向量的加法与减法运算练习
平面向量线性练习题
平面向量线性练习题平面向量线性练习题在学习平面向量的线性运算时，练习题是非常重要的一部分。
通过解答这些题目，我们能够巩固和加深对平面向量的理解，提高解题能力。
下面，我将为大家介绍一些常见的平面向量线性练习题。
1. 向量加法与减法题目：已知向量a = (3, 4)和b = (-2, 1)，求向量c = a + b和向量d = a - b。
解析：向量加法和减法是平面向量的基本运算。
对于向量a和向量b，向量c = a + b的计算方法是将a的x分量与b的x分量相加，将a的y分量与b的y分量相加；向量d = a - b的计算方法是将a的x分量与b的x分量相减，将a的y分量与b的y分量相减。
根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到向量c = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)，向量d = (3 - (-2), 4 - 1) = (5, 3)。
2. 向量的数量积题目：已知向量a = (2, -3)和向量b = (4, 5)，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量的数量积也称为点积或内积，计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加。
根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到a·b = 2 * 4 + (-3) * 5 = 8 - 15 = -7。
3. 向量的数量积与夹角题目：已知向量a = (3, 4)和向量b = (5, -2)，求向量a与向量b的夹角。
解析：向量的夹角可以通过向量的数量积来计算。
设向量a与向量b的夹角为θ，则有cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模。
根据题目中给出的向量a和向量b的数值，我们可以得到a·b = 3 * 5 + 4 * (-2) =15 - 8 = 7，|a| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5，|b| = √(5^2 + (-2)^2) = √(25 + 4) = √29。
平面向量加减法(印)
向量概念加减法•基础练习、选择题1若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式①丨a丨>| b |；②a // b ；③丨—* —*■—Fa | > 0:④丨b | =± 1；⑤==b，其中正确的有（）aA.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤2. 四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（）A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形3•把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A. —条线段B. —个圆面C.圆上的一群弧立点D. —个圆—fe-f—t —1- f f —1-4. 若a ,—ip b是两个不平行的非零向量，并且—¥■—*a // c,b // c,则向量c等于（）A.0B. aC. bD.c不存在5. 向量（AB + MB ) + ( BO + BC ) + OM化简后等于（)A.BC B . AB C.AC D . AM6.—b-a、b为非零向量,且1―b- —fea + b1 = 1 a | + 1b |则()—tf ―—I-―卜-I-―卜—kA. a // b且a、b方向相同B. a = bC. a =- bD.以上都不对7.化简（AB-CD ) + (BE - DE）的结果是( )一A.CAB. 0 C . AC D. AE&在四边形ABCD中, AC =AB + AD，则（) A. ABCD是矩形 B. ABCD是菱形 C. ABCD是正方形D. ABCD是平行四边形9.已知正方形ABCD勺边长为1, AB=a,AC=c, BC =b ,则| a + b+c |为( )9.已知正方形 ABCD 勺边长为1, AB =a ,AC =c , BC =b ,则| a + b +c |为() A. 0 B . 3 C. .. 2D. 2 2 10 .下列四式不能化简为 AD 的是（） A. ( AB + CD ) + BCB . ( AD + MB ) + ( BC + CM ) C. MB +AD -BM D. OC - OA + CD11 .设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（） A. a 与b 的长度必相等B . a // bC . a 与b 一定不相等D. a 是b 的相反向量 12 .如果两非零向量a 、b 满足：| a | >| b | ,那么a 与b 反向，则（ )―卜 —!■—k ―卜 —F ― A. | a +b | =| a 1 - | b |B. | a -b 1 =| a | - | b |C. | a - b | = | b 1 - | a |D. | a + b 1 =| a | + | b | 、判断题1 . 向量AB 与BA 是两平行向量.（ )2 . 若a 是单位向量， b 也是单位向量，则 —fc> —fe ( )3 . 长度为1且方向向东的向量是单位向量, 长度为1 而方 向为北偏东 30° 的向量就不是单 位向量.（） 4. 与任一向量都平行的向量为 0向量.（ ）5. 若AB = DC ,则A B C D 四点构成平行四边形.（ ）7.设O 是正三角形ABC 的中心，则向量 AB 的长度是OA 长度的3倍.（ ）9. 在坐标平面上，以坐标原点 O 为起点的单位向量的终点 P 的轨迹是单位圆.（ ）10. 凡模相等且平行的两向量均相等. （ ）三、填空题 1 -1 •已知四边形 ABCD 中，AB=— DC ,且| AD | = | BC | ,则四边形 ABCD 的形状2 是 _______ .2.已知 AB = a , BC = b , CD = c , DE =d , AE = e ,贝U a +b +c + d = . 5. a ="向东走4km" , b ="向南走3km",贝U|3. 已知 OA = a , OB =b ,且 | a | = | b | =4, Z AOB=60 ① 求 | a +b | ,| a - b | ② 求a + b 与a 的夹角，a - b 与a 的夹角. 2.已知△ ABC 试用几何法作出向量： BA + BC , CA +CB . 3•已知向量a 、b 的模分别为3，4，则| a -b I 的取值范围为4. 已知 | OA | =4, | OB | =8, Z AOB=60 ,贝, AB四、解答题1•作图。
