第8讲.尖子班.学生版
7-8.四年级奥数 年龄问题
四年级秋季尖子班第七讲年龄问题（一）年龄问题,就是知道两人的年龄关系,求两人的年龄,或知道两人的年龄,求两人年龄之间的关系。
年龄问题有自己独特的解题思路和方法,同学们在思考和解答这类题目时可以从以下几个方面去考虑：1.两人的岁数无论怎样变化,其年龄差始终不变(定差)。
2.定差的两量,随着年份的变化,倍数关系也发生变化。
3.解题时,依据年龄之间的倍数关系,参照年龄差(和),画出线段图,可以更好地帮助我们理解题中的数量关系。
典例精讲例1 奶奶今年57岁,孙子今年5岁,再过多少年,奶奶的年龄是孙子的5倍?【思路点拨】不管是今年还是几年后,奶奶的年龄始终比孙子大57-5=52(岁)。
几年后奶奶的年龄是孙子的5倍,也就是奶奶的年龄比孙子5倍,如下图：【详细解答】例2 父亲今年比儿子大32岁,2年后父亲的年龄是儿子的5倍。
今年儿子多少岁?【思路点拨】画图分析：2年后,父子之间的年龄差没有变化。
如果将2年后儿子的年龄看作1份的量,则父亲的年龄比儿子多(5-1)份的量,是32岁,由此可求出2年后儿子的年龄,进而求出今年儿子的年龄。
【详细解答】例3 王亮5年前的年龄等于小丽7年后的年龄,王亮4年后与小丽3年前的年龄和是45岁。
问:王亮、小丽两人今年各多少岁?【思路点拨】根据题意可知,王亮比小丽大5+7=12(岁),今年他们两人的年龄和是45+3-4=44(岁)。
由和差问题的解法,可求出王亮今年的年龄,再求小丽今年的年龄。
【详细解答】达标练习1.今年叔叔40岁,丽丽12岁,再过多少年,叔叔的年龄是丽丽的3倍?2.兰兰今年10岁,奶奶比兰兰大60岁,再过多少年,奶奶的年龄是兰兰的5倍?3.今年强强12岁,叔叔的年龄是强强的3倍,再过多少年,叔叔的年龄是强强的2倍?4.母亲今年比儿子大28岁,4年后母亲的年龄是儿子的5倍。
今年儿子多少岁?5.今年妈妈比儿子大30岁,3年后妈妈的年龄是儿子的3倍。
今年妈妈多少岁?6.强强今年10岁,2年后爷爷的年龄是强强的6倍。
五年级秋季第8讲《排列组合进阶》课后答案.尖子班
5. 12 个苹果分给 4 个人，每人至少 1 个，则共有___种分法. [插板法] ★
【解= 析】 C131
1= 1×10 × 9 3× 2×1
165
复习巩固 1. 如果在乘电动扶梯的同时小明匀速向上走需 18 秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆着匀速向下
走需 36 秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒? 【解析】设扶梯共 72 级,则小明顺行速度为 4 级/秒,逆行速度为 2 级/秒,由和差问题可得小明的速度为
）÷ （
）
【解析】
工作总量=（ 工作效率
）× （ 工作时间 ）
工作效率=（ 工作总量 ）÷ （ 工作时间 ）
工作时间=（ 工作总量 ）÷ （ 工作效率 ）
2、⑴一项工程 5 天完成，平均每天完成整体的几分之几？
1
⑵一项工程每天完成 ，几天可以完成全工程？
4
【解析】
1
⑴
5
⑵4
3、 （1）一项工程，甲单独做 5 天完成，则他每天完成（ ），3 天完成的工作量是（ ）。
(4+2)÷2=3 级/秒.扶梯不动时,小明需要的时间为 72÷3=24 秒.
2. A 的数字和为 14,B 的数字和为 12,A+B 的数字和最少为______. 【解析】A 和 B 的数字之和为 26,他们和的数字之和一定除以 9 余 8.因此理论最小值为 8.构造如下:77+66=143
3. 如下图,面积为 49 的梯形 ABCD 中,AB:CD=2:5,则三角形 COD 的面积为______.
同类型的节目连续演出，那么共有___种不同的出场顺序. [捆绑法] ★★
【解析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列， 再
第8讲.数的拆分-尖子学生版
数的拆分第八讲把5拆成几个自然数(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？把6拆成几个自然数(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？第2级下·尖子班·学生版第2级下·尖子班·学生版将8个一样的萝卜分成两堆，一共有几种不同的分法？⑴ 把6拆成几个不完全相同的自然数(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？ ⑵ 把6拆成几个完全不相同的自然数(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？第2级下·尖子班·学生版大家一共领到了12个无法区分的馒头，要把这些馒头分成三份，每份至少要分1个，并且三份分到的馒头数量都不同．可以怎样分呢？将无法区分的7个梨放在三个同样的盘子里，每个盘子都必须放．共有多少种不同的放法？第2级下·尖子班·学生版1. 把7拆成几个自然数(0除外)相加的形式，共有多少种不同的拆分方法？2. 把7拆成几个不完全相同的自然数(0除外)相加的形式，共有多少种不同拆分方法？第2级下·尖子班·学生版3. 将15拆成三个不同的自然数（0除外）相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出．4. 将无法区分的5个苹果放在三个同样的筐子里，每个筐都必须放．共有多少种不同的放法？第2级下·尖子班·学生版5. 体育课上，老师要把9个无法区分的羽毛球分成三组，一共有多少种不同的分组方法？6. 把无法区分的12个苹果放在三个一样的盘子里，要求每个盘子至少分到3个苹果，那么有几种分法？第2级下·尖子班·学生版思维跳板——几男几女美术组的同学在教室里画画．其中一女学生到办公室找老师问什么时候放学，老师问女生：“现在教室里男生多还是女生多？”女生答：“现在教室里男女学生人数相等”．女生回到教室后，一名男生又去找老师问什么时候放学，老师问男生：“现在教室里男生多还是女生多？”男生回答：“现在教室里男生人数是女生人数的一半”．想一想，今天来了多少人？几男几女？。
小学五年级语文讲义43第8讲尖子班教师版
1． 准确把握人物形象，分析文章中描写人物的表现手法；2． 通过细节描写把握人物特点。
[成语万花筒]在下列括号内填入恰当的人名，使每个成语完整无误。
试一试，你准行。
（ ）失马 （ ）三迁 （ ）移山 （ ）买履 （ ）逐日（ ）好龙 （ ）填海 （ ）忧天 （ ）才尽 梦见（ ）【参考答案】塞翁失马 孟母三迁 愚公移山 郑人买履 夸父逐日叶公好龙 精卫填海 杞人忧天 江郎才尽 梦见周公（一）剥豆一天，我与儿子相对坐着剥豌豆，当翠绿的豆快将白瓷盆的底儿铺满时，儿子忽地离位新拿一个瓷碗放在自己面前，将瓷盆朝我面前推推。
看他碗里粒粒可数的豆，我问：“想比赛？”第8讲人物形象巧分析“对。
”儿子眼动手剥，利索地回答。
“可这不公平，我盆里已不少了，你才刚开始。
”我说着顺手抓一把豆想放在他碗里。
“不，”他按住我的手：“就这样，我才能试出自己的速度。
”一些喜悦悄悄在我心里散开。
一时，原本很随意的家务劳动有了节奏，只见手起豆落，母子皆敛声息语。
“让儿子赢，使他以后对自己多一些自信。
”如是想，手不知不觉就慢了下来，俯拾豆的机会稍停一下。
“在外面竞争是靠实力。
谁会让你？让他知道，失败成功皆是常事。
”剥豆的速度分明快了。
小儿手不停，眼却时时在两个容器中睃(suō)。
见他如此投入，我心生怜爱：学校的考试名次，够他累的了……剥豆的动作不觉中又缓了下来。
“不要给孩子虚假的胜利。
”节奏自然又紧了许多。
一大袋豌豆很快剥光。
一盆一碗、一大一小不同的容器难以比较，凭常识，我知道儿子肯定输了，正想淡化结果，他却极认真地新拿来了碗，先将他的豆倒进去，正好满一碗，然后又用同样的碗来量我的豆，也是一碗，只是凸出了，像隆起的土丘。
“你赢了。
”他朝我笑笑，很轻松，全没有剥豆时的认真和执著。
“是平局。
我本来有底子。
”我纠正他。
“我少，我就是输。
”没有赌气，没有沮丧，儿子认真和我争。
脸上仍是那如山泉般清澈的笑容。
细想起来，自己瞻前顾后，小心翼翼，实在是多余了。
第8讲.精英班.教师版
1. 学习辨别词语的含义，锻炼说话与发音的能力。
2. 学习仔细观察人物特点，能够在写作时突出人物外貌和性格特征，学习用恰当的语言和修辞手法描写人物外貌。
学习目标绕口令，读一读，再用“功”“工”来填空。
小时有（）夫，可不肯练（）夫，大时没（）夫，工作无效果。
我们正年少，要下（）夫，练（）夫，练成一身好（）夫，长大工作有成果！绕口令，读一读，这次分辨“搭”和“塔”。
白石（）白（），白石白又滑，搬来白石（）白（）。
白石（）石（），白（）白石（）。
（）好白石（），白（）白又滑。
第8讲写写我身边的人轻松热身这个环节让学生说绕口令，目的是让学生学习辨别相近字和词语，锻炼学生流利运用普通话的能力。
教师要帮助学生区分“功夫”和“工夫”以及“搭”和“塔”的意思和字形。
附：功夫指武术技能、本领、造诣、素养等技术层面，工夫指的是时间。
又附：白石搭白塔，白石白又滑。
搬来白石搭白塔。
白石搭石塔，白塔白石搭。
搭好白石塔，白塔白又滑。
小朋友，我们身边有很多熟悉的人，你仔细观察过他们都长得什么样子吗？下面我们来看看几个同龄人的小短文，看看他们眼中的爸爸、妈妈和朋友吧，相信你也能写出好的文章来！我们先来看兰兰笔下的爸爸是什么样子吧。
我的爸爸很高大，方方的脸庞，大大的眼睛，鼻子又高又直，别人都说他很英俊。
我也那么觉得，不过我最喜欢他的眉毛，因为爸爸的眉毛不但又黑又密，而且还会动呢！爸爸想问题的时候总是把两条眉毛向一块儿挤，因为经常这样，中间就有了两条竖着的皱纹。
我不想爸爸长皱纹，就伸出小手把爸爸的眉毛分开，每当这时候，爸爸就会笑，笑起来的时候，眉梢就会向下弯，我觉得这时候的爸爸最好看。
想一想 兰兰爸爸的眉毛是什么样子的？想问题的时候什么样？笑的说一说 时候什么样？小朋友，你能写写自己的爸爸长什么样子吗？爸爸的眉毛本环节的目的是让学生学会观察人物，观察人物的时候要注意捕捉人物的特征。
人物的外貌描写包括容貌、身材、服饰、姿态和神情等，教师要帮助学生打开思路，不要被例文束缚住思考。
高考教案高三数学暑期第8讲.圆锥曲线的概念与基本量.尖子班
