中考05 数学规律观察猜想与探索大题综合(原卷版)

中考05 数学规律观察猜想与探索大题综合
1．（2024·安徽池州·二模）观察下列式子：
第1个等式：()2
1310101619=⨯⨯+⨯+；
第2个等式：()2
2310102629=⨯⨯+⨯+；
第3个等式：()2
3310103639=⨯⨯+⨯+；
……
(1)请写出第4个等式：______；
(2)设一个两位数表示为103a +，根据上述规律，请写出()2
103a +的一般性规律，并予以证明． 2．（2024·安徽合肥·一模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图案有___________颗黑色棋子，第n 个图案中黑色棋子的颗数为___________；
(2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由． 3．（2024·安徽滁州·一模）如图所示是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形……依次递推．
(1)第3层有6个正方形和______个正三角形；
(2)第n 层有6个正方形和______个正三角形（用含n 的式子表示）； (3)若第n 层有6个正方形和2022个正三角形，求n 的值．
4．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，
这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C 和4个H ，分子式是4CH ；第2个结构式中有2个C 和6个H ，分子式是26C H ；第3个结构式中有3个C 和8个H ，分子式是38C H …按照此规律，回答下列问题．
(1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n 个结构式的分子式是________；
(3)试通过计算说明分子式20244048C H 的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 5．（2024·安徽·二模）观察下列等式：
111
2323=-⨯； 1113434=-⨯； 1114545=-⨯； (1)由此可推断：
1
(1)
n n =+________；
(2)根据上述规律，解方程：
111
(1)(1)(2)2
+=++++x x x x x ．
6．（2024·安徽·二模）【观察思考】
如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．．
【规律发现】
第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n 个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n 的式子表示） 【规律应用】
（2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多
吗？请说明理由．
7．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】
如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．
【规律总结】 请用含n 的式子填空：
（1）第n 个图案中黄梅花的盆数为______；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为12⨯，第2个图案中红梅花的盆数可表示为23⨯，第3个图案中红梅花的盆数可表示为34⨯，第4个图案中红梅花的盆数可表示为45⨯，…；第n 个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【问题解决】
（3）已知按照上述规律摆放的第n 个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n 的值． 8．（2024·安徽马鞍山·二模）观察以下等式： 第1个等式：()2
12341141⨯⨯⨯+=⨯+ 第2个等式：()2
23451251⨯⨯⨯+=⨯+ 第3个等式：()2
34561361⨯⨯⨯+=⨯+ 第4个等式：()2
45671471⨯⨯⨯+=⨯+ ……
按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第6个等式：______．
(2)写出第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．
9．（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．
(1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；
(2)推测第n 个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n 的代数式表示）． 10．（2024·安徽合肥·一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案：
(1)根据规律可知，第①个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个； (2)第n 个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．（用含n 的代数式表示）
(3)在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
11．（2024·安徽合肥·一模）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图所示的是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C 和4个H ，第2个结构式中有2个C 和6个H ，第3个结构式中有3个C 和8个H ，…，按照此规律，请完成下列问题：
(1)第4个结构式中H 原子的个数是__________；
(2)第n 个结构式中H 原子的个数是__________；（用含n 的代数式表示）
(3)是否存在一个碳氢化合物恰好由80个H 原子组成？若存在，求出该碳氢化合物中C 原子的个数；若不存在，请说明理由，
12．（2024·安徽合肥·一模）如图，第1个图案中“①”的个数为12⨯，“●”的个数为23
2
； 第2个图案中“①”的个数为23⨯，“●”的个数为
34
2⨯； 第3个图案中“①”的个数为34⨯，“●”时的个数为45
2
⨯； ……
(1)在第n 个图案中，“①”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含n 的式子表示）
(2)根据图案中“●”和“①”的排列方式及上述规律，求正整数n ，使得第n 个图案中“●”的个数是“①”的个数的2
3
． 13．（2024·安徽·模拟预测）【观察思考】
【规律发现】