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。
向量的加减法练习题(打印版)
向量的加减法练习题（打印版）# 向量加减法练习题## 一、向量加法练习题目1：已知向量\( \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \) 和向量\( \vec{B} = 2\hat{i} - 5\hat{j} \)，求向量\( \vec{A} +\vec{B} \)。
解答：\[ \vec{A} + \vec{B} = (3 + 2)\hat{i} + (4 - 5)\hat{j} =5\hat{i} - \hat{j} \]题目2：若向量\( \vec{C} \) 与向量\( \vec{D} = 4\hat{i} +3\hat{j} \) 的和为\( \vec{E} = 7\hat{i} + 8\hat{j} \)，求向量\( \vec{C} \)。
解答：\[ \vec{C} = \vec{E} - \vec{D} = (7 - 4)\hat{i} + (8 -3)\hat{j} = 3\hat{i} + 5\hat{j} \]## 二、向量减法练习题目3：已知向量\( \vec{F} = 6\hat{i} - 2\hat{j} \) 和向量\( \vec{G} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \)，求向量\( \vec{F} -\vec{G} \)。
解答：\[ \vec{F} - \vec{G} = (6 - 3)\hat{i} + (-2 - 4)\hat{j} =3\hat{i} - 6\hat{j} \]题目4：若向量\( \vec{H} \) 与向量\( \vec{I} = 5\hat{i} -3\hat{j} \) 的差为\( \vec{J} = 2\hat{i} + 7\hat{j} \)，求向量\( \vec{H} \)。
解答：\[ \vec{H} = \vec{I} + \vec{J} = (5 + 2)\hat{i} + (-3 +7)\hat{j} = 7\hat{i} + 4\hat{j} \]## 三、向量加减法综合应用题目5：在直角坐标系中，点A(2, 3)和点B(5, -1)，求点A到点B 的向量\( \vec{AB} \)。
平面向量的加减与数量积练习题
平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。
1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。
解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。
解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。
3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。
解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。
解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。
解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。
解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。
解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。
5.2 向量的加法与减法
求合力例1．如图，一物体受到两个大小均为60N 的力的作用，两力的夹角为60且有一力方向水平，求合力的大小及方向．分析：首先应根据题目已知条件作出向量图，从图中观察合力与分力的关系．解：设,分别表示两力，以OB OA ,为邻边作平行四边形OACB ，则即为合力．由已知可得△OAC 为等腰三角形，且30=∠COA ．过A 作OC AD ⊥于D ，则在O A D Rt ∆330236030cos =⨯=⋅=．360==，即合力的大小为N 360，方向与水平方向成30角． 小结：在这种向量的合成中注意和向量的模并不是两向量的模的简单相加，只有在两向量方向相同时才可以．说明向量意义例2．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km “．说明下列向量的意义．(1)a +b (2)b +d (3)d +a +d分析：根据实际意义来确定向量的方向，再根据三角形法则进行加法运算．解： (1) a +b 表示向东走5km ． (2) b +d 表示向西南走25km (3) d +a +d 表示向东南走210km ．小结：关于向量的加法实际就是向量的合成，而向量的合成在实际中有着广泛的应用，此题就是初步了解其应用．C向量加法的作图例1．如图1所示，已知向量c b a ,,，试求作和向量c b a ++．分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和．即先作c a +，再作b c a ++)(．解：如图2所示，首先在平面内任取一点O ，作向量a =，再作向量bAB =，则得向量b a +=，然后作向量c BC =，则向量c b a ++=即为所求．小结：此题的目的主要在于用几何作图熟悉加法的三角形法则及对结合律的认识．向量加减的化简例1．化简下列各式(1)BC CA AB ++； (2)DO OD OF OE --+-．分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简；②是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．解： (1)原式=0)(=-=+=++=++(2)原式=EF OF EO DO OD OF EO =-+=+-+0)()(．小结：向量的加法，减法的运算并不困难，但运算的途径很多，十分灵活，如平面任一向量都可以写成两个向量的和，同样任一向量都可以分成两个向量的差等．通过这种调整来简化运算．向量加减法运算的选择题例1、若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①+=+ ②+=- ③DC DB AC AB =-- ④DC AD BC AB =-+a b c图1a ba+b+c OAB C c 图2A ．1B ．2C ．3D ．4分析：向量的加减法运算通常借助于其几何性质求解，因此在运算时可以画出图象帮助观察题目中的等量关系是否成立，有时等式需要适当的变形．解：选择C小结：向量的加、减法的基本法则分别为CB AC AB AC BC AB =-=+ ，而本题的四个式子①②两式无法直接应用法则，故可变形后再算①式等价于BD AD BC AC -=-．