第3章+动量与角动量

4)宏观物体、微观粒子都适用。
(11)
例5: 质量为m0=10g的子弹以v0=200m/s的速度水平射 入一静止的质量为m=50g的长方体木块后, 以水平速
度 v=100m/s 从木块射出。子弹与木块间的平均摩擦
力为500N,地面光滑。求1)在子弹从木块射出的瞬间,
木解块: 1具)子有弹的和速木度块, 2为)木一块系的统长度v0
解: 将人和车看作一个系统, 质心的X坐标不变
人与车都静止时,质心坐标:
xc1

mL ML mM
/
2
x xc1 xc2
人走至另一头时,质心坐标: X
xc2

mX

M(X mM
L/
2)
X
X m L x LX M L
M m
M m (21)
§3.5 质点角动量 角动量守恒定律
(The angular momentum of particle,
the law of conservation of angular momentum)
求: t 秒后球相对桌面移动多少距离？
解: 球移动的距离 即为质心移动的距离
质 心运动 定理 : F mg N mac
y

N
cF
mg
F
x
F

ma c
Hale Waihona Puke mdvc dt
z
两次积分得
xc

1 2
F m
t2
(20)
例11:水平光滑平面上有一小车, 长度为 L, 质量为M 车上站有一人, 质量为 m, 人、车原来都静止;若人从 车的一端走到另一端, 问:人和车各移动了多少距离？
2)只有外力才能改变质心的运动状态, 质点系的内力
不能改变质心的运动状态。
3) 若
F 0
则
ac
0
vc
常矢量
质点系动量守恒定律的另一 种表述: 当一质点系所受的 合外力等于零时,其质心速度 保持不变。
0
(19)
例10:水平桌面上拉动纸, 纸张上有一均匀静止球, 球
的质量m, 纸被拉动时与球的摩擦力为 F,
o
2) 以小船2(含2m)为研究对象
x
Mv (M 2m)v2 m(v u) m(v u) v2 v
3) 以小船3及m为研究对象
Mv m(v u) (M m)v3
v3

v

mu M m
(13)
例7: 水平,光滑直铁轨上有一辆车,长为L, 质量为M ,
N
N
mi xi
mi yi
xc

i 1
m
yc

i 1
m

对连续分布的物质
rdm rc m
N
mizi
zc

i 1
m
xc


xdm m
yc


ydm m
zc


zdm m
质心位矢与坐标系的选取有关。但质心相对于各质 点的相对位置是不会随坐标系的选择而变化的。
注意:质心与重心(物体各部分所受重力的合力作用点) 的区别,尺寸不大的物体,它的质心和重心重合。 (16)
dx
z
xc

xdm dm

3 8
R
rc

3 8
Ri
(17)
二、质心运动定理
(theorem of the motion of center of mass)
质点系的动量
N P mivi
i1 d (mrc )
dt

N i 1
m
d
midri
二、质点系动量守恒定律
由质点系的动量定理


t2

Fdt P2 P1
t1

当合外力F 0时 P 常矢量,即: P1 P2
(10)


其中 P2 pi2 mivi2


P1 pi1 mivi1
i
i
i
i
质点系动量守恒定律: 若系统所受合外力为零,
F

dP

I
t2
F

dt

t1

P2
dP

P1 dt
dt
dt P2


P1

I P2 P1 积分形式 Fdt dP
微分形式
意义: 物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量
(2)
注意: 1)冲量 I的方向: 是动量增量的方向, 并不是合外力
第3章 动量与角动量
(Momentum and angular momentum )
§3.1 冲量 动量定理 (Impulse and theorem of momentum)
一12..动、冲量动量:量I(m质质om点点e系n:tu: mPP)冲mm量1vv(1im pmu2lsve2) ....
例8:任意三角形的每个顶点有一质点 m,求: 质心位置。
y
（x1，y1）
xc

mx1 mx2 3m

x1
3
x2
o
x2 x
yc

my1 3m

y1 3
例9: 求: 质量均匀的一半径为R的半球的质心位置。
y Ry
ox
解: 设半球的密度为, 将半球分割成
许多厚为dx的圆饼, 任取其一
x dV y2dx (R2 x2 )dx dm dV (R2 x2 )dx
质心的定义: 质量分别为:
设 m1质,m点2,…系m共N有,位N矢个分质别点为组:成r1,各, r2质点r的N
则质心的位矢定义为:
m i ri
y mj c
r1
m1
rc
o
r2
m2
x
NN
rc

mi ri
i 1 N
mi

mi ri
i 1
m
i 1
z
(15)
质心位置的三个直角坐标为
送带作用于矿砂的水平冲力为多少?

解: 设Δt 时间内落下Δm[kg]
mv2
以Δm为研究对象
由动量定理:



F t m v2 m v1
F t
mv1
水平方向:
F水平t m(v2 0)
F水 平

m t
v2

2015

300N
方向:沿传送方向
dt
drc dt
mvc
N mi ri
i 1
dt
质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。
由质点系动量定理：F

dP dt
d dt
mvc

mac
质点系所受合外力等于其总质量与质心加速度的
乘积, 这就是质心运动定理。
(18)
说明:
1)质心的运动就像一个质点的运动。
一、质点系
二、把点m质相就1 ,点互称m系2作 为系的用 质统动的 点量若 系内外定.干力力理个:: 质Ff点11 ,,看F作f22为一个f1 整m体1F1,
这组质
F2
m2
f2
分mm别12:: 运FF用12牛顿ff1第2 二定ddddpp律tt12:
二式相 加, 由于 f1 f2
d
F1 F2 dt p1 p2 (6)
对N个粒子系统，外力用 F ，内力（即粒子之间的
相互作用）用 f ，则第 i 及第 j 粒子的运动方程