（1）第4个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________．
（2）第n 个图案中黑色方块的个数为___________，黑、白两种方块的总个数为___________．（用含n 的代数式表示） 【规律应用】
（3）白色方块的个数可能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 14．（2024·安徽蚌埠·一模）观察下列等式： 3?323-=⨯； 3?3?23?-=⨯； 33?23?-=⨯⁴； ……
按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示，并证明）．
15．（2024·安徽亳州·二模）1131122=+-=117
1236
+-=；
111313412
=+-=．
(1)=______； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式，并证明． 16．（2024·安徽宿州·一模）观察以下等式． 第1个等式：321
12112
⨯
=-⨯． 第2个等式：1831
23223
⨯=-⨯．
第3个等式：11541
34334⨯=-⨯．
第4个等式：12451
45445
⨯=-⨯． ……
按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n 个等式：_______（用含n 的式子表示），并证明． 17．（2024·安徽马鞍山·一模）观察下列等式： 第1个等式：2
2
115
1323123-=⨯⨯⨯⨯ 第2个式：
233
117
2333233-=⨯⨯⨯⨯ 第3个等式：344119
3343343-=⨯⨯⨯⨯ 第4个等式：455
1111
4353453-=⨯⨯⨯⨯ ……
【总结规律】按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________；
(2)写出第n 个等式：__________（用含有n 的等式表示）； (3)利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）．
23452024
579114049
123233343453202320243++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．
18．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：
第1个等式：12141333+-=；第2个等式：1419
2488
+-=；第3个等式：14116351515+-=；第4个等式：
15125
462424+-=；第5个等式：16136573535
+-=；…； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明．
19．（2024·安徽安庆·一模）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为1C 的等边三角形卡纸，把图①的卡纸
剪去一个边长为1
2的等边三角形纸板后得到图①，然后沿同一底边再剪去一个边长为14
的等边三角形后得到
图①，依次剪去一个边长为18，1
16，132
…的等边三角形后，得到图① 、① 、① …
(1)第5个图形中卡纸的周长5C =______；
(2)记图()3n n ≥中的卡纸的周长为n C ，则1n n C C --=______； (3)若11
512
n n C C --=
，求n 的值． 20．（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：()2
1515152251210025=⨯==⨯⨯+；
第2个等式：()2
2525256252310025=⨯==⨯⨯+；
第3个等式：()2
35353512253410025=⨯==⨯⨯+；
按照以上规律，解决下列问题： (1)填空：2656565=⨯=______=______；
(2)已知19n ≤≤且n 为整数，猜想第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明． 21．（2024·安徽宿州·二模）【观察思考】
【规律发现】
（1）请用含n 的式子填空：
上述是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“①”或“▲”. 第1个图案中“①”有41⨯个；“▲”有131+⨯个； 第2个图案中“①”有42⨯个；“▲”有132+⨯个； 第3个图案中“①”有43⨯个；“▲”有133+⨯个； 第4个图案中“①”有44⨯个；“▲”有134+⨯个； ……
第n 个图案中“①”有________个，“▲”有________个； 【规律应用】
（2）在第2024个图案中，求“①”的数量比“▲”的数量多多少个?
22．（2024·安徽芜湖·二模）下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3,
.a ．，第n 个数记为n a ．
(1)根据这列数的规律，8a =______，n a =______；
(2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n ；如果没有，请说明理由．
23．（2024·安徽滁州·一模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
(1)第n 个图有 个小圆；（用含n 的代数式表示）
(2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为160个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由． 24．（2024·安徽·三模）观察下列等式： 第1个等式：2
122111111212x ⎛⎫=++=+ ⎪⨯⎝⎭；
第2个等式：2222111112323x ⎛⎫
=++=+ ⎪⨯⎝⎭
；
第3个等式：
2 322
111
11
3434
x
⎛⎫
=++=+
⎪
⨯
⎝⎭
；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_____________________________；
(2)写出第n个等式：______________________________（用含n的等式表示）；
(3)
20242024
x
+．
25．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．
【规律发现】
（1）第①个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
（2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；
【规律应用】
（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子．。