左边=+=．故①式成立．②式等价于BD DC AB AC +=-，左BC =，右BC DC BD =+= ，所以②式正确．③式左边=+=-=与右式不等，故③式不正确，④式中，左边=-=．故④式正确，所以选C ．用向量证明平行四边形例1．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图3，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，且AO=OC ，DO=OB ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明：由已知得OD BO OC AO ==,，=+=+=+= ，且A ，D ，B ，C 不在同一直线上， 故四边形ABCD 是平行四边形． 小结：这种类型的题目由于要求用向量的方法来证明，故应把平面几何的语言准确无误的转换为平面向量的语言，如本题中AD ∥BC AD BC =且BC AD =⇔，而不能写AD ∥BC AD BC =且=⇔．证明向量模的不等式例1．证明：对于任意两个向量b a ,都有b a b a b a +≤+≤-．分析：由于不等式本身有明显的几何意义，故应选用向量的几何意义进行证明．可根据向量b a ,共线与不共线两种情况进行讨论．证明：若b a ,中有一个为零向量，则不等式显然成立．若b a ,都不是0时，记BDCb AB a OA ==,，则b a OB +=．(1) 当b a ,<<．即b a b a b a +≤+≤-．(2) 当b a ,共线时，若b a ,同向，+=，即b a b a +=+；若b a ,=-b a b a +=-． 综上可知b a b a b a +≤+≤-．小结：两个向量之间无大小可言而两个向量的长度之间可以比大小．此不等式一般称为三角不等式，它的几何意义就是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值．在证明之后还可以让学生一起讨论不等式中两个等号成立的条件．O AB图甲O A B图乙O AB 图丙。
高中数学必修二 专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练
专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
向量加减法简单练习题(打印版)
向量加减法简单练习题（打印版）# 向量加减法简单练习题## 一、向量加法### 练习题1：向量求和给定两个向量 \( \vec{A} = (2, 3) \) 和 \( \vec{B} = (4, -1) \)，求它们的和 \( \vec{A} + \vec{B} \)。
### 练习题2：向量加法的几何意义考虑向量 \( \vec{C} = (1, 2) \) 和 \( \vec{D} = (-3, 1) \)，画出这两个向量，并在坐标系中表示它们相加的结果。
### 练习题3：向量加法的分量表示已知向量 \( \vec{E} = (x, y) \) 和 \( \vec{F} = (a, b) \)，求\( \vec{E} + \vec{F} \) 的分量。
## 二、向量减法### 练习题4：向量差给定向量 \( \vec{G} = (5, 6) \) 和 \( \vec{H} = (1, 4) \)，求它们的差 \( \vec{G} - \vec{H} \)。
### 练习题5：向量减法的几何意义考虑向量 \( \vec{I} = (-2, 3) \) 和 \( \vec{J} = (3, -1) \)，画出这两个向量，并在坐标系中表示它们相减的结果。
### 练习题6：向量减法的分量表示已知向量 \( \vec{K} = (m, n) \) 和 \( \vec{L} = (p, q) \)，求\( \vec{K} - \vec{L} \) 的分量。
## 三、向量加法和减法的综合应用### 练习题7：向量加法和减法的组合给定向量 \( \vec{M} = (7, -2) \)，\( \vec{N} = (-1, 5) \) 和\( \vec{O} = (3, -4) \)，求 \( \vec{M} + \vec{N} - \vec{O} \)。
### 练习题8：向量加减法的几何应用在平面直角坐标系中，点 \( A(1, 2) \)，\( B(4, 6) \) 和 \( C(-1, 3) \)，求从点 \( A \) 到点 \( C \) 的向量，然后求从点 \( C \) 到点 \( B \) 的向量，并计算这两个向量的和。
单招向量运算练习题
单招向量运算练习题向量是数学中的重要概念，被广泛应用于几何、物理和工程学等领域。
在学习向量时，熟练掌握向量运算是必不可少的。
本文将提供一些单招向量运算练习题，帮助读者巩固对向量运算的理解和应用。
一、向量的加减法向量的加减法是最基本的运算之一。
分别给出向量A(3, -1, 5)和向量B(2, 4, -2)，计算下列向量运算：1. A + B = ?2. B - A = ?解答：1. A + B = (3 + 2, -1 + 4, 5 + (-2)) = (5, 3, 3)2. B - A = (2 - 3, 4 - (-1), -2 - 5) = (-1, 5, -7)二、向量的数量积向量的数量积是向量运算中的重要概念。
给定向量A(3, -1, 5)和向量B(2, 4, -2)，计算下列向量运算：3. A · B = ?4. B · B = ?解答：3. A · B = (3 × 2) + (-1 × 4) + (5 × (-2)) = 6 - 4 - 10 = -84. B · B = (2 × 2) + (4 × 4) + (-2 × -2) = 4 + 16 + 4 = 24三、向量的向量积向量的向量积也称为叉乘，是向量运算中的重要概念。
给定向量A(3, -1, 5)和向量B(2, 4, -2)，计算下列向量运算：5. A × B = ?6. B × A = ?解答：5. A × B = [( -1 × -2 ) - ( 5 × 4)]i + [(5 × 2) - (3 × -2)]j + [(3 × 4) - ( -1 ×2)]k= (2 - 20)i + (10 + 6)j + (12 + 2)k = -18i + 16j + 14k6. B × A = [(4 × 5) - ( -2 × -1)]i + [( -2 × 3 ) - ( 2 × 5 )]j + [(2 × -1) - (4 ×3)]k= (20 + 2)i + (-6 -10)j + (-2 - 12)k = 22i - 16j - 14k以上是一些关于向量运算的基础练习题，通过理解和熟练掌握这些运算规则，读者可以更好地应用向量概念于实际问题中。
向量的运算性质练习题
向量的运算性质练习题向量的运算性质练习题向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