本讲分三小节，分别为椭圆、双曲线、抛物线，建议用时3—4课时．本讲的教学重点在于掌握圆锥曲线的代数方程特点、几何图形特点，以及准确理解基本量的代数表示与对应的几何线段．对于椭圆和抛物线还应在此基础上能够解决一些较为复杂的组合图形问题．第一小节为椭圆，共3道例题．其中 例1主要讲解椭圆的方程； 例2主要讲解椭圆的性质；例3主要讲解椭圆的基本量（其中包括解一些与椭圆有关的几何图形问题）． 第二小节为双曲线，共3道例题．其中 例4主要讲解双曲线的方程； 例5主要讲解双曲线的性质； 例6主要讲解双曲线的基本量． 第三小节为抛物线，共2道例题．其中 例7主要讲解抛物线的定义、方程与性质； 例8主要讲解与抛物线有关的简单几何图形．知识结构图第8讲 圆锥曲线的概念与基本量曲线C椭 圆双 曲 线抛物线定义到两个定点12,F F 的距离和为定值2a （大于两个定点之间的距离）的点的轨迹． 焦距1220F F c ==>到两个定点12,F F 的距离差的绝对值为定值2a （小于两定点间的距离）的点的轨迹． 焦距1220F F c ==>到一个定点F 的距离等于到一条定直线l（F l ∉）的距离的点的轨迹 标准方程（最常见形式）()222222210x y a b a b a b c +=>>=+ ()2222222100x y a b a b c a b -=>>=+， ()220y px p =>曲线OyxF 2F 1xyO F 2F 1lF yO x范围 ,a x a b y b --≤≤≤≤x a x a -≤或≥ 0x ≥ 对称性 x 轴，y 轴；原点x 轴，y 轴；原点x 轴顶点与轴长 顶点四个长轴长2a ；短轴长2b 顶点两个实轴长2a ；虚轴长2b 顶点一个()00， 无轴长 焦点 ()()1200F c F c -，，，()()1200F c F c -，，，02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 准线 渐近线准线不要求无渐近线准线不要求渐近线by x a =±准线2p x =-，无渐近线 离心率e ()01ce a=∈，e 椭圆越扁1c e a=>e 双曲线开口越大1e =真题再现知识梳理⑴（2009北京理12）椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．⑵（2010北京理13）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ．⑶（2012年北京理12）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF △的面积为 ．【解析】⑴ 2，120︒． ⑵ (40)±，30x y ±=． ⑶31、已知椭圆的长轴长是8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是（ ） A ．221169x y += B ．221167x y +=或221716x y +=C ．2211625x y +=D ．2211625x y +=或2212516x y +=2、椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍3、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A 3B 2C 21D 2 4、若椭圆221x y m n+=（0,0m n >>）与曲线22x y m n +=-无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．3,1⎫⎪⎪⎝⎭B ．30,⎛ ⎝⎭C ．2,1⎫⎪⎪⎝⎭D ．20,⎛ ⎝⎭5、过椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，小题热身且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．19,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭6、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A 2 B 15± C 31+ D 51+ 7、 如图，1F ，2F 分别是双曲线2222:x y C a b-()10a b =>，的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P Q ，两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若212MF F F =，则C 的离心率是（ ） A 23 B 6C 2D 3 8、若椭圆221x y m n+=与双曲线221x y p q -=（m ，n ，p ，q 均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12PF PF ⋅等于（ ）A ．22p m -B ．p m -C ．m p -D ．22m p -9、直线l 过抛物线22y px =（0p >）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．28y x = C ．26y x = D ．24y x =10、已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 恰好是椭圆22221x y a b+=的右焦点，且两条曲线的公共点连线过F ，则椭圆的离心率是（ ）A 21B ．22C 51-D 21 2 3 4 5 6 7 8 910 BACDCDBC B A考点：椭圆的方程8.1椭圆经典精讲【备注】本考点为椭圆的代数特征，即对椭圆方程的代数形式特点的认识．【例1】 ⑴已知方程E ：221mx ny +=① 若E 表示椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ；② 若E 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ． ⑵若椭圆1C ：2222111x y a b +=（110a b >>）和椭圆2C ：2222221x y a b +=（220a b >>）的焦点相同且12a a >．给出如下四个结论： ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22221212a a b b -=-； ④ 1212a a b b -=-．其中，所有正确结论的序号为 ． ⑶椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围为22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中22c a b -，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是 ．【解析】 ⑴ ① ,0m n >且m n ≠；② 0m n >>． ⑵ ①③． ⑶ 12,2⎡⎢⎣⎦考点：椭圆的性质【备注】本考点为椭圆的几何特征，即对椭圆的曲线形状特点的认识． 性质1 椭圆上的点到两个焦点的距离的和为2a ．性质2 椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[],a c a c -+．【例2】 ⑴椭圆221184x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上．若142PF =则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．⑵已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若2212F A F B +=，则AB = ． ⑶P 为椭圆2212516x y +=上一点，,M N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的点，则PM PN +的取值范围是 ． ⑷椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(),0F c ，点2,0a A c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在x 轴上．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．【解析】 ⑴ 222π3．⑵ 8．⑶ []7,13．⑷ 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【拓1】 已知椭圆22:12516x y C +=的左右焦点分别为12F F ，，点()1,3A ，点P 是椭圆上一个动点，则2AP F P +的最大值为_________，最小值为________． 【解析】 155，；考点：椭圆的基本量【备注】本考点为椭圆方程中的a 、b 、c 在几何图形中的具体表现（即对应线段），在知识层面上与前两个考点有所重叠，但综合性较强，以训练学生利用代数方程或不等式表达几何条件为重点．【例3】⑴在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ．⑵已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2B F F D =，则C 的离心率为 ．⑶如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=°，则该椭圆的离心率是 ．y xOFB A⑷设12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则E 的离心率为 ．【解析】 ⑴ 2．⑵ 3．⑶ 15-+⑷ 34．考点：双曲线的方程【备注】本考点为双曲线的代数特征，即对双曲线方程的代数形式特点的认识．【例4】 ⑴已知方程E ：221mx ny +=① 若E 表示双曲线，则m 、n 需要满足的条件是 ；② 若E 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ． ⑵若双曲线1C ：2222111x y a b -=（11,0a b >）和双曲线2C ：2222221x y a b -=（22,0a b >）的焦点相同且12a a >．给出如下四个结论： ① 双曲线1C 和双曲线2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22221122a b a b -=-； ④ 22221122a b a b +=+．其中，所有正确结论的序号为 ．⑶点()00,A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ．【解析】 ⑴ ① 0mn <；⑵ 0m <且0n >．