2020-2021学年山东省济宁市泗水县高一上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年山东省济宁市泗水县高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B＝{x|0＜x≤4}，则A∩B＝（）A．[﹣1，4]B．（0，2]C．[﹣1，2]D．（﹣∞，4] 2．（5分）“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）
A．∃x∈R，x+|x|≥0B．∀x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|＜0D．∃x∈R，x+|x|≤0 3．（5分）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（5分）若关于x的不等式ax2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则实数a，b的值是（）A．a＝1，b＝2B．a＝2，b＝1C．a＝﹣1，b＝2D．a＝2，b＝﹣1 5．（5分）“a＞1“是“＜1”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝（）
A．﹣4B．﹣C．D．﹣8
7．（5分）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高．统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭
B．随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高
C．1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%
D．随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小8．（5分）若函数f（x）＝满足：∀x1，x2∈R，且x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，2]B．[2，3）C．（2，3）D．（1，3）
二、多项选择题（共4小题）
9．（5分）已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以（）A．{1，8}B．{2，3}C．{1}D．{2}
10．（5分）已知a，b，c为实数，且a＞b＞0，则下列不等式正确的是（）A．＜B．ac2＞bc2C．＜D．a2＞ab＞b2 11．（5分）狄利克雷函数f（x）满足：当x取有理数时，f（x）＝1；当x取无理数时，f （x）＝0．则下列选项成立的是（）
A．f（x）≥0B．f（x）≤1
C．f（x）﹣x3＝0有1个实数根D．f（x）﹣x3＝0有2个实数根
12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；
③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（）
A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3）
C．若＞0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值．14．（5分）若命题“∃x∈R，x2﹣3ax+9≤0”为假命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx++3，若f（t）＝4，则f（﹣t）＝．16．（5分）将“24＝16”中数字“4”移动位置后等式可以成立，如：“42＝16”，据此，若只移动一个数字的位置使等式“3﹣＝42”成立，则成立的等式为．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝+．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求f（﹣2）及f（6）的值．
18．（12分）已知全集为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|a﹣2＜x≤a+3}．（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b是实数），x∈R，若f（﹣1）＝4，且方程f（x）+4x＝0有两个相等的实根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，5]上的最值．
20．（12分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣．（1）求f（﹣2）的值；
（2）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）在x∈R上的解析式．
21．（12分）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统计规律如下：①年固定生产成本为2万元；②每生产该型号空气净化器1百台，
成本增加1万元；③年生产x百台的销售收入R（x）＝
（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）．（1）为使该产品的生产不亏本，年产量x应控制在什么范围内？
（2）该产品生产多少台时，可使年利润最大？
22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+a+1．
（1）若a＝2，解关于x的不等式f（x）≥0；
（2）若对于a∈[﹣2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B＝{x|0＜x≤4}，则A∩B＝（）A．[﹣1，4]B．（0，2]C．[﹣1，2]D．（﹣∞，4]【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0＜x≤4}，
∴A∩B＝（0，2]．
故选：B．
2．（5分）“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）
A．∃x∈R，x+|x|≥0B．∀x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|＜0D．∃x∈R，x+|x|≤0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．
故选：B．
3．（5分）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据函数的定义，对照各个图象可得：图①中集合M中属于区间（1，2]内的元素没有象，不符合题意；图④中集合M的一个元素对应N中的两个元素，也不符合题意；图③集合M中有些变量没有函数值与之对应不符合题意；图②满足M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合题意．
解：由题意知：M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，
对于图①中，在集合M中区间（1，2]内的元素没有象，比如f（1.5）的值就不存在，
所以图①不符合题意；
对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；
对于图③中，集合M中有些变量没有函数值与之对应，故③不符合题意；
对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x＝1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确
