（B ） 1
,1
（C ） 2,
2 2
（ D ）
2,2
2
4
4
11. 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，假如 AB=BC=1， AA 1 =2，那么 A 到直线 A 1 C 的距离为
（
）
（A ）
2 6
（B ）
36
（C ）
2 3
（ D ）
6 3
2
3
3
12. 已知点 F 1、 F 2 分别是椭圆
x 2
y 2
1 的左、右焦点，过 1
A 、 B
a 2
b 2
F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于
e 为
（
）
两点，若△ ABF 为正三角形， 则该椭圆的离心率
2
（A ）
1
（ B ）
2 （C ）
1
（ D ）
3 2
2
3
3
二、填空题（每题
4 分，共 4 小题，满分
16 分）
13. 已知 A （ 1，－ 2， 11）、 B （ 4， 2， 3）、 C （ x ， y ， 15 ）三点共线，则 x y =___________ 。

14. 已知当抛物线型拱桥的极点距水面
2 米时，量得水面宽 8 米。

当水面高升 1 米后，水面宽度
是 ________ 米。

15. 假如椭圆
x 2
y 2
1 的弦被点 (4 ， 2) 均分，则这条弦所在的直线方程是
___________ 。

36
9
16. ①一个命题的抗命题为真，它的否命题也必定为真；
②在 ABC 中，“
B 60 ”是“ A, B,
C 三个角成等差数列”的充要条件 .
③
x
1 是 x y 3 的充要条件；④“ 2
< 2
”是“ < ”的充足必需条件 .
y
2 xy
2
am bm a b
以上说法中，判断 错误 的有 ___________.
三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）
17. （此题满分 12 分）
设 p ：方程 x 2
mx 1 0 有两个不等的负根，
q ：方程 4x 2 4(m 2) x 1 0 无实根，
若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，求 m 的取值范围．
18. （此题满分 12 分）
已知椭圆 C 的两焦点分别为
F 1 -2 2,0 、F 2 2 2,0
，长轴长为 6，
⑴求椭圆 C 的标准方程 ;
⑵已知过点（ 0， 2）且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点 , 求线段 AB 的长度。