⑵ ①②④．⑶ 2．考点：双曲线的性质【备注】本考点为双曲线的几何特征，即对双曲线的曲线形状特点的认识． 性质1 双曲线上的点到两个焦点的距离的差为2a -或2a ． 性质2 双曲线上的点到焦点的距离的取值范围为[),c a -+∞． 性质3 双曲线的焦点到渐近线的距离为b ．【例5】 ⑴已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，1122MF AF MF AF =，则2AF = ．⑵双曲线2211620x y -=的左右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足19PF =，则2PF = ． ⑶P 是双曲线221916x y -=右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)4x y -+=8.2双曲线上的点，则PM PN -的最大值是 ．⑷以双曲线2214x y m-=的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则m = ．【解析】 ⑴ 6．⑵ 17．⑶ 10;⑷ 43【拓2】 若椭圆或双曲线上存在一点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“Γ点”，下列曲线中存在“Γ点”的是（ ）A ． 2211615x y += B ． 2212524x y += C ． 22115y x -= D ． 221x y -=【解析】 D ；考点：双曲线的基本量【备注】本考点为双曲线方程中的a 、b 、c 在几何图形中的具体表现（即对应线段）以及渐近线方程by x a =±与渐近线的对应关系，在知识层面上与前两个考点有所重叠，但综合性较强，以训练学生利用代数方程或不等式表达几何条件为重点．【例6】 ⑴设1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ．⑵过双曲线222:1y M x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点，且AB BC =，则双曲线M 的离心率为_________．【解析】 ⑴ 43y x =±．10【拓3】 如图，从双曲线221925x y -=的左焦点1F 引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长1FT 交双曲线右支于P 点．设M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则1FT = ；MO MT -= ．y xPOMTF 1F 2TMPy OxF 1【解析】 5；2．【拓4】 如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ．若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ．则：⑴ 双曲线的离心率e =______；⑵ 菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =_____． 【解析】 ⑴51e +=；⑵51+；考点：抛物线的定义、方程与性质【例7】 ⑴已知抛物线C ：24y x =，若存在定点A 与定直线l ，使得抛物线C 上任一点P ，都有点P到A 的距离与点P 到直线l 的距离相等，则定点A 到定直线l 的距离为 ． ⑵若点P 到()0,2F 的距离比它到直线40y +=的距离小2，则P 的轨迹方程为 ． ⑶已知P 为抛物线212y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是1762⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则PA PM +的最小值是 ． ⑷已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．【解析】 ⑴ 18．⑵ 28x y =．⑶ 192．⑷ 2．8.3抛物线xyA BCDA 1A 2B 1B 2F 1F 2【拓5】 设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【解析】 B考点：解与抛物线相关的几何图形 【例8】 ⑴已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且2A K A F =，则AFK △的面积为．⑵抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其面积为 ．【解析】 ⑴ 8．⑵ 43【拓6】 已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =（ ）A ．13B ．23C ．23D ．23【解析】 D ．一、选择题1、 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（ ）A 51+B 51-C 51+D 51-【解析】 B课后习题yxy=k (x +2)(k >0)l :x=-2C :y 2=8xNM ABO P (-2，0)F (2，0)91第8讲·教师版2、已知椭圆2215x ym+=的离心率10e =m 的值为（ ） A ．3 B 51515 C 5 D ．253或3 【解析】 D【点评】 椭圆有焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情形，注意不要漏解．3、方程221sin 2cos2cos2sin 2x y -=+-所表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线【解析】 B ．二、填空题 4、已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 3，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．【解析】 221369x y +=．5、已知椭圆C 的离心率3e =，且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重合，则椭圆C 的方程为 ．【解析】 22182x y +=．6、双曲线221259x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线与双曲线左支交于A 、B 两点，若弦AB 的长为4，则2ABF △的周长为_________． 【解析】 28 7、已知点P 是抛物线24y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．【解析】 5 8、设集合()()2222,|1,1x y S x y k k k *⎧⎫⎪⎪=+=∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N ，(){},|5Q x y x y =+≤，则满足“S Q ⊆”的常数k 的个数是 ．【解析】 3．92第8讲·教师版9、若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的两个焦点为12F F ，，P 为双曲线上一点，且123PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________． 【解析】 (12]，；10、已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以2PF 为底边的等腰三角形．若210PF =，椭圆的离心率的取值范围是1223⎛⎫⎪⎝⎭，，则双曲线的离心率的取值范围为 ．PF 2F 1O yx【解析】三、解答题11、 （2010年江西）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>），抛物线2C ：21y x b b=-+．⑴ 若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；⑵ 设()0A b ，，5334Q b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若AMN △的垂心为304B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且QMN △的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程．QA B y x O【解析】 ⑴ 2e ．93第8讲·教师版⑵ 椭圆1C 的方程为2211643x y +=，抛物线2C 的方程为：2122y x =-+．12、 （2012年昌平高三期末文）已知椭圆G ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为23e =，椭圆G 上的点N 到两焦点的距离之和为12，点A 、B 分别是椭圆G 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA PF ⊥． ⑴ 求椭圆G 的方程； ⑵ 求点P 的坐标；⑶ 设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解析】 ⑴ 2213620x y +=；⑵ P 353,2⎛ ⎝⎭．⑶ 15 【解析】。
部编版一年级数学上册第8讲.神奇的数谜.基础—提高—尖子班.教师版
6
73
37
4
4
6
【例题分析】由于 a2，a3 的和是 3，这两个数字必然一个是 1 另一个是 2，又因为 a4，b4 的和是 4， 则 a4 不能为 1，只能为 3，则 b4 为 1； 由于 b2，b3 的和是 7，这两个数字必然一个是 3 另一个是 4，已知 b4 为 1，则 b1 为 2； 那么 a1 为 4； 由于 a1 为 4，则 c1 为 3，c2 为 4，则 d1 为 1，d2 为 2；则 d3 为 3，d4 为 4；则 c3 为 1， c4 为 2； 到此为止，其它都容易推出，答案如下图.
3 9
8 5
2. 填入 1～4 的数字，使每行、每列、每个区域内的四个数字不能重复．
2 12
24 2
【例题分析】此题可以由如下突破口出发： a1 和 a3 分别为 3 和 4，由于 d3 为 4，则 a1 为 4，a3 为 3；则 b1 为 3； 到此为止，其它都容易推出，答案如下图.
