2021-2022学年人教版八年级第一学期期中考试数学试卷及答案解析

2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm
C ．13cm ，12cm ，20cm
D ．5cm ，5cm ，11cm
3．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）
A ．A
B 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 垂直平分CD
D ．CD 平分∠ACB
4．如图，AB ＝DB ，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC ≌△DBE 的是（ ）
A ．BC ＝BE
B ．A
C ＝DE
C ．∠A ＝∠D
D ．∠ACB ＝∠DEB
5．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12
AB 长为半径画弧，
两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若∠A ＝40°，则∠DBC ＝（ ）
A ．40°
B ．30°
C ．20°
D ．10°
7．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（ ） A ．15或17
B ．16
C ．14
D ．14或16
8．如图，在平面直角坐标系中，AB ＝2OB ，在坐标轴上取一点P ，使得△ABP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
9．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，AB ＝10，AD ＝5，下列结论中正确的有（ ）个． ①△AFC 是等腰三角形 ②△ADF 的面积是
758
③点B 与点E 关于AC 对称
④若直线AD 与直线CE 交于点G ，那么直线FG 垂直平分AC
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
10．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝8√5，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接AE，作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF 交线段AE于点G，则线段BG长为（）
A．16√5B．16√2C．12√5D．12√2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是．12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为．
13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝．
14．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝°．
15．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE＝OE，OF＝3cm，点O到BC的距离为4cm，则△OFC的面积为cm2．
16．下列说法中正确的是（只填番号）
①一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形是四边形；
②方程2x+y＝7在正整数范围内的解有3组；
③关于x的不等式abx＞1的解集为x＜1ab，则a、b中至少有一个是负数；
④直角三角形两锐角平分线相交，所成的钝角的度数是135°
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．
18．（8分）已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的3
4
，试求此三角形的周长．
19．（8分）如图，AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，AC ＝BC ，DC ＝EC ，AE 与BD 交于点F ． （1）求证：AE ＝BD ； （2）求∠AFD 的度数．
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．
（1）画出三角形A1B1C1；
（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为；
（3）在直线l上画出点Q，使得QA+QC的值最小．
21．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若BE⊥AF，求证：BC＝AB﹣AD．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．
（1）依题意补全图1；
（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；
（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．
24．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm
【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7＝15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
3．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）
A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
4．如图，AB ＝DB ，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC ≌△DBE 的是（ ）
A ．BC ＝BE
B ．A
C ＝DE C ．∠A ＝∠
D D ．∠ACB ＝∠DEB
【解答】解：A 、添加BC ＝BE ，可根据SAS 判定△ABC ≌△DBE ，故正确；
B 、添加A
C ＝DE ，SSA 不能判定△ABC ≌△DBE ，故错误；
C 、添加∠A ＝∠
D ，可根据ASA 判定△ABC ≌△DB
E ，故正确；
D 、添加∠ACB ＝∠DEB ，可根据ASA 判定△ABC ≌△DB
E ，故正确．
故选：B ．
5．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝
28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
【解答】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，
∴DF ＝DE ＝4．
又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，
∴28=12×8×4+12
×AC ×4， ∴AC ＝6．
故选：C ．
6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若∠A ＝40°，则∠DBC ＝（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C=1
2（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，
故选：B．
7．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15或17B．16C．14D．14或16
【解答】解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；
当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，AB＝2OB，在坐标轴上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【解答】解：如图，在Rt△AOB中，∵AB＝2OB，
∴∠BAO＝30°，
当P 在x 轴上时，AB ＝AP 时，P 点有两个，BP ＝AP 时，P 点有一个，AB ＝BP 时，P 点有一个
当P 在y 轴上时，AB ＝BP 时，P 点有两个，BP ＝AP 时或AB ＝AP 时，和前面重合， 综上所述：符合条件的P 点有6个，
故选：C ．