向量的运算性质是学习向量的基础，通过练习题的形式可以更好地理解和掌握这些性质。
本文将给出一些向量的运算性质练习题，帮助读者加深对向量的理解。
一、向量的加法和减法1. 已知向量a=3i+4j，b=-2i+5j，求a+b和a-b的结果。
2. 已知向量c=2i-3j，d=-i+4j，求c-d和d-c的结果。
3. 设向量e=3i+2j，f=-4i+j，g=-i-3j，求e+f+g的结果。
二、向量的数量积1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a·b的结果。
2. 已知向量c=-3i+4j，d=5i-2j，求c·d的结果。
3. 设向量e=2i-j，f=-i+3j，求e·f的结果。
三、向量的数量积的性质1. 已知向量a=3i+4j，b=-2i+5j，求|a·b|的值。
2. 已知向量c=2i-3j，d=-i+4j，求|c·d|的值。
3. 设向量e=3i+2j，f=-4i+j，求|e·f|的值。
四、向量的数量积和向量的模的关系1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求|a·b|和|a|·|b|的关系。
2. 已知向量c=-3i+4j，d=5i-2j，求|c·d|和|c|·|d|的关系。
3. 设向量e=2i-j，f=-i+3j，求|e·f|和|e|·|f|的关系。
五、向量的叉积1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a×b的结果。
2. 已知向量c=-3i+4j，d=5i-2j，求c×d的结果。
3. 设向量e=2i-j，f=-i+3j，求e×f的结果。
六、向量的叉积的性质1. 已知向量a=3i+4j，b=-2i+5j，求|a×b|的值。
2. 已知向量c=2i-3j，d=-i+4j，求|c×d|的值。
向量的加法与减法最新版
在Rt ABC中， |AB|=2, |BC|=2 3
AC AB 2 BC 2
D
C
22 (2 3)2
4
tan CAB 2 3 3
2
CAB 60
A
B
答：船实际航行的速度 大小为 4km/h,
方向与流速间的夹角为 60。
向量运算练习题集
向量运算练习题集1. 向量概念总结：向量是具有大小和方向的量，常表示为箭头。
记作a⃗，其中a表示向量名称，⃗表示向量符号。
2. 向量的表示方法：a) 用坐标表示：设向量a⃗的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则记作a⃗=(x,y)。
b) 用分量表示：设向量a⃗与坐标轴正方向的夹角分别为α和β，则a⃗=a1⃗i+a2⃗j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y轴上的投影。
3. 向量的运算法则：a) 向量的加法：设向量a⃗的终点为点P，向量b⃗的终点为点Q，则a⃗+b⃗的终点为点R，连接O和R，得到新的向量c⃗，即c⃗=a⃗+b⃗。
b) 向量的减法：设向量a⃗的终点为点P，向量b⃗的终点为点Q，则a⃗-b⃗的终点为点R，连接O和R，得到新的向量c⃗，即c⃗=a⃗-b⃗。
c) 向量的数乘：设向量a⃗的终点为点P，则k⃗a⃗的终点为点Q，其中k为实数，连接O和Q，得到新的向量b⃗，即b⃗=k⃗a⃗。
4. 向量运算的性质：a) 交换律：a⃗+b⃗=b⃗+a⃗b) 结合律：(a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)c) 数乘结合律：k⃗(a⃗+b⃗)=k⃗a⃗+k⃗b⃗d) 数乘分配律：(k+m)⃗a⃗=k⃗a⃗+m⃗a⃗5. 向量运算的练习题：练习题1：已知向量a⃗=(3,4)，b⃗=(5,-2)，计算a⃗+b⃗。
解答：将向量a⃗和b⃗的坐标分量相加，得到新的向量c⃗=(3+5,4+(-2))=(8,2)。
练习题2：已知向量a⃗=(1,2)，b⃗=(3,-1)，计算a⃗-b⃗。
解答：将向量a⃗和b⃗的坐标分量相减，得到新的向量c⃗=(1-3,2-(-1))=(-2,3)。
练习题3：已知向量a⃗=(2,3)，计算2⃗a⃗。
解答：将向量a⃗的坐标分量乘以系数2，得到新的向量b⃗=(2×2,3×2)=(4,6)。
练习题4：已知向量a⃗=(3,1)，b⃗=(2,-2)，计算3⃗a⃗+2⃗b⃗。
解答：将向量a⃗和b⃗的坐标分量乘以各自对应的系数，然后相加，得到新的向量c⃗=(3×3+2×2,1×3+(-2)×2)=(13,-1)。
向量加减法的运算练习题(打印版)
向量加减法的运算练习题（打印版）一、向量加法1. 设向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 和向量 $\vec{b} = (1, -1)$，求向量 $\vec{a} + \vec{b}$。
2. 已知向量 $\vec{c} = (-2, 4)$ 和向量 $\vec{d} = (4, -2)$，计算向量 $\vec{c} + \vec{d}$。
3. 若向量 $\vec{e} = (x, y)$ 和向量 $\vec{f} = (2x, 3y)$，求向量 $\vec{e} + \vec{f}$。
二、向量减法4. 已知向量 $\vec{g} = (5, -3)$ 和向量 $\vec{h} = (2, 1)$，求向量 $\vec{g} - \vec{h}$。
5. 设向量 $\vec{i} = (-1, 2)$ 和向量 $\vec{j} = (3, -4)$，计算向量 $\vec{i} - \vec{j}$。
6. 若向量 $\vec{k} = (a, b)$ 和向量 $\vec{l} = (-a, -b)$，求向量 $\vec{k} - \vec{l}$。
三、向量加减法的应用7. 已知点A的坐标为 $(2, 3)$，点B的坐标为 $(5, 7)$，求向量$\vec{AB}$。
8. 若点C的坐标为 $(-3, 1)$，点D的坐标为 $(1, -2)$，计算向量$\vec{CD}$。
9. 假设向量 $\vec{m} = (1, 0)$ 和向量 $\vec{n} = (0, 1)$，求向量 $\vec{m} + \vec{n}$ 与向量 $\vec{m} - \vec{n}$。
四、向量加减法的混合运算10. 已知向量 $\vec{p} = (4, -1)$，向量 $\vec{q} = (-2, 3)$，求向量 $\vec{p} + \vec{q}$ 和向量 $\vec{p} - \vec{q}$。
11. 设向量 $\vec{r} = (x, 2x)$ 和向量 $\vec{s} = (3x, -x)$，计算向量 $\vec{r} + \vec{s}$ 和向量 $\vec{r} - \vec{s}$。
九年级数学下册平面向量的加减法练习题
九年级数学下册平面向量的加减法练习题在九年级数学下册中，平面向量的加减法是一个重要的知识点。
通过练习题的形式来巩固和提升对平面向量加减法的理解和应用能力，对学生的数学素养和解题能力的提升有着积极的作用。