第 1 级下·基础-提高-尖子班·教师版
1
3142
1
3
12 34
1
43 21
2
24 1 3
【答案】
8. 填入 1～4 的数字，使每行、每列的四个数字不能重复，左上角的数字表示粗框内所填数字的总和， 应该怎么填呢？
6
2
7
7
5
1
5
4
3
61 22 73 4
2 73 54 11
3
4
1
5
2
44 3 1 2 3
【答案 】
9. 填入 1～4 的数字，使每行、每列的四个数字不能重复，左上角的数字表示粗框内所填数字的总和， 应该怎么填呢？
尖子生班会
• There is but one secret to success---never give up! 学 • 成功只有一个秘诀---永不放弃！ • Things do not change ;we change. 习 • 环境不改变，不如我们改变自己。 箴 言 • Not matter of the today will drag tomorrow. • 不要把今天的事拖到明天 。
爱拼才会赢
让我们变得更强大！
在这个世界上，如果你很强， 就会遭到嫉妒，如果你非常强， 你就会被人仰慕！
《蜗牛》
我要一步一步往上爬 在最高点乘着叶片往前飞 让风吹干流过的泪和汗
总有一天我会拥有属于自己的天空
用心做事 学会学习
优秀生交流体会 2011.3
无论酷暑还是严寒
始终有种精神震撼着我们
17岁的矿工,他一 次背100多斤的煤 走1000多米,一次 一块钱
成功需要积累（量变引起质变） 馒头理论
• • • • 吃了第一个馒头，没饱； 吃了第二个馒头，还没有饱； 吃了第三个馒头，饱了。 由此是否可以下这样的一个结论，只要吃第三个馒头就可以了 呢? • 其实，没有第一、第二两个馒头的基础，哪有第三个馒头的 效果？ 基础与发展息息相关。就像盖楼房一样，只打三层楼 房的地基，是不能盖出四层楼的，要想盖四层，必须打下 四层的地基。 学习也是如此，基础扎实，终身受益；基础不牢，终 生先天性不足。 积累是一个逐渐的过程。
只要端正态度，即使没有方法也是你 最好的方法
（二）制定计划
凡事预则立不预则废
成功永远属于有准备 的人，没有详细的计划， 就不会取得成功。
（三）采取行动
因为我奋斗，所以我快乐。 奋斗改变命运，梦想让我们与 众不同。
高三暑期第8讲.圆锥曲线的概念与基本量.尖子班
D． x2 y2 1 或 x2 y2 1
16 25
25 16
2、
椭圆 x2 12
y2 3
1 的左、右焦点分别为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在
y
轴
上，那么 PF1 是 PF2 的（ ）
A． 7 倍
B． 5 倍
C． 4 倍
D． 3 倍
3、 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A 、 B 两点，若 △ABF2 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A． 3 2
B． 2 2
C． 2 1
D． 2
4、 若椭圆 x2 y2 1（ m 0 , n 0 ）与曲线 x2 y2 m n 无交点，则椭圆的离心率 e 的取 mn
值范围是（ ）
A．
3 2
,
1
B． 0 ,
3 2
C．
2 2
,
1
D． 0 ,
2 2
5、
过椭圆 C
：
x2 a2
A． 2
B． 1 5 2
C． 3 1 2
D． 5 1 2
7、
如图，
F1
，
F2
分别是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1a ，b 0 的左、右焦点， B 是虚轴的端点，直
线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P ，Q 两点，线段 PQ 的垂直
平分线与 x 轴交于点 M ．若 MF2 F1F2 ，则 C 的离心率是
y2
2 px
（
p
0 ）的焦点 F
恰好是椭圆
x2 a2
y2 b2
北师版数学八年级下册尖子班讲义
简于形·精于心MATHEMATICS第 1讲不等式的性质及解集 (2)第 2讲不等式组的求解 (11)第 3讲不等式的应用(一) (19)第 4讲不等式的应用(二) (27)第 5讲等腰三角形 (33)第 6讲直角三角形 (39)第 7讲角分线 (47)第 8讲中垂线 (53)第 9讲平移与旋转 (59)第 10讲因式分解(提公因式法＋公式法) (69)第 11讲因式分解(公式法＋分组分解法) (77)第 12讲因式分解(十字相乘法) (84)第 13讲分式的概念及性质 (91)第 14讲分式的约分 (98)第 15讲分式的通分 (106)第 16讲平行四边形的性质与判定 (113)第 17讲平行四边形的判定 (121)第 1讲 不等式的性质及解集模块一 不等式的性质知识要点经典例题例1、(1)一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x ，则x 的取值范围是( ) A ．250<<x B ．25≥x C ．25>x D ．100<<x(2)若a ＞b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b ＜0B ．b a 55-<-C ．a ＋8＜ b －8D ．44b a < (3)下列不等式一定成立的是( ) A ．a a 34>B ．a a 2->-C ．x x -<-43D ．aa 23> (4)如果m ＜n ＜0，那么下列结论错误的是( ) A ．m －9＜n －9B ．－m ＞－nC ．n 1＞m1 D ．nm＞1例2、若b a <，则2ac _____2bc ．若22bc ac <，则a _____b (填不等号)．例3、设a ＞b ．用“＜”或“＞”号填空． (1)a －3____b －3 (2)2a ____2b (3)－4a ____－4b(4)5a ____5b(5)当a ＞0，b ____0时，ab ＞0 (6)当a ＞0，b ____0时，ab ＜0． (7)当a ＜0，b ____0时，ab ＞0(8)当a ＜0，b ____0时，ab ＜0．例4、将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式． (1)5x ＜3＋4x (2)32x<- (3)93>-x(4)6x ＜4x －3模块二 不等式的解集知识要点经典例题例5、判断下列说法是否正确，为什么？ (1)x ＝2是不等式2x ＜6的一个解． (2)x ＞1的正整数解有无数个．(3)因为x ＝1是不等式x －5＜0的一个解，因此该不等式的解为x ＝1．例6、下列说法正确的是( )A ．x ＝3是不等式x ＋1＞2的解集B ．x ＝5是不等式－3x ＜6的一个解C ．不等式－4x ＞8的解集为x ＝－2D ．不等式－6x ＜18的解集为x ＜－3不等式的解与解集1、定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．2、解与解集的联系解集和解那个的范围大．(解是指个体，解集是指群体) 3、不等式解集的表示方法．(1)用不等式表示．如1x ≤-或x <－1等． (2)用数轴表示．(注意实心圈与空心圈的区别) ．例7、解不等式并将下列不等式的解集分别表示在数轴上． (1)－5x ＞10 (2)－3x ＋12≤0(3)3x －4＞8(4)3x ＋5＜4x －1模块三 一元一次不等式知识要点经典例题例8、(1)下列式子中，是一元一次不等式的是____． ①2<1xx +②12>0x+③3>+4x y -④23<8x +(2)若211852m x -->是关于x 的一元一次不等式，则m ＝_________． (3)已知22231kk x +->是关于x 的一元一次不等式，那么k ＝_______，不等式的解集是_______．例9、解下列不等式 (1)413121+>+--y y y(2)1257433-≤--y y y1、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的不等式叫做一元一次不等式．2、一元一次不等式的标准形式：ax b <或(0)ax b a >≠；一般形式：0ax b -<或0(0)ax b a ->≠3、解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去括号，③移项变号，④合并同类项，⑤系数化为1．解一元一次不等式与解一元一次方程相似，只是在化系数为1的时间要注意：除以负数记得变号．例10、求不等式3(x ＋1)≥5(x －2)＋1的非负整数解例11、(1)m 为何正整数时，方程4152435-=-m m x 的解是非正数． (2)k 满足什么条件时，方程3322+-=--x k x x 的解是正数．例12、已知不等式7)1(68)2(5+-<+-x x 的最小整数解为方程42=-ax x 的解，求a 的值．例13、如果不等式1232->-aa x 与2<a x 的解集完全相同，求a ．课堂练习1、在数学表达式25x +≤、a b <、2≠3、x ＝3、x 2＋x 、x ≠－4、x ＋2＞x ＋1是不等式的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、若a ＞b ，则下列不等式中成立的是( ) A 、a －5＞b －5 B 、55a b< C 、a ＋5＞b ＋6 D 、－a ＞－b3、已知0＜a ＜1，则1a、a 2与a 大小关系正确的是( ) A 、1a＞a ＞a 2 B 、a ＜1a ＜a 2 C 、a ＞1a＞a 2D 、无法判断4、如果x ＞0，且a ＞b ，则下列说法错误的是( ) A 、a ＋x ＞b ＋xB 、ax ＞bxC 、a bx x> D 、ax ＜bx5、有理数a ， b 在数轴上如图位置，下列结论正确的是( ) A 、a ＋b ＞a ＞b ＞a －b B 、a ＞b ＋a ＞b ＞a －b C 、a －b ＞a ＞b ＞a ＋bD 、a －b ＞a ＞a ＋b ＞b6、用不等式表示的下列各式中①x 的45与6的和大于0：45x ＋6＞0 ②m 的一半为非负数：2m＞0③x 、y 的平方和不小于5：x 2＋y 2≥5 其中正确的个数( ) A 、1个B 、2个C 、3个D 、07、下列说法①0=x 是210x -<的解②31=x 不是013>-x 的解③210x -+<的解集是2>x ，其中正确的个数是( ) A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个8、如图，用不等式表示图中的解集，正确的是( )1A x >-、1B x <-、 1C x ≤-、 1D x ≥-、9、下列说法正确的是( )①不等式10x ->有无数个解．②不等式230x -≤的解集为23x ≥． ③不等式16x <有无数个解．④不等式20x >的解集是所有非零实数 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10、若关于x 的不等式1x m -＞的解集如图所示，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3b 0 a11、已知关于x 的一元一次不等式2ax －a ＞－3的解集如图所示，则a 的值为______．12、根据不等式性质，在横线上填上不等号，并说明理由： (1)若24ba -<-，则a ____2b (2)若0,<>c b a ，则ac ___bc ，c a --32____c b --32，a -cb (3)若0>>a b ，且1,1<<b a ，则a ___2a ，2a ___b ，a ___ab ，a 1___b1(4)若0<<b a ，则2a ____2b13、(1)已知2－3x 3＋2k＞1，关于的一元一次不等式，则k ＝______．