9．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，AB ＝10，AD ＝5，下
列结论中正确的有（ ）个．
①△AFC 是等腰三角形
②△ADF 的面积是758
③点B 与点E 关于AC 对称
④若直线AD 与直线CE 交于点G ，那么直线FG 垂直平分AC
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
【解答】解：
如图所示：
①∵四边形ABCD 为矩形
∴DC ∥AB ，
∴∠FCA ＝∠CAB ，
由折叠可知：
∠F AC ＝∠CAB ，
∴∠FCA ＝∠F AC ，
∴F A ＝FC ，
∴△AFC 是等腰三角形．
∴①正确；
②设DF ＝x ，则FC ＝F A ＝10﹣x ，AD ＝5，
∴在Rt △ADF 中，x 2+52＝（10﹣x ）2，解得x =
154， ∴S △ADF =12DF •AD =12×154×5=758．
∴△ADF 的面积为
758．
∴②正确；
③∵AB ＝AE ，CB ＝CE ，
∴AC 是BE 的垂直平分线，
∴点B 与点E 关于AC 对称．
∴③正确；
④如图：延长AD 和CE 交于点G ，连接GF ，
∵FD＝FE，FG＝FG，
∴Rt△GDF≌Rt△GEF（HL），
∴GD＝GE，又AD＝CE，
∴GA＝GC，FD＝FE，
∴FG是AC的垂直平分线，
∴④正确．
故选：D．
10．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝8√5，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接AE，作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF 交线段AE于点G，则线段BG长为（）
A．16√5B．16√2C．12√5D．12√2
【解答】解：如图，设AC交BG于O．
∵∠BCA＝∠FCE＝90°，
∴∠BCF＝∠ACE，
∵CB＝CA，CF＝CE，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE，
∵∠BOC＝∠AOG，
∴∠AGO＝∠BCO＝90°，
∵△ABC，△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，∠BAG+∠EAD＝90°，∴∠ABG＝∠EAD，
∴tan∠ABG＝tan∠EAD=DE
AD
=12，
∴AG
BG =
1
2
，设AG＝x，BG＝2x，
∵AC＝BC＝8√5，∠ACB＝90°，
∴AB=√2BC＝8√10
在Rt△ABG中，则有x2+（2x）2＝（8√10）2，
∴x＝8√2，
∴BG＝16√2，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是（﹣1，2）．【解答】解：点P（1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是：（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为12．【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝100°．
【解答】解：延长BD交AC于E．
∵DA＝DB＝DC，
∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．
又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，
∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．
故答案为：100°．
14．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝45°．
【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，
连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，
∴∠PCD＝45°．
故答案为：45°．
15．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE＝OE，OF＝3cm，点O到BC的距离为4cm，则△OFC的面积为6 cm2．
【解答】解：∵BE ＝OE ，
∴∠EBO ＝∠EOB ，
∵BO 平分∠ABC ，
∴∠EBO ＝∠CBO ，
∴∠EOB ＝∠CBO ，
∴EF ∥BC ，
∵点O 到BC 的距离为4cm ，
∴△COF 中OF 边上的高为4cm ，
又∵OF ＝3cm ，
∴△OFC 的面积为12×3×4＝6cm 2． 故答案为：6．
16．下列说法中正确的是 ②④ （只填番号）
①一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形是四边形；
②方程2x +y ＝7在正整数范围内的解有3组；
③关于x 的不等式abx ＞1的解集为x ＜1ab
，则a 、b 中至少有一个是负数； ④直角三角形两锐角平分线相交，所成的钝角的度数是135°
【解答】解：①一个多边形的内角和小于其外角和，
则这个多边形是三角形，故这个说法错误；
②方程2x +y ＝7，解得：y ＝﹣2x +7，
当x ＝1时，y ＝5；
当x ＝2时，y ＝3；
当x ＝3时，y ＝1，
则方程的正整数解有3组，故这个说法正确；
③关于x 的不等式abx ＞1的解集为x ＜1ab ，
则a 、b 中只能有一个是负数，故这个说法错误；
④如图：
∵AE 、BD 是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB +∠OBA ＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE 与∠EOD 这两个交互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE ＝∠OAB +∠OBA ＝45°，
∴∠EOD ＝180°﹣45°＝135°，
直角三角形两锐角平分线相交，所成的钝角的度数是135°是正确的．
故答案为：②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，△ABC 和△EBD 中，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，BE ＝BD ，连接
AE ，CD ，AE 与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．
（1）求证：AE ＝CD ；
（2）求证：AE ⊥CD ；
（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分∠CBE ；②MB 平分∠AMD ．其中正确的有 ② （请写序号，少选、错选均不得分）．
【解答】（1）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，
∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CBE ，
即∠ABE ＝∠CBD ，
在△ABE 和△CBD 中，
{AB =CB ∠ABE =∠CBD BE =BD
，
∴△ABE ≌△CBD ，
∴AE ＝CD ．
（2）∵△ABE ≌△CBD ，
∴∠BAE ＝∠BCD ，
∵∠NMC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠CNM ，∠ABC ＝180°﹣∠BAE ﹣∠ANB ，
又∠CNM ＝∠ANB ，
∵∠ABC ＝90°，
∴∠NMC ＝90°，
∴AE ⊥CD ．
（3）结论：②
理由：作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ．
∵△ABE ≌△CBD ，
∴AE ＝CD ，S △ABE ＝S △CDB ，
∴12•AE •BK =12
•CD •BJ ， ∴BK ＝BJ ，∵作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ，
∴BM 平分∠AMD ．
不妨设①成立，则△ABM ≌△DBM ，则AB ＝BD ，显然不可能，故①错误．
故答案为②．
18．（8分）已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的34，试求此三角形的周长． 【解答】解：∵等腰三角形一边长为18cm ，且腰长是底边长的34， ①如果腰长为18cm ，则底边为24cm ，
