北师版高中数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 诱导公式与对称--4.4 诱导公式与旋转

正解:①当n=2k(k∈Z)时,
(+)(-)
原式= [(+)-]
=

=-sin
-
α.
②当n=2k+1(k∈Z)时,
[(+)+][(+)-] -(-)
原式=
=
=sin
[(+)-]
解析:由题图和已知可得 sin

又因为∠AOB=,


所以 α-β=,α=+β,所以

=-sin β= ,故选 D.

答案:D

β=- .

cos +


=cos


+β+


=cos

+β

探究三 利用诱导公式化简
【例3】 化简下列各式:


(-)· - - (-)
称,P1与P也关于x轴对称;能.
图1-4-2
2.如图1-4-3,角π+α的终边与角α的终边有什
么关系?角π+α的终边与单位圆的交点
P2(cos(π+α),sin(π+α))与点P(cos α,sin α)呢?
根据三角函数的定义,你能得出角π+α与角α
的三角函数值的关系吗?
提示:角π+α的终边与角α的终边关于原点对
4.体会直观想象的过程,提升数学运算素养的培
养.
一、问题探究
【问题思考】
1.如图1-4-2,角-α的终边与角α的终边有什么
关系?角-α的终边与单位圆的交点P1(cos(-α),
sin(-α))与点P(cos α,sin α)有怎样的关系?你能
用三角函数的定义验证-α与α的三角函数值
的关系吗?
提示:角-α的终边与角α的终边关于x轴对
化.

【变式训练 2】如图 1-4-5,在平面直角坐标系中,角 α < < 、

角 β − < < 的终边分别交单位圆于 A,B 两点,点 B 的纵坐标




为-,当∠AOB=时,cos + 的值为(

A.

C.-
).

B.-

D.
图1-4-5

).
解析:cos 660°=cos(360°+300°)=cos 300°
=cos(180°+120°)=-cos 120°=-cos(180°-60°)

=cos 60°= .
答案:B
2.已知角 α 的终边经过点 P(-3,-4),则 cos


+

的值为(

).

A.-
B.


C.
D.-
当 k 为奇数时,设 k=2m+1(m∈Z),

则原式=

(+)+ -



(+)- -

[(+)+][(+)+]
-
= -=1.故原式=1.
1.cos 660°的值为(

A.-

B.
√
C.
√
D.
(1)



(+)
(-)

(2) (-) ·sin - cos
(-)
解:(1)原式=

(-)
(2)原式=

;

+


+

.


+

(-)
(+)
· -

=
(-)(-)
(-)
√
=- ,
本例(2)条件不变,如何求 sin
解:∵ +
∴sin




+


-

的值?

- = ,






− =sin - +
=cos +



= .

反思感悟 解决条件求值问题,要仔细观察条件与所求式之间
的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.可以将已知
式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转
于直线y=x对称.
二、诱导公式
【问题思考】
1.设α为任意角,则2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,2kπ-α(k∈Z),π-α的终
边与α的终边有怎样的对应关系?
提示:它们的对应关系如表:
相关角
终边之间的对应关系
2kπ+α 与 α
终边相同
π+α 与 α
关于原点对称
-α 与 α
关于 x 轴对称
2kπ-α 与 α
-
=-sin θ.
2
-
(-sin
α)=
·
(-cos
α)(-sin
α)=-cos
α.


反思感悟 三角函数式的化简方法:
(1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数(或角度数)的绝
对值尽量小,能求值的要求值;

(2)认真观察有关角之间的关系,根据需要变角,如 +α 可写成


2π- - ,也可写成 π+ + ,不同的表达方法,决定着使用不
=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·
sin(360°-30°)
=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°


√
√
= × + × =1.




反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤:
(1)“负化正”;
(2)“大化小,用公式将角化为0°到360°间的角;
(3)“角化锐,用公式将大于90°的角转化为锐角;
(4)“锐求值,得到锐角的三角函数后求值.
【变式训练1】 求值:(1)sin 495°·cos(-675°);
(2)sin

-

+cos .
解:(1)sin 495°·cos(-675°)
=sin(135°+360°)·cos 675°
,其中 k∈Z.
[(+)+](+)
解:当 k 为偶数时,设 k=2m(m∈Z),则




+ - - -
原式=[(+)+](+)

=

-



- -
(+)
-
= -=1.
-(-)


= - ·-(-) ·-
-
=
·
·
- - -
=1.
°·(-°)
(2)原式=°·(-°)
(°+°)·(°+°)


= + =1.