(2)已知23(m ＋4)x |m |－3＋6＞0是关于x 的一元一次不等式，则m ＝______．14、根据不等式性质，把下列不等式化为a x >或a x <的形式(a 为常数)，并将下列不等式的解集分别表示在数轴上． (1)3－x ＜2x ＋6(2)3223+<+-x x(3)22-x ≥37x-(4)213x -－4＞－42x + (5))6(2121x x -≤ (6)0.4150.52x x ---≤0.030.020.03x-课后作业1．将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式． (1)x －1＞2 (2)－x ＜65(3)－x －2＜3(4)6x ＜5x －1 (5)21x ＞5 (6)－4x ＞3x －12、已知x ＞y ，下列不等式一定成立吗？ (1)x －6＜y －6 (2)3x ＜3y(3)－2x ＜－2y3、设a ＜b ．用“＜”或“＞”号填空． (1)a －3____b －3(2)2a ____2b(3)－4a ____－4b (4)5a ____5b ．(5)当a ＞0，b ____0时，ab ＞0 (6)当a ＞0，b ____0时，ab ＜0． (7)当a ＜0，b ____0时，ab ＞0 (8)当a ＜0，b ____0时，ab ＜0．4、下列不等式一定成立的是( ) A ．a a 34>B ．a a 2->-C ．x x -<-43D ．a a 23> 5、若a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．2a －2b ＜0B ．b a 55-<-C ．a ＋8＜ b －8D ．—44b a < 6、若a b >，则2ac _____2bc ．若22ac bc >，则a _____b (填不等号)．7、如果a ＋b ＜0，且b ＞0，那么a 、b 、－a 、－b 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜－a ＜－b B ．－b ＜a ＜－a ＜b C ．a ＜－b ＜－a ＜b D ．a ＜－b ＜b ＜－a8、下列说法不正确的是( ) A 、4是不等式x ＋3＞5的解 B 、3是不等式x ＋2＞5的解 C 、所有小于1的数都是x ＋1＜2的解 D 、不等式x ＋1＞2有无数个9、下列不等式，是一元一次不等式的是( ) A ．2(1)42y y y -+>+ B ．2210x x --< C ．111236+>D ．2x y x +<+10、已知2k －3x 3-2k＞1是关于x 的一元一次不等式，那么k ＝_____，不等式的解集为_____．11、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来: (1)3(1)4(2)3x x +<-- (2)215132x x -+-≤1 (3)23231-->x x (4)12534x x -+-＞－212、如果关于x 的不等式－k －x ＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k 应取怎样的值？跳高冠军科学家做过一个有趣的实验：他们把跳蚤放在桌上，一拍桌子，跳蚤迅速跳起，跳起高度均在其身高的100倍以上，堪称世界上跳的最高的动物！然后在跳蚤头上罩一个玻璃罩，再让它跳；这一次跳蚤碰到了玻璃罩。
如何成为尖子生主题班会课件16张
• 7．阅读自学习惯 • 就学习的过程而言，教师只是引路人，学 生是学习的真正主体，学习中的大量问题， 主要靠自己去解决。学习层次越高，自学 的意义越重要，
• 8．观察的习惯 • 对客观事物的观察，是获取知识最基本的 途径，也是认识客观事物的基本环节，因 此，观察被称为学习的“门户”和打开智 慧的“天窗”。每一位同学都应当学会观 察，逐步养成观察意识，学会恰当的观察 方法，养成良好的观察习惯，培养敏锐的 观察能力。
• 6．积极应考的习惯 • 决定考试的因素有：①学习因素，即知识能力的 水平；②心理因素，即情绪、意志等状况；③是 方法因素 。 • 应该如何应考呢？ ①考前：要有一种积极的态度， 不要给自己再施加压力； ②其次，休息好，减轻 学习负担，保证充分的睡眠；③再次，在考试过 程中，注意答卷顺序，按先易后难的答卷法，审 题要认真，想不起来，先放一放，做好后要仔细 检查, 更正错误。
• 9．切磋琢磨的习惯 • 《学记》上讲“独学而无友，则孤陋而寡 闻。”同学之间的学习交流和思想交流是 十分重要的，遇到问题要互帮互学，展开 讨论。每一个人都必须努力吸取别人的优 点，弥补自己的不足。
• 10．总结归纳的习惯 • 每章每节的知识是分散的、孤立的，要想 形成知识体系，课后必须有小结。对所学 知识进行概括，抓住应掌握的重点和关键。 对比理解易混淆的概念。每学习一个专题， 要把分散在各章中的知识点连成线、辅以 面、结成网，使学到的知识系统化、规律 化、结构化，这样运用起来才能联想畅通， 思维活跃。
如何成为尖子生
十大好习惯
• 1、说了就要做; • 2、耐心听别人讲话; • 3、按规定行动; • 4、时刻记住自己的责任; • 5、节约每一分钱;
• 6、天天锻炼身体; • 7、用过的东西放回原处; • 8、及时表达谢意或歉意; • 9、做事有计划; • 10、干干净净迎接每一天。
第8讲 因式分解二--尖子班
第8讲 因式分解（二）知识点1 十字相乘法对于像2ax bx c ++这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数a 分解成两个因数12a a ，的积，把常数项c 分解成两个因数12c c ，的积，并使1221a c a c +正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））．【典例】例1（2020春•下城区期末）已知x 2+kx +12＝（x +a ）（x +b ），x 2+kx +15＝（x +c ）（x +d ），其中a ，b ，c ，d 均为整数．则k ＝________．【方法总结】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．例2 （2020秋•松江区期末）因式分解：（x 2+4x ）2﹣2（x 2+4x ）﹣15．【方法总结】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．解决本题亦可利用换元法．例3 （2020春•绍兴期中）【阅读理解】如何将x 2+（p +q ）x +pq 型式子分解因式呢？我们知道（x +p ）（x +q ）＝x 2+（p +q ）x +pq ，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得；x 2+（p +q ）x +pq ＝（x +p ）（x +q ）．例如：∵（x +1）（x +2）＝x 2+3x +2，∴x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+12．（2）﹣2x2﹣2x+12．【方法总结】本题考查提公因式法、十字相乘法分解因式，理解和掌握十字相乘法是正确进行因式分解的关键．【随堂练习】1.（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．2．（2020秋•海淀区校级期中）若二次三项式x2+ax﹣12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是________．3．（2020春•宁远县期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab ＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）运用结论：（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x ﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14．知识点2 分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【典例】例1 （2020春•郴州期末）阅读某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，并解决问题：解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步的变形运用了________填序号）；A．提公因式法B．平方差公式C．两数和的平方公式D．两数差的平方公式（2）该同学在第三步用所设的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？________（填“能”或“不能”）．如果能，直接写出最后结果________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分行解．【方法总结】本题考查了分解因式，熟练运用完全平方公式是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•汝阳县期中）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）．乙：a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）m3﹣2m2﹣4m+8．（2）x2﹣2xy+y2﹣9．知识点3 因式分解的综合应用【典例】例1（2020春•九江期末）解答下列问题（1）一正方形的面积是a2+6ab+9b2（a＞0，b＞0），则表示该正方形的边长的代数式是________．（2）求证：当n为正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2能被8整除．【方法总结】此题主要考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．例2（2020春•舞钢市期末）如图，把一个长方形纸板剪切成图示的9块，其中有2块边长是a的大正方形，2块是b的小正方形，还有5块长、宽分别是a和b的长方形，且a＞b．（1）通过观察图形，把多项式2a2+5ab+2b2分解因式．（2）若4个正方形的面积和是58，每块长是a宽是b的小长方形的面积是10，求下面代数式的值．①a+b；②a2b+ab2．【方法总结】本题考查了因式分解，能通过两种方法表示纸板面积是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•靖远县期末）观察下面的因式分解过程：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）利用这种方法解决下列问题：（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．2．（2020春•永年区期末）请利用因式分解说明993﹣99能被100整除．综合运用1．（2020春•永定区校级期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a﹣b的值是_________．2．（2020春•相城区期中）已知x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），求n m的值．3．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）4．（2020春•富平县期末）先阅读下列材料，再解答下列问题分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1将：将a+b看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2再将M换原，得原式＝（a+b﹣1）2上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：（1）（3a+2b）2﹣（2a+3b）2．（2）（n2+3n+2）（n2+3n）+1．5．（2020秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12∵a2+a＝3∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a﹣4）＝9根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．。
