离散型随机变量的期望
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离散型随机变量的 期望
教学要求: 使学生了解离散型随机变量的期望的意义,会
根据离散型随机变量的分布列求出期望.
对于离散型随机变量, 确定了它的分布列, 就 掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题中, 我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个 方面的特征, 最常用的有期望与方差。 引例: 某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
例4 一次英语单元测验由20个选择题构成, 每 个选择题有4个选项。其中有且仅有一个是正 确答案, 每题选择正确答案得5分。不作出选择 或选错不得分, 满分100分。学生甲选对任一题 的概率为0.9, 学生乙则在测验中对每题都从4个 选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在 这次英语单元测验中的成绩的期望。
练习: P14 1~6。
作业: 习题1.2 P16 1~6
讲评作业:P9 习题3, 6
3 、某射手射击击中目标的概率为0.9, 求从开始射 击到击中目标所需的射击次数ξ的概率分布。
解: 射击次数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
…n
…
P
0.9 0.09 0.009 … 0.1n-1×0.9 …
6.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取 出5件，求其中次品数ξ的分布列。
问：若ξ为上述离散型随机变量，则η=a ξ+b的分 布列怎样？ E η呢？
因为P（ η=a xi+b）=P（ ξ=xi）, i=1, 2, 3…
所以, η的分布图为
η a x1+b a x2+b …
P p1
p2
…
axn+b …
pn
…
于是E η=（a x1+b)p1+ （a x2+b)p2+…+ （a xn+b)pn+ …
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25.
服从几何分布的随机变量的期望 结论(2)：若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p
ξ12
3…
P
p pq pq2 …
k
…
pqk-1 …
∴E ξ =p+2pq+3pq2+…+kpqk-1+…
qE ξ =pq+2pq2+3pq3+…+kpqk+…
∴(1-q)E ξ =p+pq+pq2+pq3+…+pqk+…
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
根据这个射手射击所得环数ξ的分布列, 在 n次射击中, 预计有大约0.02n次的4环……
类似地, 对任一射手, 若已知其射击所得环数ξ的分 布列, 即已知各个P（ ξ=i)(i=0,1,2,3,…10）, 则可预 计他任意n次射击的平均环数是
Eξ=0×P（ ξ=0）+ 1×P（ ξ=1）+…+ 10×P（ ξ=10）
称Eξ为此射手射击所得环数ξ的期望, 它刻划了随机变量ξ所取的平 均值, 从一个方面反映了射手的射击水平。
1.期望 若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
则称Eξ=x1p1+ x2p2+ … + xnpn+ …为ξ的数学期望 或平均数、均值, 又称期望。
解: 抽查次数ξ取1~10的整数，从这批数量很大的产品 中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取 出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k-1次 取出正品而第k次（k=1，2，…9）取出次品的概率
P（ ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15, （k=1, 2, 需…要9）抽；查10次即前9次取出的都是正品的概率
E 1 1
1q P
p 1 1 q
例5 在独立重复的射击试
验中，某人击中目标的概 率为0.2，则他在射击时击 中目标所需要的射击次数ξ 的期望是多少？
小结：1、随机变量的数学期望。
2、公式
E（a ξ+b）=a E ξ+b
3、若ξ~B(n,p)，则Eξ=np
4：公式 若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p
解:设学生甲和学生乙在这次英语测验中 选择了正确答案的选择题个数分别是ξ 和η, 则
ξ～B(20, 0.9), η～B(20, 0.25), Eξ＝20×0.9＝18, Eη＝20×0.25＝5. 由于答对每题得5分, 学生甲和学生乙在这 次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以, 他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90,
P（ ξ=10）=0.859 （为什么？ ）
3、结论(1)：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…kBiblioteka …nP Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
证明: ∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
解: ξ~B（5，0.1). ξ的分布列为
ξ0
1
2
3
4
5
P 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
例5: 一次英语单元测验由20个选择题构成 ，每个选择题有4个选项，其中有且仅有 一个选项是正确答案，每题选择正确答案 得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分。学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中 随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这 次英语单元测验中的成绩的期望。
=a（ x1 p1+ x2p2+ …+ xnpn+ …）+b（p1+p2+ …+pn + …）
=a E ξ+b
E（a ξ+b）=a E ξ+b
2.例题
例1: 随机抛掷一个骰子， 求所得骰子的点数ξ的期望。
例2 有一批数量很大的产品, 其次品率是15%。 对这批产品进行抽查, 每次抽出1件, 如果抽出次 品, 则抽查终止, 否则继续抽查, 直到抽出次品, 但 抽查次数最多不超过10次。求抽查次数ξ的期望。 （结果保留三个有效数字）
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np
服从二项分布的随机变量的期望
若ξ~B(n,p), 则Eξ=np
教学要求: 使学生了解离散型随机变量的期望的意义,会
根据离散型随机变量的分布列求出期望.