下面将介绍一些平面向量的加减法练习题，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
1. 已知平面向量$\overrightarrow{MN}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{NP}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{MP}$。
解析：根据平面向量的加法定义，$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\begin {pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+1 \\ 3+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$。
2. 已知平面向量$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{BC}$的模长。
解析：根据平面向量的减法定义，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$。
向量的加减和数乘基础专项练习含解析
向量的加减和数乘一、单选题（共19题；共38分）1.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且，则（）A. B. C. D.2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若，，，则（）A. B. C. D.3.在三棱柱中，若，，，则A. B. C. D.4.空间四边形中，, , ,点在上，且，为中点，则=（）A. B. C. D.5.如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，M是AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.6.在直三棱柱中，若，，，则（）A. B. C. D.7.如图，在正方体中，若，则x+y+z的值为（）A. 3B. 1C. -1D. -38.已知空间四边形OABC，，N分别是OA，BC的中点，且，，=c，用a，b，c 表示向量为（）A. B.C. D.9.如图，在三棱柱ABC-A 1B1C1中，为A1C1的中点，若=a，，，则下列向量与相等的是（）A. B. C. D.10.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣11.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若= ，= ，= ，则=（）A. + ﹣B. ﹣+C. ﹣+ +D. ﹣+ ﹣12..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于（）A. B.C. D.13.已知空间四边形，其对角线为，分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A. B.C. D.14.在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{ ，，}可表示为（）A. B. C. D.15.已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c 表示，则等于（）A. B. C. D.16.如图，空间四边形OABC中，= ，= ，= ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N 为BC的中点，则=（）A. ﹣+ +B. ﹣+C. + ﹣D. + ﹣17.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若= ，= ，= ，则=（）A. （+ ﹣）B. （+ ﹣）C. （﹣）D. （﹣）18.如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A. ﹣=B. + =C. + + =D. + = +19.如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则+(+)等于（）A. B. C. D.二、填空题（共2题；共2分）20.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M．设，，，用，，表示向量，则=________．21.如图，三棱锥P﹣ABC中，M是AC的中点，Q是BM的中点，若实数x，y，z满足，则x﹣y+z=________答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】空间向量的加减法【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，∴α= ，β=﹣1，故答案为：A．【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。
高一数学必修4向量的加减法练习题含解析
2.2.1课时作业1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，则|a ＋b |为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 B2．下列各式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③ 答案 B3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →答案 C4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A5.如图，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3 答案 B6．在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB →的模等于( ) A.13 B ．2 2 C ．3D ．5 答案 A解析 由题意知|AB →＋AC →|＝|AB →|2＋|AC →|2＝22＋32＝13，应选A. 7．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →答案 C8．已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．重心 C ．内心D ．外心答案 B9．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →＝______．