第8讲.提高班.学生版
当前形势本讲内容在近三年北京中考中考查5分左右中 考 要求内容A 要求B 要求C 要求方程 方程是刻画数量关系 的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等方法估计方程的解 一元一次方程了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题 一元一次方程的解法 理解一元一次方程解 法中的各个步骤 熟练掌握一元一次方程的解法；会解含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程会运用一元一次方程解决简单的实际问题三年中考命题2008年2009年 2010年 第21题（5分）第18题（5分）第17题（5分）一、如何找等量关系知识点睛 新课标剖析基础知识过关2010年暑期班第五讲2010年秋季第六讲解法大比拼生活实际应用2010年秋季第八讲满分晋级阶梯第八讲 列方程解应用题（1）抓住数学术语找等量关系应用题中的数量关系：一般是和差关系或倍数关系，常用“一共有”、“比……多”、“比……少”、“是……的几倍”等术语表示．在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程（2）根据常见的数量关系找等量关系常见的数量关系：工作效率×工作时间＝工作总量；单价×数量＝总价；速度×时间＝路程……，在解题时，可以根据这些数量关系去找等量关系．（3）根据常用的计算公式找等量关系常用的计算公式有：长方形面积＝长×宽等,可以根据计算公式找等量关系．（4）根据文字关系式找等量关系例如：“学校五年级一班有36人，二班有37人；一、二、三班共有108人，那么三班有多少人？”此题用文字表示等量关系是：一班＋二班＋三班＝总数一班＋二班＝总数－三班一班＋三班＝总数－二班二班＋三班＝总数－一班（5）根据图形找等量关系二、如何设元在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有：1．直接设元即问什么设什么2．间接设元即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．三、列方程解应用题的一般步骤：⑴根据题意设未知数．⑵列出一些有关的代数式．⑶找出等量关系，列出方程．⑷解方程．⑸代入检验．⑹写出答案．例题精讲※※※※打折销售问题※※※※【例1】⑴（2010年台湾省）小芬买15份礼物，共花了900元，已知每份礼物内有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支，若每包饼干的售价为x元，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式？(A) 15(2x+20)=900 (B) 15x+20⨯2=900(C) 15(x+20⨯2)=900 (D) 15⨯x⨯2+20=900⑵（2009宁夏中考）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为元．⑶（2009牡丹江中考）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠．⑷如果某商品进价降低5%而售价不变，利润率可由目前的%a+，则a的值a增加到(15)%为．※※※※工程与行程问题※※※※【例2】⑴（2009-2010年161初一第一学期期中考试题30题6分）某项工作，甲单独干需用15小时完成，乙单独干需要12小时完成，若甲先单独干1小时，乙又单独干4小时，剩下的工作两人合作，再用几小时可以完成全部任务？⑵（2009-2010崇文区初一期末考试第30题5分）一个邮递员骑自行车要在规定时间内把特快专递送到某单位. 他如果每小时行15千米，可以早到10分钟，如果每小时行12千米，就要迟到10分钟，问规定的时间是多少小时？他去的单位有多远？⑶（2009西城期末考试第19题）某船顺水航行3小时,逆水航行2小时,已知轮船在静水中的速度为a千米/时,水流速度为b千米/时,轮船共航行千米.⑷（2009-2010西城期末20题2分）一个人先沿水平道路前进a 千米，继而沿b 千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了5小时，已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程()2a b +是 千米．※※※※教育储蓄问题※※※※【例3】 ⑴ 某学生用800元压岁钱存了年利率为%p 的一年期教育储蓄，则到期后可得本息和为_______．⑵ 小颖的爸爸存了一笔一年期的定期储蓄，若年利率为2.79%，利息税的税率为20%，到期后领到利息446.4元，则他存入的本金是（ ） A ．30000元 B ．20000元 C ．25000元 D ．15000※※※※日历方程问题※※※※【例4】 ⑴如图，在日历中用十字形框圈的5个数中，若中间一个数为m ，则a b c d +++等于（ ）A ．4mB ．414m +C ．47m -D ．47m +⑵① 若一竖列的三个数的和为42，这三个数分别是多少？若和为44，能求出这三天是几号吗？为什么？② 若22⨯的矩形块的四个数的和为80，求出这四个数．m d c baxBA 工厂应付工人的月工资（元）招聘人数工人每月工资（元）工种项目③ 如果是33 的矩形块，九个数的和是171，你能说出这九个数吗？你能发现九个数的和与中间的数的关系吗？为什么？※※※※图表题※※※※很多应用题通过图形或表格来表达题意，同时也有很多题目可以通过画图或列表来找出题中的等量关系．【例5】 ⑴（河北中考）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g ．⑵（2009年莆田市初中毕业班质量检查试卷）某工厂计划招聘A 、B 两个工种的工人共120人，A 、B 两个工种的工人月工资分别为800元和1000元．若某工厂每月支付的工人工资为110000元，那么A 、B 两个工种的工人各招聘多少人?设招聘A 工种的工人x 人．根据题设完成下列表格，并列方程求解．※※※※面积问题※※※※【例6】 （2009-2010西城区初一期末考试第30题5分）如图，在长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形， 试根据图中所给数据求出三块阴影部分面积的和．※※※※数字问题※※※※【例7】 ⑴ 一个两位数，十位数字与个位数字的和是8．这个两位数除以十位数字与个位数字的差，所得的商是11，余数是5．求这个两位数．⑵一个六位数2abcde的3倍等于9abcde，求这个六位数．※※※※方案选择与情境设计问题※※※※【例8】某商场计划拨款9千元从厂家购进50台随身听，已知该厂家生产三种不同型号的随身听，出厂价和商场的销售利润如下表：（单位：元/台）⑵在同时购进两种不同型号随身听的进货方案中，为使销售利润最多，选择哪种进货方案？【例9】团体购买公园门票，票价如下：今有甲乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人？实战演练1.在日历上圈出一个在竖列上相邻的3个数，使得它们的和为69．则这3天分别是（）号．A．22、23、24B．16、23、30C．21、23、25D．17、23、292.（2009-2010实验中学初一上学期期中考试25题5分）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元。
8三角形全等之倍长中线尖子班讲义
A BCDEF三角形全等之倍长中线（讲义）一、知识点睛1．辅助线的定义：为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．2．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3．辅助线的作用：①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转为基本图形． 4．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试． 5．“三角形全等”辅助线：见中线要___________，_________之后________________． 6．倍长中线的作法：ABCDDCB AM延长AD 到E ，使DE=AD , 延长MD 到E ，使DE=MD ，连接BE 连接CE二、精讲精练1. 如图，AD 为△ABC 的中线．求证：AB +AC >2AD ．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．BADCABDC延长FE 交BC 的延长线于点G3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ． 求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，GE ⊥EF ． 求证：GF =AG +BF ．A F EB D CAEB DCB GE D CAF DG AEBFCA F EB DC BGEDC AF7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB =90°，连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】见中线要倍长，倍长之后证全等． 【精讲精练】1．证明略（提示：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ） 2．证明略（提示：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ） 3．证明略（提示：延长CD 到点F ，使DF =CD ，连接BF ，证明△BDF ≌△ADC ，△CBE ≌△CBF ）4．证明略（提示：延长AD 到点M ，使DM =AD ，连接BM ，证明△ADC ≌△MDB ）5．证明略（提示：延长EF 到点M ，使EM =EF ，连接BM ，证明△CFE ≌△BME ） 6．证明略（提示：延长GE 交CB 延长线于点M ，证明 △AEG ≌△BEM ）7．证明略（提示：延长EG 交CD 延长线于点M ，证明 △FGE ≌△DGM ，再证明三角形EGC 是等腰直角三角形）AF EBGCD三角形全等之倍长中线每日一题（4.15 4.19）1. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD +BC ，E 是CD 的中点． 求证：AE ⊥BE ．EDCB A2. 