高中数学人教A版选修1-1 章末综合测评3

章末综合测评(三) 导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数f (x )＝α2－cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin α B ．cos α C ．2α＋sin α
D ．2α－sin α
【解析】 f ′(x )＝(α2－cos x )′＝sin x ，当x ＝α时，f ′(α)＝sin α. 【答案】 A
2．若曲线y ＝1
x 在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，－2 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2 【解析】 y ′＝－1x 2，由－1x 2＝－4，得x 2＝14，从而x ＝±1
2，分别
代入y ＝1
x ，得P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－2.
【答案】 B
3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，归纳可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )
A ．f (x )
B ．－f (x )
C ．g (x )
D ．－g (x )
【解析】 观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )．
【答案】 D
4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2
D ．0
【解析】 由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 得f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，又f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2.故选B.
【答案】 B
5．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．不存在
【解析】 因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0
＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)，故选A.
【答案】 A
6．过点(0,1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程
为( )
【导学号：26160104】 A ．2x ＋y －1＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x ＋2y －2＝0
D ．2x －y ＋1＝0
【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －1′＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2， ∴y ′|x ＝3＝－1
2，故与切线垂直的直线斜率为2， 所求直线方程为y －1＝2x ， 即2x －y ＋1＝0.故选D. 【答案】 D
7.已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则y ＝f (x )( )
图1
A ．在(－∞，0)上为减函数
B ．在x ＝0处取得极小值
C ．在(4，＋∞)上为减函数
D ．在x ＝2处取极大值
【解析】 在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．
【答案】 C
8．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )
A ．a ＞1
3 B ．a ≥1
3 C ．a ＜1
3
D ．a ≤1
3
【解析】 f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1在(－∞，＋∞)上恒非负，故
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. 【答案】 B
9．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )
A ．10
B ．15
C ．25
D ．50
【解析】 设内接矩形的长为x ， 则宽为
25－x 2
4，
∴S 2＝x 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫25－x 24＝y ， ∴y ′＝50x －x 3.
令y ′＝0，得x 2＝50或x ＝0(舍去)，
∴S 2
max ＝625，即S max ＝25.
【答案】 C
10．函数y ＝ln x
x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2
D.103
【解析】 y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x
x 2，令y ′＝0，得x ＝e. 当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0. 故y
极大值
＝f (e)＝e －1.因为在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －
1
.
【答案】 A
11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必
有( )
A ．f (0)＋f (2)<2f (1)
B ．f (0)＋f (2)>2f (1)
C ．f (0)＋f (2)≤2f (1)
D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)
【解析】 ①若f ′(x )不恒为0，则当x >1时，f ′(x )≥0，当x <1时，f ′(x )≤0，
所以f (x )在(1，＋∞)内单调递增，在(－∞，1)内单调递减．
所以f (2)>f (1)，f (1)<f (0)， 即f (0)＋f (2)>2f (1)．
②若f ′(x )＝0恒成立，则f (2)＝f (0)＝f (1)， 综合①②，知f (0)＋f (2)≥2f (1)． 【答案】 D
12．若函数f (x )在(0，＋∞)上可导，且满足f (x )＞－xf ′(x )，则一定有( )
A ．函数F (x )＝f (x )
x 在(0，＋∞)上为增函数 B ．函数F (x )＝f (x )
x 在(0，＋∞)上为减函数 C ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为增函数 D ．函数G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上为减函数
【解析】 设G (x )＝xf (x )，则G ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，故G (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上递增，故选C.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间为________．
【解析】 令f ′(x )＝1
x －1＞0，解不等式即可解得x ＜1，注意定义域为(0，＋∞)．所以0＜x ＜1.
【答案】 (0,1)
14．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．
【解析】 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .
由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a
18＝1，所以a ＝9. 【答案】 9
15．若函数f (x )＝ln|x |－f ′(－1)x 2＋3x ＋2，则f ′(1)＝________. 【解析】 当x >0时，f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x ＋2， ∴f ′(x )＝1
x －2f ′(－1)x ＋3， ∴f ′(1)＝1－2f ′(－1)＋3.
当x <0时，f (x )＝ln(－x )－f ′(－1)x 2＋3x ＋2， ∴f ′(x )＝－1－x －2f ′(－1)x ＋3＝1
x －2f ′(－1)x ＋3，
∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2， ∴f ′(1)＝8. 【答案】 8
16．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x <m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．
【解析】 记f (x )＝x 3－x 2－x ， 所以f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1
3或x ＝1.
又因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝5
27，f (2)＝2，f (－1)＝－1，f (1)＝－1，
所以当x ∈[－1,2]时，[f (x )]max ＝2，所以m >2. 【答案】 (2，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1
与直线l ：4x －y －1＝0平行，且点P 0在第三象限．
(1)求点P 0的坐标；
【导学号：26160105】
(2)若直线l 2⊥l 1，且l 2也过点P 0，求直线l 2的方程． 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.
当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，
∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l 2⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 2的斜率为－14.
∵l 2过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l 2的方程为y ＋4＝－1
4(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.
18．(本小题满分12分)(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－4
3处取得极值．
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－4
3处取得极值，
所以f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－43＝0，
即3a ·169＋2·⎝
⎛⎭
⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝1
2.
(2)由(1)得，g (x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
12x 3＋x 2e x ，
故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2
e x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x
＝1
2x (x ＋1)(x ＋4)e x .
令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．
综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．
19．(本小题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，求g (x )的单调区间和最小值．
【解】 由题意知f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1
x ， ∴g ′(x )＝x －1
x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1.
当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g (x )的单调减区间．
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间． 因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以g (x )的最小值为g (1)＝1.
20．(本小题满分12分)(2014·重庆高考)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12
x .
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间与极值．
【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1
x ， 由y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1
2x 知 f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝5
4. (2)由(1)可知f (x )＝x 4＋54x －ln x －3
2， 则f ′(x )＝x 2－4x －5
4x 2.
令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.
因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，舍去．
当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．
由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 21．(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2.其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解】 (1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a
2＋10＝11，a ＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2
x －3＋10(x －6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2x －3＋10(x －6)2
＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.
从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．
于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
也是最大值点．
所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42. 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
22．(本小题满分12分)(2016·秦皇岛高二检测)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点，f ′(1)＝0，曲线y ＝f (x )在原点处的切线与直线y ＝2x ＋3的夹角为135°.
(1)求f (x )的解析式；
【导学号：26160106】
(2)若对于任意实数α和β，不等式|f (2sin α)－f (2sin β)|≤m 恒成立，求m 的最小值．
【解】 (1)由题意，有f (0)＝c ＝0，
f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 且f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，①
又曲线y＝f(x)在原点处的切线的斜率k＝f′(0)＝b，而直线y＝2x
＋3与此切线所成的角为135°，所以2－b
1＋2b
＝－1.②
联立①②解得a＝0，b＝－3，所以f(x)＝x3－3x.
(2)|f(2sin α)－f(2sin β)|≤m恒成立等价于
|f(x)max－f(x)min|≤m，由于2sin α∈[－2,2]，2sin β∈[－2,2]，故只需求出f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的最值，而f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝±1，列表如下：
所以f(x)max＝2，f(x)min＝－2，所以|f(x)max－f(x)min|＝4≤m，所以m的最小值为4.小课堂：如何培养中学生的自主学习能
力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。