2021-2022学年广东省肇庆市九市中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年广东省肇庆市九市中学高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是( )
A．B．
C．D．
参考答案：
D
试题分析：据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，
.故反映这个命题本质的式子是.
故选D
考点：数列递推式
2. 定义在R上的可导函数，已知的图象如图所
示，则的增区间是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
3. 如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则=（）A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．
【分析】AP：PB=3：2，可得， =，代入=，化简计算即可得出．【解答】解：∵AP：PB=3：2，∴，
又=，
∴==+
=+，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.
若复数,则
A．B．C．D．
参考答案：
答案：B
解析：∵∴，故．
5. 设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q={3，4，5}，则P∩（C U Q）=
A.{1，2，3，4，6}
B.{1，2，3， 4，5}
C.{1，2，5}
D.{1,2}
参考答案：
D 6. 函数
的图象关于
对称. ( )
A. 坐标原点
B. 直线
C. 轴
D. 轴
参考答案：
D 略 7. 已知集合
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
B 略
8. 函数
的零点所在的一个区间是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案： C
5.甲、乙两个小组，甲组有3名男生2名女生，乙组有3名女生2名男生，从甲、乙两组中各选出3名同学，则选出的6人中恰有1名男生的概率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
A
10. 已知函数
，若将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位后所得的图象关
于原点对称，则φ的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律求得平移后所得函数的图象对应的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．
【解答】解：函数
=
sin2x+cos2x=sin （2x+
），
将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，可得y=sin （2x+2φ+）的图象，
若所得的图象关于原点对称，则2φ+
=k π，k∈Z，故φ的最小值为
，
故选：C ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 ．
参考答案：
解答：解：三视图复原的几何体如图，
它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，
它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，
它的直径是2
，
所以球的体积是：
故答案为：
点评：本题考查三视图求几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．12. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为．
参考答案：由，，得，对角线BD取最大值时满足
13. 已知f(x)是R上的偶函数，且在(－,0]上是减函数，则不等式f(x)≤f(3)的解集
是
参考答案：
[-3,3]
14. 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是．
参考答案：
{x|x≥3或x≤1}
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，
∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），
即|x﹣2|≥1，
即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，
即x≥3或x≤1，
故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，
故答案为：{x|x≥3或x≤1}．
15. 若平行四边形ABCD满足,,则该四边形一定是
参考答案：
菱形
略
16. 设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的成等差数列，设数列
的前项和为，且，若对任意的实数(是自然对数的底)和任意正整数，总有.则的最小值为．
2
由题意，当时，，∴，
∴，∵，∴，即数列是等差数列，又，，∴．又，∴，∴
，∴，即的最小值为2．
故答案为2．
17. 已知等差数列{a n}公差不为0, 其前n项和为S n, 等比数列{b n}前n项和为B n, 公比为q, 且|q|>1,
则=___________________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，，，，
.
（1）证明：AD⊥平面PCD.
（2）求三棱锥的侧面积.
参考答案：（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证明平面，只需证明，即可；
（2）只需计算，，的面积，相加即可.
【详解】（1）证明：因为为的中点，，
所以，
所以，从而.
又，，
所以底面，所以.
因为四边形是正方形，所以.
又，所以平面.
（2）由（1）知平面，因为∥，所以平面，
因为平面，所以，
所以的面积为.
易证，
所以的面积为.
故三棱锥的侧面积为.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及三棱锥侧面积的计算问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.
19. （本小题满分13分）
已知函数的最大值是1，其图像经过点。

（1）求的解析式；
（2）已知，且求的值。

【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；
（2）依题意有，而，
，。

20. 如图，为平面的一组基向量，,,与交与
点
(1)求关于的分解式；（2）设，,求;
(3)过任作直线交直线于两点，设，
（）求的关系式。

参考答案：
（1）
（2）(3) .
略
21. 如图,在梯形ABCD中,，四边形ACFE为矩形，平面ABCD，
，点M是线段EF的中点.
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）求平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值.
参考答案：
（1）在梯形中，∵，
∴，
又∵，∴，
∴，∴，即.
∵平面，平面.
∴，而
∴平面.
∵，∴平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设,
则，
∴.
设为平面的一个法向量，
由得
取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴.
19.解：
22. 已知a＞0，b＞0，a+b=2．
（1）求+的最小值；
（2）求证：≤1．
参考答案：
【考点】7F：基本不等式．
【分析】（1）分式类型，巧运用a+b的式子即可；
（2）利用基本不等式转化为=ab??（）2求解即可．
【解答】解：（1）a+b=2．
∴+=（+）=（5+）≥仅当（b=2a等号成立）；
（2）证明： =ab??（）2=1．（当且仅当a=b等号成立）．。