已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 边中点，∠BDA =∠BAD ，E 为BD 中点，连接AE ．求证：∠C =∠BAE ．E D CA3. 已知：如图，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，垂足分别为点A ，点D ，连接EC ，F 为EC 中点，连接AF ，DF ，猜测AF ，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由．FED CA4. 已知：如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上任取一点C （不与点A ，B ，D 重合），分别以AC ，BC 为斜边在AB 同侧作等腰Rt △ACE 与等腰Rt △BCF ，∠AEC =∠CFB =90°，连接DE ，DF ，EF ． 求证：△DEF 为等腰直角三角形．ABCDE F5. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的数量关系，并说明理由．EDCBA【参考答案】1. 证明：延长AE 交BC 的延长线于点F .FADEC B∵AD ∥BC∴∠D =∠DCF ，∠DAE =∠F ∵E 是CD 的中点∴DE =CE在△ADE 和△FCE 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠D FCE DAE F DE CE ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴AD =FC ，AE =FE ∵AB =AD +BC ∴AB =CF +BC =BF 在△ABE 和△FBE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB FB BE BE AE FE ∴△ABE ≌△FBE （SSS ） ∴∠ABE =∠FBE =90° 即AE ⊥BE2. 证明：延长AE 到F ，使得EF =AE ，连接DF .AB CDE∵E 为BD 中点 ∴BE =ED在△ABE 和△FDE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠BE DE BEA DEF AE FE ∴△ABE ≌△FDE （SAS ）∴AB =FD ，∠BAF =∠F ，∠B =∠FDE ∵∠BDA =∠BAD ∴BD =AB∵D 为BC 边中点 ∴CD =BD =AB =FD ∵∠BDA =∠BAD∴∠ADF =∠BDA +∠FDE ，∠ADC =∠B +∠BAD 即∠ADF =∠ADC 在△FAD 和△CAD 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠FD CD FDA CDA AD AD ∴△FAD ≌△CAD （SAS ） ∴∠F =∠C ∴∠C =∠BAE3. 解：AF ⊥DF ，AF =DF ，理由如下： 延长DF 交AC 于点P .P AD EFC∵BA ⊥AC ，ED ⊥BD ∴∠BAC =∠EDA=90° ∴DE ∥AC ∴∠DEC =∠ECA ∵F 为EC 中点 ∴EF =FC在△EDF 和△CPF 中DEF PCF EFD CFP EF CF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△EDF ≌△CPF （AAS ） ∴DE =CP ，DF=PF∵△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形 ∴AB =AC ，DE=BD ∴AB -BD=AB -DE=AC -CP 即AD =AP在△DAF 和△PAF 中DF PF AF AF AD AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△DAF ≌△PAF （SSS ）∴∠DFA =∠PFA =90°，∠DAF =∠PAF =45° ∴AF ⊥DF ，AF =DF4. 证明：延长ED 到点G ，使得DG =DE ，连接BG ，FGDCAE FB∵D 为线段AB 的中点 ∴AD =BD在△EDA 和△GDB 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ED GD EDA GDB DA DB ∴△EDA ≌△GDB （SAS ） ∴EA =GB ，∠A =∠GBD∵△ACE 与△BCF 是等腰直角三角形∴AE =CE =BG ，CF =FB ，∠A =∠ECA =∠FCB =∠FBC =45° ∴∠ECF =90°，∠FBG =∠FBD +∠GBD =90° 在△ECF 和△GBF 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠EC BG ECF GBF CF BF ∴△ECF ≌△GBF （SAS ） ∴EF =GF ，∠EFC =∠GFB ∵∠CFB =∠CFG +∠GFB =90° ∴∠EFG =∠EFC +∠CFG =90° 在△EFD 和△GFD 中，=⎧⎪=⎨⎪=⎩EF GF FD FD ED GD ∴△EFD ≌△GFD （SSS ）∴∠EDF =∠GDF =90°，∠EFD =∠GFD =45° ∴ED =DF∴△DEF 为等腰直角三角形 5. 解：AB =AF +CF ，理由如下： 延长AE 交DF 的延长线于点G .CFEBAD∵E 为BC 边的中点 ∴BE =CE ∵AB ∥DC∴∠B =∠BCG ，∠BAG =∠G 在△ABE 和△GCE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠B GCE BAE G BE CE ∴△ABE ≌△GCE （AAS ） ∴AB =GC ∵∠BAE =∠EAF ∴∠G =∠EAF ∴AF =GF ∵GC = GF +FC ∴AB =AF +CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是____________________．2. 已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．FEC A【参考答案】1．3<AB<132．证明略（提示：延长AE 到点M ，使EM =AE ，连接DM ， 证明△DME ≌△CAE ）三角形全等之倍长中线（作业）3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =5，AC =3，则中线AD 的取值范围是________________．B C D A4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，若AD =2.7，BE =AE =5，求CE 的长．ABC D EF5. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF =2AD ．EAFCB6. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．AC DEFG7. 如图，在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．BE AFGC D8. 已知：如图，∠ACB =90°，AC =BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ． 求证：△BCF ≌△CAE ．ABC D EF9. 多项式9x 2+1加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．【参考答案】1．1＜AD ＜42．2.3（提示：延长AF 交BC 于点G ，导角证明AE =EG ）3．证明略（提示：延长AD 到点P ，使得AD =PD ，连接CP ，证明△ABD ≌△PCD ，△EAF ≌△PCA ）4．证明略（提示：延长FE 到点H ，使得FE =EH ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，导角）5．证明略（提示：延长EG 交AD 于点P ，连接CE ，CP ） 6．证明略7．5；-1，-9x 2，-6x ，6x ，814x 4。
小学三年级语文-讲义43-第8讲[1].尖子班.教师版
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小学三年级语文-讲义43-第8讲[1].尖子班.教师版(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第8讲结合实际巧回答——地球是我们共同的家1．地球是我们人类的母亲，保护环境人人有责——树立环保意识。
2．阅读相关主题的文章，读懂文章的立意，学会“结合实际类题目”的答题方法。
试填写由下列动物名组成的成语。
蛇蛙鹿牛犬虎鳖鸟马龙兔鼠猴羊鸡雁【参考答案】打草惊蛇井底之蛙中原逐鹿气壮如牛土鸡瓦犬藏龙卧虎瓮中捉鳖一石二鸟南船北马叶公好龙守株待兔胆小如鼠杀鸡吓猴顺手牵羊呆若木鸡沉鱼落雁能力提高训练(一) 两张冰棍纸一个晴朗的星期天，我到王叔叔家送东西。
汽车还没有来，我就在汽车站候车。
汽车站前的柏．油路被打扫得干干净净，路边“美化街道”的宣传栏在阳光下显得格外耀眼。
一对青年男女挽着胳膊，从车站前经过。
忽然有两张冰棍纸，随着一阵清风在人们的面前盘旋．而过，又飘飘悠悠地落在前面的一棵大树旁。
这两张冰棍纸在干净的马路上显得那么刺眼。
是谁这么缺德？我抬头一看，那对青年男女正咬着冰棍谈笑呢！我想走过去把纸拾起来，可又担心车来了赶不上。
我正犹豫不决的时候，一阵缓慢的脚步声传过来，我抬头一看，一个架着双拐的青年人艰难地走过来。
这个青年左脚着地，右边的裤脚却空荡荡的。
他倚．在一棵大树上，望着车来的方向。
一阵风吹过，又把一张冰棍纸吹到了这位青年的脚边，他看了看，迟疑了一下，然后又把双拐靠在树上，手扶着树艰难地弯下腰，拾起冰棍纸。
当他发现前面还有一张冰棍纸的时候，便又拿起双拐，支撑着身子，一步步走到那张冰棍纸前。
只见他把一根拐杖塞到另一只手里，再一次弯下腰捡起冰棍纸。
又一步步走到大树后，把纸投进了废物箱“海豚”的口中，就好像什么事也没发生，又一步一步地挪到车站，靠在树旁等车。
候车的人看到了这一幕都向他投去敬佩的目光，又把目光转向那对青年人。
那对青年人看着这一情景，露出诧异的目光，最后终于羞愧地低下了头。
小升初尖子班的成绩标准
小升初尖子班的成绩标准介绍小升初尖子班是指为了帮助学生取得更好成绩，顺利升入初中，而设立的一种特殊班级。
尖子班通常会有更高的要求和更严格的选拔标准，通过培养学生的学习能力和解决问题的能力，帮助他们在小学阶段取得卓越成绩。
本文将详细探讨小升初尖子班的成绩标准，包括选拔标准、教学内容和考核方法等。
选拔标准小升初尖子班的选拔标准一般比较严格，目的是选拔出具有较强学习能力和潜力的学生。
以下是一些常见的选拔标准：1.学业成绩：选拔尖子班的学生通常要求成绩在班级前几名，尤其是数学和语文方面的成绩表现突出。
2.考试成绩：通常会进行一次入学考试，考察学生的综合知识和思维能力。
3.推荐信：学校老师或者家长可以提供学生的学习情况和表现的推荐信。
教学内容小升初尖子班的教学内容通常会更加深入和拓展，目的是提高学生的学习能力和解决问题的能力。
以下是一些常见的教学内容：1.知识点的拓展：对学生已学知识点进行深入拓展，扩大知识面。
2.解题技巧和方法：教授学生更高效的解题技巧和方法，帮助他们更好地应对考试。
3.创新思维培养：通过启发学生思考，培养创新思维和解决问题的能力。