等腰三角形的三边为18、18、24，能构成三角形，
∴C △＝18+18+24＝60cm ；
②如果底长为18cm ，则腰长为13.5cm ，
等腰三角形的三边为18、13.5、13.5，能构成三角形，
∴C △＝13.5+13.5+18＝45cm ．
19．（8分）如图，AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，AC ＝BC ，DC ＝EC ，AE 与BD 交于点F ．
（1）求证：AE ＝BD ；
（2）求∠AFD 的度数．
【解答】解：（1）∵AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，
∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，
∴∠ACE ＝∠BCD ，
在△ACE 和△BCD 中，
{AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD
，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE ＝BD ；
（2）设BC 与AE 交于点N ，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠A +∠ANC ＝90°，
∵△ACE ≌△BCD ，
∴∠A ＝∠B ，
∵∠ANC ＝∠BNF ，
∴∠B +∠BNF ＝∠A +∠ANC ＝90°，
∴∠AFD ＝∠B +∠BNF ＝90°．
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．
（1）画出三角形A1B1C1；
（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（m，2﹣n）；
（3）在直线l上画出点Q，使得QA+QC的值最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（m，2﹣n），故答案为：（m，2﹣n）；
（3）如图所示，点Q即为所求．
21．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若BE⊥AF，求证：BC＝AB﹣AD．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE，
又∵DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝EF；
（2）∵AE＝EF，BE⊥AF，
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF，
∴AB＝BC+CF＝BC+AD，
∴BC＝AB﹣AD．
22．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．
（1）依题意补全图1；
（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；
（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．
【解答】解：（1）如图1所示，
（2）OA +AC ＝OD ，
如图1，过B 作BE ⊥x 轴于E ，
则四边形AOEB 是矩形，
∴BE ＝AO ，∠ABE ＝90°，
∵AB ＝AO ，
∴AB ＝BE ，
∵BD ⊥BC ，
∴∠CBD ＝90°，
∴∠ABC ＝∠DBE ，
在△ABC 与△BDE 中，
{∠BAC =∠BED AB =BE ∠ABC =∠DBE
，
∴△ABC ≌△EBD （ASA ），
∴AC ＝DE ，
∵OE ＝AB ＝OA ，
∴AO +AC ＝OD ；
（3）如图2，由（1）知：△ABC ≌△EBD ，
∴BC＝BD，
∵BD⊥BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BCD＝45°，
∵BH平分∠CBD，
∴∠BHC＝90°，
∵∠BAO＝90°，
过H作HN⊥OA，HM⊥AB，
∴四边形ANMH是矩形，
∴∠NHM＝90°，
∴∠NHC＝∠MHB，
∴△CNH≌△BHM（AAS），
∴HN＝HM，
∴AH平分∠CAB，
∴∠BAH＝45°．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．
【解答】解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，{AB=AD
∠ABE=∠D BE=DN
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，{AE=AN
∠EAM=∠NAM AM=AM
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，{AB=AD
∠ABM=∠D BM=DF
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠F AN＝45°，
在△MAN和△F AN中，{AM=AF
∠MAN=∠FAN AN=AN
，
∴△MAN≌△F AN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN=√AD2+DN2=√62+122=6√5，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴BQ
DQ =
AQ
NQ
=
AB
DN
=
6
12
=
1
2
，
∴AQ
AN =
1
3
，
∴AQ=1
3AN＝2√5；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM=√AB2+BM2=√62+22=2√10，
∵BC ∥AD ，
∴△PBM ∽△PDA ，
∴PM PA =BM DA =26=13， ∴PM =12
AM =√10，
∴AP ＝AM +PM ＝3√10．
24．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．
（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示．
①线段DG 与BE 之间的数量关系是 DG ＝BE ；
②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 DG ⊥BE ；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直
接写出结果）．
【解答】解：（1）①如图②中，
∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，
∴∠BAE ＝∠DAG ，
在△ABE 和△DAG 中，
{AB =AD ∠BAE =∠DAG AE =AG
，
∴△ABE ≌△ADG （SAS ），
∴BE ＝DG ；
②如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．
由①知，△ABE ≌△DAG ，
∴∠ABE ＝∠ADG ，
∵∠ATB +∠ABE ＝90°，
∴∠ATB +∠ADG ＝90°，
∵∠ATB ＝∠DTH ，
∴∠DTH +∠ADG ＝90°，
∴∠DHB ＝90°，
∴BE ⊥DG ，
故答案为：BE ＝DG ，BE ⊥DG ；
（2）数量关系不成立，DG ＝2BE ，位置关系成立．
如图③中，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴AB
AD =
AE
AG
=
1
2
，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，BE
DG =
1 2
，
∴DG＝2BE，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，
∴∠ATB+∠ADG＝90°，
∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．
∵△AHG∽△ATE，
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∴GH ET =AH AT =AG AE =2，
∴GH ＝2x ，AH ＝2y ，
∴4x 2+4y 2＝4，
∴x 2+y 2＝1，
∴BG 2+DE 2＝（2x ）2+（2y +2）2+x 2+（4﹣y ）2＝5x 2+5y 2+20＝25．。