故选：B．
4．（5分）若关于x的不等式ax2﹣3x+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则实数a，b的值是（）A．a＝1，b＝2B．a＝2，b＝1C．a＝﹣1，b＝2D．a＝2，b＝﹣1【分析】由题意可知，1和2是方程ax2﹣3x+b＝0的两根，再结合韦达定理即可得解．解：由题意可知，1和2是方程ax2﹣3x+b＝0的两根，且a＞0，
∴1+2＝，1×2＝，
解得a＝1，b＝2．
故选：A．
5．（5分）“a＞1“是“＜1”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：当a＞1时，＜1成立，即充分性成立，
当a＝﹣1时，满足＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，
则“a＞1“是“＜1“的充分不必要条件，
故选：A．
6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝（）A．﹣4B．﹣C．D．﹣8
【分析】推导出f（2）＝﹣（）2＝﹣，从而f（f（2））＝f（﹣），由此能求出结果．
解：∵函数f（x）＝，
∴f（2）＝﹣（）2＝﹣，
f（f（2））＝f（﹣）＝＝﹣8．
故选：D．
7．（5分）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高．统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭
B．随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高
C．1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50%
D．随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小【分析】通过观察1978﹣2018年我国城镇居民和农村居民家庭恩格尔系数的变化统计图，即能得出正确选项．
解：由上述折线图可知：
选项A，因为城镇的系数一直在农村居民的上方，故城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民，A正确；
选项B，城镇和农村的恩格尔系数整体上都在下降，说明城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高，B正确；
对于C，1996﹣2000年我国农村居民家庭恩格尔系数高于50%，C错误；
对于D，结合图形得到城镇和农村家庭恩格尔系数之间的差距越来越小，说明城镇和农村家庭生活富裕程度差别越来越小，D正确．
故选：C．
8．（5分）若函数f（x）＝满足：∀x1，x2∈R，且x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，2]B．[2，3）C．（2，3）D．（1，3）
【分析】根据：∀x1，x2∈R，且x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，可知函数f （x）在R上单调递增，进而得到相关不等式，求出解集即可
解：根据题意可知函数f（x）在R上单调递增，
则有解得2≤a＜3，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以（）A．{1，8}B．{2，3}C．{1}D．{2}
【分析】推导出A⊆（B∩C）＝A⊆{1，8}，由此能求出结果．
解：∵A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，
C＝{1，9，3，8}，
∴A⊆（B∩C）＝A⊆{1，8}．
故选：AC．
10．（5分）已知a，b，c为实数，且a＞b＞0，则下列不等式正确的是（）A．＜B．ac2＞bc2C．＜D．a2＞ab＞b2
【分析】本题主要运用作差法以及代特殊值法进行不等式的判断大小．
解：由题意，
对于选项A：﹣＝，∵a＞b＞0，∴ab＞0，b﹣a＜0，∴﹣＝＜0，即＜，故选项A正确；
对于选项B：当c＝0时，很明显ac2＞bc2不成立，故选项B不正确；
对于选项C：∵a＞b＞0，∴0＜＜1＜，故选项C正确；
对于选项D：a2﹣ab＝a（a﹣b），∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．
ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2，∴a2＞ab＞b2，故选项D正确．
故选：ACD．
11．（5分）狄利克雷函数f（x）满足：当x取有理数时，f（x）＝1；当x取无理数时，f （x）＝0．则下列选项成立的是（）
A．f（x）≥0B．f（x）≤1
C．f（x）﹣x3＝0有1个实数根D．f（x）﹣x3＝0有2个实数根
【分析】根据狄利克雷函数的定义，逐项判断即可．
解：依题意，对于A选项，狄利克雷函数f（x）只有0，1两个函数值，且均满足f（x）≥0，故A成立；
对于B选项，狄利克雷函数f（x）只有0，1两个函数值，均满足f（x）≤1，故B成立；
对于C，D选项，f（x）﹣x3＝0，
①当x为无理数时，x3＝0无解；
②当x为有理数时，有一个实根x＝1，
故C成立，D不成立；
故选：ABC．
12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；
③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（）
A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3）
C．若＞0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M
【分析】利用已知条件，判断函数的性质，然后判断选项的正误即可．
解：定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）
＝f（x）；说明函数是偶函数；
②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；说明函数在（0，+∞）
是增函数；
③f（﹣1）＝0．
所以f（3）＜f（4）＝f（﹣4）成立，所以A不正确；
若f（m﹣1）＜f（2），可得|m﹣1|＜2，则m∈（﹣1，3），所以B正确；
若y＝是奇函数，＞0，f（﹣1）＝0．可得x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），所以C正确；
因为函数是连续函数，又是偶函数，在x＞0时是增函数，所以∀x∈R，∃M∈R，使得f （x）≥M，正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值3．【分析】利用2∈A，推出m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m的值，然后验证集合A是否成立，即可得到m的值．
解：因A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A
所以m＝2或m2﹣3m+2＝2
即m＝2或m＝0或m＝3
当m＝2时，A＝{0，2，0}与元素的互异性相矛盾，舍去；
当m＝0时，A＝{0，0，2}与元素的互异性相矛盾，舍去；
当m＝3时，A＝{0，3，2}满足题意
∴m＝3．
故答案是：3．
14．（5分）若命题“∃x∈R，x2﹣3ax+9≤0”为假命题，则实数a的取值范围是﹣2＜a ＜2．
【分析】先求出否命题是真命题，在进行计算．
解：由题意知，命题“∀x∈R，x2﹣3ax+9＞0”为真命题．
则△＝（3a）2﹣4×9＜0
即﹣2＜a＜2
故答案为：﹣2＜a＜2