.
19. （此题满分 12 分）
如，已知三棱O ABC 的棱 OA， OB， OC 两两垂直，
且OA 1，OB OC2，E是 OC的中点。

（1）求异面直BE与AC所成角的余弦；
（2）求直BE和平面ABC的所成角的正弦。

20.（本分 12 分）
在平面直角坐系x O y 中，直l与抛物y2＝ 2 x订交于A、B
两点。

（ 1）求：命“假如直l点 T（3，0），那么OA OB＝3”
是真命；
（ 2）写出（ 1）中命的抗命，判断它是真命是假命，并明原因。

21. （本分14 分）P
如，棱P— ABCD 的底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ，
PA=AD=2 ， BD= 2 2 .
（ 1）求： BD ⊥平面 PAC ；
A D
（2）求二面角 P— CD — B 余弦的大小；
（3）求点 C 到平面 PBD 的距离 .
22. （本分 12分）B C
如所示， F 12分 C：x2y20)的左、右两
、F22 1(a b
a b
个焦点， A、 B 两个点，
已知 C 上的点(1,3) 到F1、F2两点的距离之和 4.
2
（ 1）求 C 的方程和焦点坐；
（2） C 的焦点 F2作 AB 的平行交于P、 Q 两点，求△ F 1PQ 的面 .
涡阳一中高二年级理科数学选修2-1 模块学分认定试卷
参照答案
一、选择题：
号123456789101112答案C A A B C A B B D A C D
214、4 215、x 2 y 8 016 、③④二、填空题： 13、
三、解答题：
17 、解：若方程x2mx 10 有两个不等的根，m240，⋯⋯⋯⋯ 2 分
x1x2m0所以 m2，即 p : m2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分若方程4x24( m 2) x10 无根，16(m2)2 160，⋯⋯⋯⋯ 5 分即 1 m 3，所以p :1m 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
因 p q 真， p, q 起码一个 真，又
p q 假， p, q 起码一个 假．
所以 p, q 一真一假，即“
p 真 q 假”或“
p 假 q 真”．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
m
2
或 m 2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
所以
m 或
m 3 1 m
3
1 所以 m 3 或 1 m
2 ．
故 数 m 的取 范 (1,2] U [3, ) ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
18、解： ⑴由 F 1 -2
2,0 、 F 2 2 2,0 ， 6
得： c 2 2, a 3 所以 b
1
∴ 方程
x 2
y 2 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
9
1
⑵
A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) , 由⑴可知 方程
x 2 y 2
9
1① ,
1
∵直 AB 的方程 y x 2 ②
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
把②代入①得化 并整理得
10x 2 36x 27 0
∴
x 1 x 2
18
, x 1 x 2
27 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
5
10
2
27)
又
AB
(1 12 )(
18
2
4 6 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
5
10
5
19、解： （1）以 O 原点 , OB 、 OC 、 OA 分 x 、 y
、 z 成立空 直角坐 系 .
有 A(0,0,1) 、 B(2,0,0) 、 C (0,2,0)
、
E(0,1,0).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
uuur uuur
2
2
,
COS<EB , AC > 5
5 5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 所以异面直
BE
与 AC 所成角的余弦
2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
uur
5
（2） 平面 ABC 的法向量
n 1
( x, y,z), ur uuur
uur
uuur
uur
n 1 AC 知 : n 1 AC 2 y z 0.取 n 1
(1,1,2) ，
⋯⋯⋯ 8分
cos
EB, n 1
2 1 0
30 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
5 6
30
故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦
30
⋯⋯⋯⋯ 12 分
30
20、 明： （ 1）解法一： 点 T(3,0)
的直 l
交抛物 y 2
=2x 于点 A( x 1 , y 1) 、 B( x 2, y 2).
当直 l
的 率下存在 , 直 l 的方程 x =3, 此 , 直 l 与抛物 订交于
A(3, 6 ) 、B(3, －
6 )，∴ OA OB
3。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
当直 l
的 率存在 , 直 l 的方程 y =k ( x － 3), 此中 k ≠0.
y 2 2x
2
－ 2 y － 6k =0, y 1y 2=－ 6.
又∵ x 1=
1
2
2
=
1 2
y
k (x 3) 得 ky
y 1 , x
y 2 ,
2
2
∴ OA OB =x 1 x 2+y 1y 2 = 1
( y 1 y 2 ) 2
y 1 y 2 =3.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 7 分
上所述 , 命 “ ...... ”是真命 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
解法二： 直
l 的方程 my =x － 3 与 y 2 =2x 立获得 y
2
-2my-6=0
OA OB =x 1x 2 +y 1y 2
1
+3) (my 2
+3)+ y 1 2
2
+1) y 1 2
1 +y
2 )+9=(m 2
+1) × (-6)+3m × 2m+9＝ 3
⋯⋯⋯ 8
分
=(my y =(m y +3m(y （ 2）抗命 是：“ 直
l
交抛物 y 2 =2x 于 A 、 B 两点 , 假如 OA OB
3 , 那么 直 点 T(3,0). ”
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
命 是假命 . 比如：取抛物 上的点 A(2,2),B(
1
,1), 此 OA OB
3 =3,
直 AB 的方程 y = 2
(
2
x +1), 而 T(3,0) 不在直 AB 上 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
3
点 ：由抛物
y =2x 上的点 A( x 1 , y 1) 、 B( x , y ) 足 OA OB
3 , 可得 y y =－ 6。