答案 OD →10．已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|等于________． 答案 2 2解析 |AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC →|＝2 2.11．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．答案 82 北偏东45°解析 如图，a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. ∵|a |＝8，|b |＝8，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴|a ＋b |＝|OB →|＝8 2.方向是北偏东45°.12．如图(1)，已知向量a 、b 、c ，求作向量a ＋b ＋c .解析 如图(2)，在平面内任取一点D ，作DA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，作DB →、DC →，则DB →＝a＋b ，DC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c .∴向量DC →即为所作向量．13．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，试判断四边形的形状．解析 由向量加法的三角形法则，得AC →＝AB →＋BC →. ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ∥BC 且|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是平行四边形． 14.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. 因为PB →和QC →大小相等、方向相反， 所以PB →＋QC →＝0.故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.2.2.2课时作业1．给出下列3个向量等式：①AB →＋CA →＋BC →＝0；②AB →－AC →－BC →＝0；③AC →－BC →－AB →＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C 解析 ①③对．2．如右图，▱ABCD 中，下列等式中错误的是( ) A.AD →＝AB →＋BD → B.AD →＝AC →＋CD → C.AD →＝AB →＋BC →＋CD →D.AD →＝DC →＋CA → 答案 D解析 DC →＋CA →＝DA →.3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →答案 B4．下列命题中，正确的是( )A ．差向量的方向是由被减向量的终点指向减向量的终点B ．若a 、b 是任意两个向量，则|a |－|b |＝|a －b |C ．与a 方向相反的向量叫做a 的相反向量D ．从一个向量减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量 答案 D5．在下列各等式中，正确的个数为( )①a －b ＝b －a; ②a ＋b －c ＝a －c ＋b ；③b －(－a )＝b ＋a; ④0－a ＝－a ；⑤|a －b |＝|b ＋a |; ⑥|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．5 B ．4 C ．3 D ．1答案 C6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 答案 D7．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c答案 A8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8]B ．(3，8)C ．[3，13]D ．(3，13)答案 C解析 BC →＝AC →－AB →(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13.9．已知△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，则在下列各等式中不成立的为( ) A ．|AC →－AB →|＝|AC →＋AB →| B ．|AC →－AB →|＝|CB →| C ．|AB →－AC →|2＝|AB →|2＋|BC →|2 D ．|BC →＋CA →|2＋|AC →|2＝|BC →|2答案 C10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________． 答案 CA →11．判断正误．(1)设非零向量a 、b ，则|a ＋b |＝|a －b |⇔a ⊥b .(2)AB →＋BC →＋CA →＝0⇔A 、B 、C 是某个三角形三个顶点． 答案 (1)正确 (2)不正确12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，求|a －b ＋c |.答案 |a －b ＋c |＝213．如图四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ， 求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明 EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)(∵EA →＋ED →＝0) 14．设平面内有四边形ABCD 和O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，试判断四边形ABCD 的形状．解析 ∵a ＋c ＝b ＋d ，即OA →＋OC →＝OB →＋OD →. ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.∴BA 綊CD. 故四边形ABCD 是平行四边形． ►重点班·选做题15．任给向量a ，b ，则下列各项中正确的是( ) A ．|a ＋b |＝|a |＋|b | B ．|a －b |＝|a |－|b | C ．|a －b |≤|a |－|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b |答案 D16．已知|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1，则|a －b |＝( ) A ．1 B. 3 C.32D ．2答案 B分析 根据向量的平行四边形法则，以a 和b 为邻边表示向量a ＋b 和a －b ，再根据向量模的关系判断平行四边形的形状求解．解析 如右图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1时，平行四边形ABDC 为菱形．又|a ＋b|＝1， ∴△ABD 为正三角形．∴∠ABD ＝60°.容易得出|a －b|＝|CB →|＝2|OB →|＝2|AB|2－|AO|2＝2·12－（12）2＝ 3.。