15．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx++3，若f（t）＝4，则f（﹣t）＝2．【分析】根据条件进行转化，结合函数奇函数的性质进行转化求解即可．
解：∵f（x）＝ax3+bx++3，
∴f（x）﹣3＝ax3+bx+是奇函数，
则f（﹣t）﹣3＝﹣[f（t）﹣3]＝﹣（4﹣3）＝﹣1，
即f（﹣t）＝3﹣1＝2，
故答案为：2
16．（5分）将“24＝16”中数字“4”移动位置后等式可以成立，如：“42＝16”，据此，若只移动一个数字的位置使等式“3﹣＝42”成立，则成立的等式为．【分析】利用类比推理找出两类者的相似性和一致性，可直接得出结论．
解：根据题意，利用类比推理可知，只移动一个数字的位置使等式“3﹣＝42”成立，则成立的等式为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝+．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求f（﹣2）及f（6）的值．
【分析】（1）根据分母不为零，被开方数大于等于0，可得函数f（x）的定义域；
（2）将x＝﹣2，x＝6代入可得答案．
解：（1）依题意，x﹣2≠0，且x+3≥0，
故x≥﹣3，且x≠2，
即函数f（x）的定义域为[﹣3，2）∪（2，+∞）．
（2），
．
18．（12分）已知全集为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|a﹣2＜x≤a+3}．
（1）当a＝3时，求A∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）a＝3时，可求出集合B，然后进行交集的运算即可；
（2）根据A∪B＝B可得出A⊆B，从而得出，然后解出a的范围即可．
解：（1）当a＝3时，B＝{x|1＜x≤6}，且A＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝（1，2]；
（2）由A∪B＝B，得A⊆B，
∴，解得﹣1≤a≤2，
∴实数a的取值范围为[﹣1，2]．
19．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b是实数），x∈R，若f（﹣1）＝4，且方程f（x）+4x＝0有两个相等的实根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，5]上的最值．
【分析】（1）根据题意，由f（﹣1）＝4可得b＝a﹣3，又由方程f（x）+4x＝0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+1＝0有两个相等的实根，可得△＝（a+1）2﹣4a＝0，解可得a、b的值，代入函数的解析式中即可得答案；
（2）由二次函数的解析式求出f（x）的对称轴，可得函数的单调性，从而可求得最值．解：（1）根据题意，二次函数f（x）＝ax2+bx+1，
若f（﹣1）＝4，则a﹣b+1＝4，即b＝a﹣3，
又由方程f（x）+4x＝0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+1＝0有两个相等的实根，
则有△＝（a+1）2﹣4a＝0，
解可得：a＝1，b＝﹣2，
则f（x）＝x2﹣2x+1．
（2）由（1）的结论，f（x）＝x2﹣2x+1，则f（x）对称轴为x＝1，
f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，5]上单调递增，
所以f（x）在区间[0，5]上的最小值为f（1）＝0；最大值为f（5）＝16．
20．（12分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣．（1）求f（﹣2）的值；
（2）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）在x∈R上的解析式．
【分析】（1）由函数的解析式求出f（2）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案；
（2）由作差法证明即可得结论；
（3）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，结合函数的奇偶性与解析式分析可得f（x）在（﹣∞，0）上的解析式，综合即可得答案．
解：（1）根据题意，当x＞0时，f（x）＝x﹣，则f（2）＝2﹣＝，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣，
（2）证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣）﹣（x2﹣）＝（x1﹣x2）﹣（﹣）＝（x1﹣x2）（1+），
又由0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）函数f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
设x＜0，则﹣x＞0，即f（﹣x）＝﹣x﹣，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x+，
故f（x）＝．
21．（12分）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统计规律如下：①年固定生产成本为2万元；②每生产该型号空气净化器1百台，成本增加1万元；③年生产x百台的销售收入R（x）＝
（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）．（1）为使该产品的生产不亏本，年产量x应控制在什么范围内？
（2）该产品生产多少台时，可使年利润最大？
【分析】（1）由题意得，成本函数为C（x）＝x+2，从而年利润函数为L（x）＝R（x）﹣C（x）要使不亏本，只要L（x）≥0，利用分段函数求解即可．
（2）利用分段函数分段求解函数的最大值，即可得到结果．
【解答】（1）解：由题意得，成本函数为C（x）＝x+2，
从而年利润函数为L（x）＝R（x）﹣C（x）＝．
要使不亏本，只要L（x）≥0，
①当0≤x≤4时，由L（x）≥0得﹣0.5x2+3x﹣2.5≥0，解得1≤x≤4，
②当x＞4时，由L（x）≥0得5.5﹣x≥0，解得4＜x≤5.5．
综上1≤x≤5.5．
答：若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间．
（2）当0≤x≤4时，L（x）＝﹣0.5（x﹣3）2+2，
故当x＝3时，L（x）max＝2（万元），
当x＞4时，L（x）＜1.5＜2．
综上，当年产300台时，可使利润最大．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+a+1．
（1）若a＝2，解关于x的不等式f（x）≥0；
（2）若对于a∈[﹣2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．
【分析】（1）当a＝2时，解一元二次不等式即可．（2）根据一元二次不等式不等式的性质，建立恒成立的等价条件，进行求解即可．
解：（1）若a＝2，不等式f（x）≥0等价为2x2﹣5x+3≥0，
解得x或x≤1，
∴不等式f（x）≥0的解集为．
（2）∵ax2﹣（2a+1）x+a+1＝a（x﹣1）2﹣（x﹣1），
令g（a）＝a（x﹣1）2﹣（x﹣1），
则g（a）是关于a的一次函数，且一次项的系数为（x﹣1）2≥0，
∴当x﹣1＝0时，f（x）＝0不合题意；
当x≠1时，g（a）为[﹣2，2]上的增函数，
∵f（x）＜0恒成立，
∴只要使g（a）的最大值g（2）＜0即可，即g（2）＝2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＜0，
解得，
综上，x的取值范围是．。