4.课外拓展活动：组织学生参加一些学科竞赛和学术活动，提升综合素质。
考核方法小升初尖子班的考核方法一般会更加严格和细致，以保证学生的学习效果和教学质量。
以下是一些常见的考核方法：1.日常作业：老师会布置一定数量的作业，并及时批改和讲解。
2.定期考试：定期进行考试，检测学生对知识的掌握情况。
3.个人报告：学生需要进行一些个人报告，以展示他们对知识的理解和应用能力。
4.小组合作项目：通过小组合作项目的方式，培养学生的团队合作精神和解决问题的能力。
5.模拟考试：模拟真实考试的形式，让学生提前适应考试环境和压力。
学习成效小升初尖子班经过一段时间的学习和培养，学生通常能取得较好的学习成绩和进步。
以下是一些常见的学习成效：1.学业成绩提升：学生的学习成绩通常会明显提高，特别是在尖子班所注重的学科领域。
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当前形势本讲内容在近三年北京中考中考查5分左右中 考 要求内容A 要求B 要求C 要求方程 方程是刻画数量关系 的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等方法估计方程的解 一元一次方程了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题 一元一次方程的解法 理解一元一次方程解 法中的各个步骤 熟练掌握一元一次方程的解法；会解含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程会运用一元一次方程解决简单的实际问题三年中考命题2008年2009年 2010年 第21题（5分）第18题（5分）第17题（5分）一、如何找等量关系知识点睛 新课标剖析基础知识过关2010年暑期班第五讲2010年秋季第六讲解法大比拼生活实际应用2010年秋季第八讲满分晋级阶梯第八讲 列方程解应用题（1）抓住数学术语找等量关系应用题中的数量关系：一般是和差关系或倍数关系，常用“一共有”、“比……多”、“比……少”、“是……的几倍”等术语表示．在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程.（2）根据常见的数量关系找等量关系常见的数量关系：工作效率×工作时间＝工作总量；单价×数量＝总价；速度×时间＝路程……，在解题时，可以根据这些数量关系去找等量关系．（3）根据常用的计算公式找等量关系常用的计算公式有：长方形面积＝长×宽等,可以根据计算公式找等量关系．（4）根据文字关系式找等量关系例如：“学校五年级一班有36人，二班有37人；一、二、三班共有108人，那么三班有多少人？”此题用文字表示等量关系是：一班＋二班＋三班＝总数一班＋二班＝总数－三班一班＋三班＝总数－二班二班＋三班＝总数－一班（5）根据图形找等量关系二、如何设元在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有：1．直接设元即问什么设什么2．间接设元即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．三、列方程解应用题的一般步骤：⑴根据题意设未知数．⑵列出一些有关的代数式．⑶找出等量关系，列出方程．⑷解方程．⑸代入检验．⑹写出答案．例题精讲※※※※打折销售问题※※※※【例1】⑴（2009宁夏中考）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为 元．⑵（2009牡丹江中考）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了 折优惠．⑶ 已知：某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%．当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%．那么，当每件甲种商品的进价为600元，求每件乙种商品的进价为多少元？ 提示：=÷商品利润率（商品出售价-商品成本价）商品成本价※※※※工程与行程问题※※※※【例2】 ⑴（2009-2010年161初一第一学期期中考试题30题6分）某项工作，甲单独干需用15小时完成，乙单独干需要12小时完成，若甲先单独干1小时，乙又单独干4小时，剩下的工作两人合作，再用几小时可以完成全部任务？⑵（2009-2010崇文区初一期末考试第30题5分）一个邮递员骑自行车要在规定时间内把特快专递送到某单位. 他如果每小时行15千米，可以早到10分钟，如果每小时行12千米，就要迟到10分钟，问规定的时间是多少小时？他去的单位有多远？⑶（2009西城期末考试第19题）某船顺水航行3小时,逆水航行2小时,已知轮船在静水中的速度为a 千米/时,水流速度为b 千米/时,轮船共航行 千米.⑷（2009-2010西城期末20题2分）一个人先沿水平道路前进a 千米，继而沿b 千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了5小时，已知此人在水平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米，则此人所走的全程()2a b +是 千米．※※※※教育储蓄问题※※※※【例3】⑴某学生用800元压岁钱存了年利率为%p的一年期教育储蓄，则到期后可得本息和为_______．⑵小颖的爸爸存了一笔一年期的定期储蓄，若年利率为2.79%，利息税的税率为20%，到期后领到利息446.4元，则他存入的本金是（）A．30000元B．20000元C．25000元D．15000※※※※日历方程问题※※※※【例4】星期六星期日星期一星期二星期三星期四星期五1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30①若一竖列的三个数的和为42，这三个数分别是多少？若和为44，能求出这三天是几号吗？为什么？②若22⨯的矩形块的四个数的和为80，求出这四个数．③如果是33⨯的矩形块，九个数的和是171，你能说出这九个数吗？你能发现九个数的和与中间的数的关系吗？为什么？⑵（江苏常州中考）小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是．※※※※图表题※※※※很多应用题通过图形或表格来表达题意，同时也有很多题目可以通过画图或列表来找出题中的等量关系．【例5】⑴如图，足球由若干片黑色的正五和白色的正六边形组成，已知一个足球上有12块黑色的正五边形，列方程求解一个足球有块白色的正六边形．⑵（2009年莆田市初中毕业班质量检查试卷）某工厂计划招聘A、B两个工种的工人共120人，A、B两个工种的工人月工资分别为800元和1000元．若某工厂每月支付的工人工资为110000元，那么A、B两个工种的工人各招聘多少人?设招聘A工种的工人x人．根据题设xB A工厂应付工人的月工资（元）招聘人数工人每月工资（元）工种项目完成下列表格，并列方程求解．※※※※面积问题※※※※【例6】 ⑴（济南市中考题）如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，求这个长方形色块图的面积．⑵（2009-2010西城区初一期末考试第30题5分）如图，在 长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形， 试根据图中所给数据求出三块阴影部分面积的和．※※※※数字问题※※※※【例7】 ⑴ 一个两位数，十位数字与个位数字的和是8．这个两位数除以十位数字与个位数字的差，所得的商是11，余数是5．求这个两位数．⑵ 一个六位数2abcde 的3倍等于9abcde ，求这个六位数．B A F ED C※※※※方案选择与情境设计问题※※※※【例8】某商场计划拨款9千元从厂家购进50台随身听，已知该厂家生产三种不同型号的随身型号甲乙丙出厂价150 210 250销售利润15 20 25⑵在同时购进两种不同型号随身听的进货方案中，为使销售利润最多，选择哪种进货方案？【例9】韩老师带着两名学生到离校33千米远的博物馆参观，韩老师乘一辆摩托车，速度为25千米/时，这辆摩托车后座可带一名学生，带人后速度为20千米/时，学生步行的速度为5千米/时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．实战演练1.⑴如图，在日历中用十字形框圈的5个数中，若中间一个数为m，则a b c d+++等于（）A．4mam dcbB．414m+C．47m-D．47m+⑵如果某商品进价降低5%而售价不变，利润率可由目前的%a+，则a的值a增加到(15)%为．2.（2009-2010实验中学初一上学期期中考试25题5分）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元。
厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①西装和领带都按定价的90％付款；②买一套西装送一条领带。
现某客户要到该服装厂购买x套西装(x≥1)，领带条数是西装套数的4倍多5。
(1)若该客户按方案①购买，需付款________________元：(用含x的代数式表示)若该客户按方案②购买，需付款______________元。
(用含x的代数式表示)(2)若x=10，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?3.（2008年北京市中考题21题5分）京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？4.（2009-2010丰台区初一期末考试第25题6分）某学校在援助边远山区学校活动中，原计划赠书3000册，由于学生的积极响应，实际赠书3780册，其中初中部比原计划多赠了30%，高中部比原计划多赠了20%，问该校初、高中部原计划各赠书多少册？5.有甲、乙两支同样长的蜡烛，甲支蜡烛可使用8小时，乙支蜡烛可使用6小时．两支蜡烛同时开点，问几小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半？6. （2009-2010崇文区初一期末考试第31题6分）某市水果批发部门欲将A 市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：米吗？请你列方程解答；⑵ 如果A 市与某市之间的距离为x 千米，你若是A 市水果批发部门的经理，要想将这批水果运往这个城市销售，你认为选择哪种运输方式比较合算呢？7. （实验中学06年初一单元测试题）“利海”通讯器材市场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不一同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．⑴ 若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完．请你帮助商场计算一下如何购买？⑵ 若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号的手机购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出每种型号手机的购买数量．8. 团体购买公园门票，票价如下：今有甲乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅 游团各有多少人？在“羞辱”中奋起有一位法国小青年，由于出身于富翁家庭，自小生活环境优越，生活奢侈，整天游手好闲，不务正业，人们都认为他是没有出息的人，父亲也摇头说他不可救药。