向量的加法与减法练习
向量的加法与减法练习基础卷（15分钟）一、选择题1．下列命题：（1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么，的方向必与，之一的方向相同。
（2）△ABC中，必有（3）若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点。
（4）若，均为非零向量，则与一定相等。
其中真命题的个数为（）A．0 B．1C．2 D．32．给出下列3个向量等式：（1）（2）（3）。
其中正确的个数是（）A．0 B．1C．2 D．33．在△ABC中，设（）A．B．C．D．4．已知ABCD是平行四边形，O为平面上任一点。
设，则（）A．B．C．D．二、填空题5．。
6．（1）；（2）。
提高卷（30分钟）一、选择题1．有下列3个不等式（1）（2）（3）其中正确的个数是（）A．0 B．1C．2 D．32．化简以下各式：（1）；（2）；（3）；（4）。
结果为零的向量的个数是（）A．1 B．2C．3 D．43．已知，，则的取值范围是（）A．[3，17]B．（3，17）C．[3，10]D．（3，10）4．下列命题中，正确的是（）A．单位向量都共线B．C．若，则D．且5．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别为，，，则向量等于（）A．B．C．D．6．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形7．若O是△ABC内一点，，则O是△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心二、填空题8．△ABC中，，则。
9．向量，满足，，则的最大值为：______，的最小值为：_____。
10．如图5—4，用两根绳子把重10kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，则A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）分别是_______。
三、解答题11．一辆汽车向东行驶30km，然后改变方向向北行驶30km，求汽车行驶的路程及两次位移的和。
12．设表示，“向北走20km，”表示“向南走10km”，表示“向东走20km”，表示“向西走10km”，说明下列向量的意义：（1）；（2）；（3）；（4）13．某人从A点出发向东走100m，到达B点，然后改变方向向西北走200m，到C点，最后向西走100m到达D点，求的值。
向量的加法与减法测试题及答案
向量的加法与减法一、选择题（每题5分，共30分）1. 若C 是线段AB 的中点，那么AC BC +=（ ）.（A ）AB （B ）BA （C ）0 （D ）0 ABC 中，1AB BC CA ===，那么AB BC -的值为（ ）.（A ）0 （B ）1 （C （D ）23.判定以下各命题.（1）假设点O 是正三角形ABC 的中心，那么向量,OA OB OC ，均相等；（2）在四边形ABCD 中，假设AB CD 与共线且AD ≠BC ，那么四边形ABCD 是梯形；（3）在四边形ABCD 中，对角形AC 与BD 相交于O ，假设,AO OC BO OD ==，那么该四边形是平行四边形； （4）在四边形ABCD 中，“AB DC =且AC BD =”是四边形ABCD 为矩形的充要条件. 其中，是真命题的个数为（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个（D ）4个4.已知|a |=6,|b |=8，那么|a+b |的取值范围为（ ）.（A ）[0,8] （B ）[6,8] （C ）[6,14]（D ）[2,14]a 、b 是两个向量，对不等式0≤|a-b |≤|a |+|b |给出以下四个结论：①不等式左端的不等号“≤”只能在a=b =0时取等号“=”;②等式左端的不等号“≤”只能在a 与b 不共线时取不等号“＜”;③等式左端的不等号“≤”只能在a 与b 均非零且反向共线时取等号“=”;④等式左端的不等号“≤”只能在a 与b =0不共线时取等号“＜”.其中，正确的结论有（ ）.（A ）0个 （B ）1个（C ）2个 （D ）4个 6．设AB BC AC 、、是三个非零向量，且,AB BC AC ++那么（ ）.（A ）线段AB 、BC 、AC 必然组成三角形 （B ）线段AB 、BC 必然共线（C ）线段AB 、BC 必然平行（D ）选项（A ）、（B ）中的情况都是可能的，选项（C ）中的情况是不存在的.二、填空题（每题5分，共20分）a 是任意的向量，向量b 与a 共线，那么b = . 8.当非零向量a,b 知足 条件时，使得a+b 平分a 和b 间的夹角.9．假设向量a 、b 的模为|a |=004、|b |=2005,那么|a-b|的最小值是 ；最大值是 .10．依照5-2-24的图示填空：图（a ）中：AE = ；EA = .图（b ）中：BC = ；CB = .三、解答题（每题12分，共24分） 5-2-25，四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点为E 、F ，求证：().EF AB DC +1=2ABCD 的边长为1, AB =a , BC =b ，AC =c ，求作以下各向量，并求它们的模.(1)a+b+c ; (2)a-b+c ; (3) c-a-b .参考答案与思路分析一、1.答案：（C ） 分析：因为C 是线段的中点，因此AC CB BC ==-，因此0AC CB +=，应选（C ）.点拨：此题要紧考查共线向量与差的问题.2．答案：（C ） 分析：因为在△ABC 中，1AB BC CA ===，因此△ABC 为等边三角形，又AB BC AB CB -=+，过点B 作BD CB =，因此AB BC AD -=，因此3AB BC AD -==，应选（C ）.2. ,,OA OB OC 的模都相等，可是由于它们的方向各不相同，因此它们各不相等.AB CD 与共线，即AB ∥CD ，故四边形ABCD 的一组对边AB 与CD 相互平行，再由于AD BC ≠，因此另一组对边AD 与BC 不平行，故四边形ABCD 是梯形.,AO OC BO OD ==知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相互平分，因此四边形ABCD 是平行四边形.AD BC =可知AB 平行且等于DC ，因此四边形ABCD 是平行四边形，又AC BD =,即将□ABCD 的对角线相等，因此四边形ABCD 是矩形；反过来，假设四边形ABCD 是矩形，那么它的对边平行且相等，对角线长也相等，因此AB DC AC BD ==且，因此结论（4）正确.