人教版数学高二-人教A版选修4-5课时跟踪检测(六) 比较法

课时跟踪检测(六) 比较法
1．下列命题：
①当b >0时，a >b ⇔a b
>1； ②当b >0时，a <b ⇔a b <1；
③当a >0，b >0时，a b
>1⇔a >b ； ④当ab >0时，a b >1⇔a >b .
其中是真命题的有( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．④
D ．①②③④
解析：选A 只有④不正确．如a ＝－2，b ＝－1时，a b
＝2>1，但a <b . 2．若x ，y ∈R ，记w ＝x 2＋3xy ，u ＝4xy －y 2，则( )
A ．w >u
B ．w <u
C ．w ≥u
D ．无法确定 解析：选C
∵w －u ＝x 2－xy ＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －y 22＋3y 24≥0， ∴w ≥u .
3．a ，b 都是正数，P ＝
a ＋
b 2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ≥Q D ．P ≤Q 解析：选D ∵a ，b 都是正数，∴P >0，Q >0.
∴P 2－Q 2＝⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－(a ＋b )2 ＝－(a －b )2
2
≤0(当且仅当a ＝b 时取等号)， ∴P 2－Q 2≤0，∴P ≤Q .
4．在△ABC 中，sin A sin C <cos A cos C ，则△ABC ( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．不确定
解析：选C 由sin A sin C <cos A cos C ，得
cos A cos C －sin A sin C >0，即cos(A ＋C )>0，
所以A ＋C 是锐角，从而B >π2
， 故△ABC 一定是钝角三角形．
5．若0<x <1，则1x 与1x 2的大小关系是________． 解析：1x －1x 2＝x －1x 2. 因为0<x <1，所以1x －1x 2<0， 所以1x <1x 2. 答案：1x <1x 2 6.2a 1＋a 2
与1的大小关系为________． 解析：2a 1＋a 2－1＝2a －1－a 21＋a 2＝－(1－a )21＋a 2
≤0. 答案：2a 1＋a 2
≤1 7．设a >b >0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x ，y 的大小关系是________．
解析：∵x y ＝a ＋b －a a －a －b ＝a ＋a －b a ＋
a ＋
b <a ＋a ＋b a ＋a ＋b
＝1，且x >0，y >0， ∴x <y .
答案：x <y
8．已知x ，y ∈R, 求证：sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y .
证明：∵sin x ＋sin y －1－sin x sin y
＝sin x (1－sin y )－(1－sin y )＝(1－sin y )(sin x －1)．
∵－1≤sin x ≤1，－1≤sin y ≤1，
∴1－sin y ≥0，sin x －1≤0，∴(1－sin y )(sin x －1)≤0，
即sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y .
9．已知a <b <c ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.
证明：因为a <b <c ，所以a －b <0，b －c <0，a －c <0，
所以(a 2b ＋b 2c ＋c 2a )－(ab 2＋bc 2＋ca 2)
＝(a 2b －ca 2)＋(b 2c －bc 2)＋(ac 2－ab 2) ＝a 2(b －c )＋bc (b －c )－a (b －c )(b ＋c ) ＝(b －c )[a 2－a (b ＋c )＋bc ]＝(b －c )(a －b )(a －c )<0， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.
10．已知a >2，求证：log a (a －1)<log (a ＋1)a . 证明：∵a >2，
∴a －1>1，
∴log a (a －1)>0，log (a ＋1)a >0.
由于log a (a －1)log (a ＋1)a
＝log a (a －1)·log a (a ＋1)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a －1)＋log a (a ＋1)22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a 2－1)22. ∵a >2，∴0<log a (a 2－1)<log a a 2＝2.
∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a 2－1)22<⎣⎡⎦⎤log a a 222＝1，即log a (a －1)log (a ＋1)a
<1. ∵log (a ＋1)a >0，∴log a (a －1)<log (a ＋1)a .。