答案:1
.
5.已知 sin(3π+α)=2sin
求
(-)-

+


+

,
的值.
(+)+(-)
解:∵sin(3π+α)=2sin

+


,
∴-sin α=-2cos α,即 sin α=2cos α,
-
则原式=+
=
(°-°)·(°+°)
(-°)·(-°)
= °·°
°
=°
=
°
(°+°)
=


√

√
=- .
忽略讨论n的取值致误
(+)(-)
【典例】 化简 [(+)-] (n∈Z)的结果为

故化简所得的结果为(-1)n+1sin α.
答案:(-1)n+1sin α
α.
防范措施 诱导公式是一个有机的整体,解题时要根据角的特
征,选取适当的公式进行化简计算,对形如nπ±α(n∈Z)型的角,
要注意对n(n∈Z)进行讨论.
【变式训练】 设k为整数,化简:




+ - - -
解析:因为角 α 的终边经过点 P(-3,-4),所以 r= (-) + (-)=5,


所以 sin α==-,
所以 cos
答案:C


+

=-sin
α=
,故选
C.



3.已知sin(π+α)= ,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是(



A.B.




C.D.



解析:∵sin(π+α)= ,且 sin(π+α)=-sin α,


同的诱导公式.
【变式训练3】 化简下列各式:


-
பைடு நூலகம்
(-)
(-)
(1)(-) ·(-) ·(--);
°·(-°)
(2)
.
(-°)·(-°)
-(-)


解:(1)原式= (-) ·-(-) ·-(+)
(1)cos
√
210°= .(

× )
(2)诱导公式中的角α一定是锐角.( × )
(3)cos[-(α-β)]=-cos(α-β).( × )
(4)sin

-

=±cos α.( × )
探究一 给角求值
【例1】 求下列各式的值:
(1)sin

-
;
(2)求sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)的值.
α

cos(2kπ+α)=cos α (k∈Z)
cos(-α)=cos α
cos(2π-α)=cos α
cos(π-α)=-cos α
cos(π+α)=-cos α
cos
cos

+ =-sin


-
=sin
α

α
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误
的画“×”.
解:(1)因为 cos

+



所以 cos
+


(2)因为 α+ =

所以 sin +


=cos α+ = .

=cos −

−

=-cos

+√
√
-cos - =- − =.






+ + ,


=sin + +
2

-

§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.3 诱导公式与对称
4.4 诱导公式与旋转
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.了解特殊角的终边的对称关系.
2.能用单位圆直观地探索正弦函数、余弦函数
的诱导公式.
3.能用诱导公式求任意角的正弦函数值、余弦
函数值.
(+)(-)

错解: [(+)-] = - =-sin α.
.
答案:-sin α
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:上述求解忽略了讨论n的奇偶性而致误.由于n是整数,可
能为奇数也可能为偶数,因此需要对n的奇偶性进行讨论.
关于 x 轴对称
π-α 与 α
关于 y 轴对称
2.正弦函数、余弦函数的诱导公式 表1-4-2
sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z)
sin(-α)=-sin α
sin(2π-α)=-sin α
sin(π-α)=sin α
sin(π+α)=-sin α
sin
sin

+ =cos α


-
=cos
称,P2与P也关于原点对称;能.
图1-4-3




3.如图 1-4-4,角 -α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角 -α 的终边与
单位圆的交点 P3

−

,



−

与点
P(cos
α,sin
α)呢?

图1-4-4

提示:角 -α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,P3与P也关
分析:用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三
角函数.
解:(1)sin



=-sin =-sin


=-sin +




+ =sin = .
(2)原式=-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)
=sin 135°·cos 315°
=sin(180°-45°)·cos(360°-45°)
=sin 45°·cos 45°
√
√
= ×
=

.



(2)sin +cos




=-sin +cos 4π+



=-sin +cos



=-sin + -cos




=sin-cos
√
√
= − =0.
=-sin +



+cos

探究二 给值求值
【例 2】 (1)已知 cos
(2)已知 cos +


=


√
-
=
,求
cos
+





,求 sin +
的值.


-cos
2

-
的值;
分析:分析已知角与未知角的关系,选用合适的诱导公式求值.


∴sin α=- ,

又 α 是第四象限角,不妨设 y=-3,r=5,则 x=4,
∴cos(α-2π)=cos
答案:B

α= .

).


4.计算 sin +cos 的值为




解析:sin +cos -


=sin +