因此（2）（3）（4）是真命题，从而选（C ）.4．答案：（D ）分析：因为||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |,又因为|a |=6,|b |=8，因此2≤|a +b |≤14,而且当a 与b 反向时，|a +b |取最小值2，当a 与b 同向时，|a +b |取最大值14，故应选（D ）.5.答案：（A ） 分析：利用概念及法那么一一判定：解：①错误的缘故：当a ≠0,b ≠0,a=b ，|a-b |=0；②错误的缘故：当a =0,b ≠0,这时，a 与b 共线，|a-b |=|b |＞0；③错误的缘故：当a = b =0时,|a+b |=|a |+|b |；④错误的缘故：当a = b ≠0时,|a-b=0,|a-b |＜|a |＜|b |.综上，以上四个结论都错误，没有正确的结论.点拨：在解此题时，利用特例法判定正误，这也是一种经常使用方式.6．答案：（D ） 分析：对各类情形画图分析.解：如图5-2-30，(a)(b)(c)(d)，非零向量AB BC AC 、、知足，AB BC AC =+；依次与图5-2-31中的(a)(b)(c)(d)对应，综上可知，应选（D ）.二、7.答案：0 分析：因为a 是任意的向量，向量b 与a 共线，因此b =0（零向量与任意向量共线）.8．答案：|a |=|b | 分析：菱形的对角形平分一组对角，因此当以a,b 为邻边的平行四边形为菱形时，a+b 平分a 和b 间的夹角，即|a |=|b |.9．答案：1;4009 分析：对向量a,b 的方向讨论.解：因为a 、b 是非零向量，|a |=2004，|b |=2005，因此当a 与b 共线同向时，|a-b |的最小值为1，当a 与b 共线反向时，|a-b |的最大值为4009.10. 答案：a+b+c+d;-(a+b+c+d);b-a;a-b 分析：结合图形，利用向量加减法运算法那么直接运算.三、11.分析：利用平面几何的特点证明：解法1：连AC,设AC 中点为G ，连EG 、GF ，则EG 、GF 别离为△ACD 、△ACB 的中位线，于是1,2EG DC GF AB =1=2，因此1()2EF EG AB DC ==+. 解法2：如图5-2-32，作CM AB =，那么ABMC 为平行四边形，故对角线AM 过BC 中点F ，由DM DC CM DC AB =+=+，又EF 是△AMD的中位线，因此11()22EF DM AB DC ==+. 解法3：在四边形EFCD 中，EF ED DC CF =++，同理EF EA AB BF =++，因此2.EF ED EA DC AB CF BF =+++++又因为0,0,ED EA CF BF +=+=因此1().2EF AB DC =+ 12.分析：依照正方形性质及向量的和与差的概念并求模.解：如图5-2-33，（1）延长AC 到E ，使,CE AC =则a+b+c =,AB BC AC AC CE AE ++=+=|a+b+c |=2 2.AE =(2) 作BF AC =，那么a-b+c =.AB BC AC AB AD BF DF -+=-+=|a-b+c|= 2.DF =(3)c-a-b =0.AC AB BC BC BC --=-= |c-a-b|=0.点拨：此题要紧考查向量的加法与减法的几何性质.。
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练习一
选择题：
1．如图，等腰梯形两腰上的向量、是( )
(A)相等的向量(B)模相等的向量(C)方向相反的向量(D)方向相同的向量2．如图，在菱形中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ).
第2题
(A)和(B)和(C)和(D)和
3．如图，，－＋等于( ).
(A) (B) (C) (D)
4．如图，在中，－＋等于( )
(A) (B) (C) (D)
填空题：
5．如图，正六边形，为中心，图中所示向量中：
(1)与相等的向量有__________；
(2)与相等的向量有__________；
6．＝_________；
7．化简
(1)＋＋—_____________；
(2)____________；
(3)＋＋＝_____________；
(4)－＋＝_____________；
解答题：
8．已知向量、，求作＋，－.
9．河水自西向东流，流速为3 m/s，轮船垂直水流方向以18.7 km/h的速度向北航行，求轮船的实际航速.
答案、提示和解答：
1．B．2．B．3．C．4．B. 5．(1)，；(2). 6．0.
7．(1)0；(2)；(3)；(4)0.8．略.
9．设＝“向东方向，3 m/s”，＝“向东方向，18.7 km/h”≈“向北方向，5.19 m/s”，如图，适当选取比例尺，作
＝＝“向东3 m/s”
＝＝“向北，5.19 m/s”，
＝＋＝＋.
｜｜＝
与夹角的余弦值为，则与夹角为60°.
所以轮船的实际航速为东偏北60°，6 m/s.
练习二
选择题：
1．如图，梯形，其中｜｜＝｜｜，相等的向量是( ).
(A)与(B)与(C)与(D)与
2．已知如图，、分别是与的中点，、、、、、中,相等的向量共有( ).
(A)1组(B)2组(C)3组(D)4组
3．如图，＋＋等于( )
(A) (B) (C) (D)
4．如图中，点、、分别为、、的中点，－等于( ).
(A) (B) (C) (D)
填空题：
5．如图，、、分别是各边的中点，则
(1)与相等的向量有___________；
(2)与相等的向量有___________；
(3)与相等的向量有____________.
6．根据图示镇空：
(1)＋＝__________；
(2)＋＝__________；
7．化简：
(1) ＋＋＝____________；
(2) (＋)＋＋＝___________；
(3) ＋＋＋＝______________；
(4) ＋＋－＝______________；
(5) －＋＝___________________；
(6) －－＝___________________；
(7) ＋＋－＝______________；
解答题：
8．已知向量、，求作＋；－
9.飞机从甲地按北偏西15°的方向飞行1400 km到达乙地，再从乙地按南偏东75°的方向飞行1400 km到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地的距离？
答案、提示和解答:
1.D.
2.A.
3.C.
4.D.
5.(1)、；(2)、；(3)、.
6．；(2). 7．(1)0；(2)；(3)；(4)0；0、；(6)；(7)0.
8．略. 9．丙地在甲地偏东45°，距甲地1400 km.。