对于离散型随机变量, 确定了它的分布列, 就 掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题中, 我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个 方面的特征, 最常用的有期望与方差。 引例: 某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
例4 一次英语单元测验由20个选择题构成, 每 个选择题有4个选项。其中有且仅有一个是正 确答案, 每题选择正确答案得5分。不作出选择 或选错不得分, 满分100分。学生甲选对任一题 的概率为0.9, 学生乙则在测验中对每题都从4个 选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在 这次英语单元测验中的成绩的期望。
练习: P14 1~6。
作业: 习题1.2 P16 1~6
讲评作业:P9 习题3, 6
3 、某射手射击击中目标的概率为0.9, 求从开始射 击到击中目标所需的射击次数ξ的概率分布。
解: 射击次数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
…n
…
P
0.9 0.09 0.009 … 0.1n-1×0.9 …
6.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取 出5件，求其中次品数ξ的分布列。
问：若ξ为上述离散型随机变量，则η=a ξ+b的分 布列怎样？ E η呢？
因为P（ η=a xi+b）=P（ ξ=xi）, i=1, 2, 3…
所以, η的分布图为
η a x1+b a x2+b …
P p1
p2
…
axn+b …
pn
…
于是E η=（a x1+b)p1+ （a x2+b)p2+…+ （a xn+b)pn+ …
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25.
服从几何分布的随机变量的期望 结论(2)：若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p
ξ12
3…
P
p pq pq2 …
k
…
pqk-1 …
∴E ξ =p+2pq+3pq2+…+kpqk-1+…
qE ξ =pq+2pq2+3pq3+…+kpqk+…
∴(1-q)E ξ =p+pq+pq2+pq3+…+pqk+…
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
根据这个射手射击所得环数ξ的分布列, 在 n次射击中, 预计有大约0.02n次的4环……
类似地, 对任一射手, 若已知其射击所得环数ξ的分 布列, 即已知各个P（ ξ=i)(i=0,1,2,3,…10）, 则可预 计他任意n次射击的平均环数是
Eξ=0×P（ ξ=0）+ 1×P（ ξ=1）+…+ 10×P（ ξ=10）
称Eξ为此射手射击所得环数ξ的期望, 它刻划了随机变量ξ所取的平 均值, 从一个方面反映了射手的射击水平。
1.期望 若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
则称Eξ=x1p1+ x2p2+ … + xnpn+ …为ξ的数学期望 或平均数、均值, 又称期望。
解: 抽查次数ξ取1~10的整数，从这批数量很大的产品 中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取 出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k-1次 取出正品而第k次（k=1，2，…9）取出次品的概率
P（ ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15, （k=1, 2, 需…要9）抽；查10次即前9次取出的都是正品的概率
E 1 1
1q P
p 1 1 q
例5 在独立重复的射击试
验中，某人击中目标的概 率为0.2，则他在射击时击 中目标所需要的射击次数ξ 的期望是多少？
小结：1、随机变量的数学期望。
2、公式
E（a ξ+b）=a E ξ+b
3、若ξ~B(n,p)，则Eξ=np
4：公式 若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p
解:设学生甲和学生乙在这次英语测验中 选择了正确答案的选择题个数分别是ξ 和η, 则
ξ～B(20, 0.9), η～B(20, 0.25), Eξ＝20×0.9＝18, Eη＝20×0.25＝5. 由于答对每题得5分, 学生甲和学生乙在这 次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以, 他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90,
P（ ξ=10）=0.859 （为什么？ ）
3、结论(1)：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…kBiblioteka …nP Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
证明: ∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
解: ξ~B（5，0.1). ξ的分布列为
ξ0
1
2
3
4
5
P 0.59049 0.32805 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001
例5: 一次英语单元测验由20个选择题构成 ，每个选择题有4个选项，其中有且仅有 一个选项是正确答案，每题选择正确答案 得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分。学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中 随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这 次英语单元测验中的成绩的期望。
=a（ x1 p1+ x2p2+ …+ xnpn+ …）+b（p1+p2+ …+pn + …）
=a E ξ+b
E（a ξ+b）=a E ξ+b
2.例题
例1: 随机抛掷一个骰子， 求所得骰子的点数ξ的期望。
例2 有一批数量很大的产品, 其次品率是15%。 对这批产品进行抽查, 每次抽出1件, 如果抽出次 品, 则抽查终止, 否则继续抽查, 直到抽出次品, 但 抽查次数最多不超过10次。求抽查次数ξ的期望。 （结果保留三个有效数字）
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np
服从二项分布的随机变量的期望
若ξ~B(n,p), 则Eξ=np