Fi
fij

dpi dt
i j

Fj
f ji

dp j dt
i j
pi ·
Fi
·i · ·
的方向, Δt 时间内平 均合外力的方向 是冲量的方向
2)直角坐标系中:
I x
tIt12FxIdxti

Iy P2
j
x
Izk P1x

m v2 x
mv1x
分量式:
Iy
t2 t1
Fy
dt

P2 y
P1 y

mv2 y
mv1 y
Iz
t2 t1
(12)
例6: 三只质量均为M的小船鱼贯而行速率均为v,如中
间小船以相对速率u向前后二船同时抛出质量均为m
的物体, 求:二物体落在前后二船上以后三只小船速度
各为多少? 解: 1) 以小船1及m为研究对象,
v
运用动量守恒定律
u
u
Mv m(v u) (M m)v1
v1

v

mu M m
解:
I以 m为F研t究对m象v2运用m动v量1 定理m:v1
Fx t mv 2 x mv 1x
I
mv2
o
y
mv1
600
600
Fyt mv2 y mv1y
mv2
x
Fxt mv 2 cos 60 (mv1 cos 60) 2mv1 cos 60
0
t 0
v人 地dt

M M m
t
0 v人车dt
ML M m

x车 地

L

x人 地

mL M m
(14)
§3.4 质心 质心运动定理 (The center of mass and theorem of the motion of center of mass)
一、质心(the center of mass) 质心的运动代表了质点系运动的总趋向
总动量：P
N
pi
F

i 1 dP
dt
i 1
t2
Fdt
t1
2 dP P2 P1
1
质点系的动量定理表明: 外力可以改变系统的总动量; 内力改变个别质点动量, 内力不可改变系统的总动量
(8)
例4: 矿砂从料斗落到水平传送带上传送出去,设每秒落
下20kg矿砂.传送带速率为15m/s 求匀速传送时, 传
fi j
·
pj
· · fj i j
·
对所有粒子求和
Fj
N N Fi
fij

d dt
N
pi
内力和
N
fij 0
i 1
i1 i j
i 1
i1 i j
(7)
N d N
Fi
i 1

dt
i 1
pi
N
合外力：F Fi

n i 1
mivi
作用在物体上的合外力与它
F
作用I时间F的t乘积称为冲(恒量力)
F

I
t2
F

dt
t1
(变力)
o t1 dt
t2 t
(1)
I Ft 平均冲量
冲量是矢量 单位: [N·s]

t2
F

dt
F t1
t2 t1
二、动量定理 根据牛顿第二定律
Fyt mv2 sin60 (mv1 sin60) 0
F

Fx

2mv1 cos 60 t

20N
墙所受平均冲力: F F 20N 沿 x 轴负方向
(5)
§3.2 质点系的动量定理 (Theorem of momentum for system of particles)
解:
(1)
p

mvB


mv

A

mvj mvj 2mvj
y
vA
B o
Ax

vB
(2)
F

p2

p1

p
F

p
t2

t1
2mv
t 2mv 2
t
R / v R

F 方向沿 j

F

2mv 2
j
R
(4)
例3: 一个弹性小球: 质量m=0.2kg以速度 v1=5m/s 与墙相碰撞, 碰后回跳速度 v2=5m/s 如图,若球与墙 接触时间为0.05s 求: 该段时间内墙所受平均冲力
水平动量守恒:
m0v0 m0v mu
u 20[m/s]
o
u
v
s2s1
x
2)设子弹与木块作用时间为Δt , 由动量定理:
Fr t
s1

1 2
(v0
mu
v)t
0

t 2103[s]
0.3[m]
s2

1 2
(0

u)t

0.02[m]
l s1 s2 0.28[m]
Fz
dt

P2z
P1z

m v2 z
mv1z
3)定理仅对惯性系成立,式中各量是对同一物体、
同一坐标系而言的。
mv2
I
例1: 乒乓球与桌面相碰撞

mv1
(3)
例2: 已知: m 在水平面内作半径为R的匀速圆运动，
(R, v) 已知，
求: (1) A 到 B 时动量的改变，
(2) 向心力平均值及方向。
人的质量为m站在车的一端,初始时刻人与车均静止,
当解人:水m以从v平人一人方和地端向车走动为M到量研v另车守究一地恒对端象0时,人与车各移动v人多地少距离?v车地
v人地 v人车 v车地
x人地
x
v人 地

M M＋m
v人 车
x车地
x人地
x人 地 dx＝
则系统的总动量保持不变。
注意:
系统不受外力,
1) Fi 0 系统受外力但合外力等于零,
系统内力很大外力可忽略(碰撞,爆炸);
2)合外力沿某一方向为零, 则该方向动量守恒
如: 当 Fx 0
Pix 常数
i
3)动量定理, 动量守恒定律中各质点动量(或速度)必须
是对同一个惯性系的动量(或速度);
(9)
§3.3 动量守恒定律 (The law of conservation of momentum)
一、质点动量守恒定律
由质点的动量定理
当合外力F 0时
t2

Fdt P2 P1
t1


P 常矢量,即: P1 P2
质点动量守恒定律:若质点所受合外力为零,
则质点的总动量不随时间改变。