或 y y =2，假如
2
2
2
1 2
1
2
1 y 2
=－ 6，可 得直
AB 点 (3,0) ；假如
1
2=2, 可 得直
AB 点 ( － 1,0),
而不 点 (3,0) 。

y
y y
21、解：方法一：
：⑴在 R △
中， =2， =
2 ， ∴ AB=2， ABCD 正方形，所以 BD ⊥ AC.
t
BAD AD
BD 2
∵ PA ⊥平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，∴ BD ⊥ PA .又∵ PA ∩ AC= A ∴ BD ⊥平面 PAC.
解：（ 2）由 PA ⊥面 ABCD ，知 ADPD 在平面 ABCD 的射影，又 CD ⊥AD ， ∴CD ⊥ PD ，
知∠ PDA 二面角 P — CD — B 的平面角 . 又∵ PA=AD ，∴∠ PDA= 45 0
.
（ 3）∵ PA =AB =AD =2，∴ PB=PD=BD= 2
2
， C 到面 PBD 的距离 d ，
z
由
V P
1
1
P
BCD V C PBD ，有 ?S BCD ?PA ? S PBD ? d
，
3
3
即
1?
1
2
2 2
1?1
(2
2 )2 ? sin 600 ? d ，得 d 2
3 3 2
3 2
3
方法二： ：（ 1）成立如 所示的直角坐 系，
A
A （ 0， 0， 0）、 D （ 0， 2， 0）、 P （ 0， 0， 2） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
D y
在 R t △BAD 中， AD =2， BD =
2
2 ，
∴ AB=2.∴ B （ 2， 0， 0）、 C （ 2， 2， 0），
x
C
∴ AP (0,0,2), AC ( 2,2,0), BD ( 2,2,0)
∵BD?AP 0,BD?AC 0 ，即 BD ⊥ AP ， BD ⊥ AC ，又 AP ∩ AC=A ，∴ BD ⊥平面 PAC . ⋯⋯⋯⋯ 4
分
解：（ 2）由（ 1）得 PD
(0,2, 2),CD ( 2,0,0) .
n 1
( , , ) ，
n 1 ? PD 0, n 1 ? CD 0 ，
平面 PCD 的法向量
0 2 y 2 z 0 x 0
即
0 0 0
，∴
z
2x
y
故平面 PCD 的法向量可取
n 1
(0,1,1)
∵ PA ⊥平面 ABCD ，∴ AP
(0,01) 平面 ABCD 的法向量 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
二面角 P — CD — B 的大小
，依 意可得
n 1 ? AP
2 cos
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
n 1 ? AP
2
（ 3）由（Ⅰ）得
PB
(2,0, 2), PD
(0,2, 2) ， 平面 PBD 的法向量
n 2
( , , ) ，
x y z n 2 ? PB
0, n 2 ? PD
0 2x 0 2z 0 (1,1,1) .
，即
2y 2z ，∴ x= y=z ，故可取 n 2
⋯⋯⋯⋯⋯ 11
分
∵ PC (2,2, 2) ，∴ C 到面 PBD 的距离 d
n 2 ? PC 2
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14
n 2
3
分
22、解：（ 1）由 知：
3
1 (23)2
1，解得 b 2
= 3
2a = 4，即 a = 2 ， 将点 (1, ) 代入 方程得
b 2
2
22
2
2
2
－ 3 = 1 ，故 方程
x 2 y 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
∴ c
= a － b = 4
4
1，
3
焦点 F 1、F 2 的坐 分 （ -1 ， 0）和（ 1， 0）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（ 2）由（Ⅰ）知 A(
2,0), B(0, 3) ，
k
PQ
3
k
AB
2 y
3
( x 1)
得 8y
2
4 3y
9 0
由
2
x
2
y 2
4
1
3
， ∴ PQ 所在直 方程 y
3 ，
( x 1)
2
P (x 1， y 1)， Q (x 2 ， y 2 )， y 1
y 2
3
, y 1 y 2 9 2
， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9
8
分
S
1 F F y y
1 2 21 21 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
F 1 PQ
2 1
2
1
2 2 2
2
12 分。