高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》易错题汇编含解析

数学高考《三角函数与解三角形》复习资料(1)
一、选择题
1．在ABC ∆中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =∆的面积为
1，
则BD 的长为（ ）
A ．32
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】 1
sin 1sin
2BCD BCD ∠=∴∠=
2
242
BD BD ∴=-=∴=,选C
2．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9
π
）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518
π
个单位长度 B ．向右平移518
π
个单位长度 C ．向左平移536
π
个单位长度 D ．向右平移
536
π
个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】
先将函数cos 29y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
转化为7sin 218
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】 函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-
=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数cos 29y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象上所有点向右平移
536π个单位长度，故选D ． 【点睛】
本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．
3．△ABC 中，已知tanA =13
，tanB =1
2，则∠C 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，
11
tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132
A B C A B A B A B π+
+=--=-=-
=---⋅， 所以135C ?o .
故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆
的面积S C =
，且
1,a b ==c =（ ）
A
B
C
D
【答案】B 【解析】
由题意得，三角形的面积1
sin 2
S ab C C ==，所以tan 2C =，
所以cos C =
， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=
，所以c =，故选B.
5．函数()[]()
cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．
53
π B ．2π
C ．
76
π D ．π
【答案】B 【解析】
根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】
令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1
sin 2
x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-
或32x π=或6x π=或56
x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522
266
s π
πππ
π=-+
++=，故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
6．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）
A ．5
-
B ．
C
D 【答案】B 【解析】 【分析】
由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】
()()
sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()
max f x ∴sin 2cos θθ-=
又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】
本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.
7．在△ABC 中，7b =，5c =，3
B π
∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值.
因为7,5,3
b c B π
==∠=
，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，
即2
1
4925252
a a =+-⨯⨯
，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c
，若
()sin 03A B C π⎛
⎫+++= ⎪⎝⎭
，b =
2
c =，则角B =（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π 【答案】B 【解析】 【分析】
先由()sin 03A B C π⎛⎫
+
++= ⎪⎝
⎭求出3
A π
=
，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】
因为()sin 03A B C π⎛⎫
+++= ⎪⎝
⎭
所以
11sin sin 022A A A A A +==
所以tan A =0,2A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以3
A π
=
所以由余弦定理得：
22
2
22co 12322s a b c bc A -=+-=+=⎝⎭
所以a =
所以2
222
322cos 2a c b B ac ⎛+- +-===
因为0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以4
B π
=
故选：B 【点睛】
本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.
9．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2
π
ϕ<，且其图像关于直线0x =对
称，则（ ）
A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为增函数
B ．()y f x =的最小正周期为
2π，且在(0,)4
π
上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为减函数
D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4
π
上为减函数
【答案】C 【解析】
试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6
x π
ϕ=++，∵函数图像关于直
线0x =对称，
∴函数()f x 为偶函数，∴3
π
ϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22
T π
π=
=， ∵02
x π
<<
，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,
)2
π
上为减函数.
考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.
10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,3,sin a b c a c b A ===
cos ,6a B b π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭则( )
A ．1
B
C D
【答案】C 【解析】 【分析】
将sin b A = cos 6a B π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
结合正弦定理化简，求得B ，再由余弦定理即可求得b ． 【详解】
因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，展开得
sin b A =1?
cos sin 2
B a B -，由正弦定理化简得
sin sinB A =1?
cos sin 2
B sinA B -= cos B
即3
tanB =
，而三角形中0<B<π，所以π 6B =
由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入
(2
22
3236
b π
=+-⨯⨯
解得b =所以选C 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．
11．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，2cos2sin 4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）
A ．7
8-
B ．
78
C ．18
-
D ．
18
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4
αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
所以(
)
22
2cos sin sin
cos cos
sin 4
4
π
π
αααα-=-
所以()(
))2cos sin cos sin cos sin 2
αααααα-+=
- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭
Q ，
所以cos sin αα+=
所以()2
1cos sin 8αα+=，即22
1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28
α+= 所以7sin 28
α=- 故选：A 【点睛】
本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线
3
x π
=
对称；③在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
B ．sin 26x y π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
D ．cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】
逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为241
2
π
π
=,故排除B ；
又cos 2cos 03
62π
ππ⎛⎫
⨯
-
== ⎪⎝
⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-
≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，
故排除D ；
令22
6
2
x π
π
π
-
≤-
≤
，得63x ππ-
≤≤，所以函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递
增．由周期公式可得22T π
π=
=,当3x π=时,sin(2)sin 1362
πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭同时满足三个性质.
故选A ． 【点睛】
本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.
13．在OAB ∆
中，已知OB =u u u v 1AB u u u v
=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v
的最小值为（ ）
A
．
5
B
C
．
3
D
．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据OB =u u u r
,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r
.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r
的最小值.
【详解】
在OAB ∆中,
已知OB =u u u r
,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒
由正弦定理可得sin sin AB OB
AOB OAB
=
∠∠u u u r u u u r
sin 2
OAB =
∠,解得sin 1OAB ∠=
即2
OAB π∠=
所以OAB ∆为等腰直角三角形
以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭
所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)
2,0OB =u u u
r
因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r
则)
222,022OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭
u u u r 222,22λμλ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
= 则2
2
22222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r 2222λλμμ=++
因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得
()()2
2322232λλλλ+-+-218518λλ-=+2
99555λ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭所以当95λ=时, min 935
5OP ==
u u u r 故选:A 【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
14．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )
A
．y = B
．3
y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
15．
40
cos2d cos sin x
x x x
π
=+⎰
（ ）
A
．1) B
1
C
1
D
．2【答案】C 【解析】 【分析】
利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】
因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x
-==-++，
∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0x x x x x x x x x π
ππ
=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】
本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.
16．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．
D ．﹣2 【答案】B
【解析】
【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】 因为向量m =r (1，cosθ)，n =r (sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r 因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.
【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
17．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）
A
B
． C ．1 D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．
【详解】
如图：
()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，
在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC
=∠∠， 因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244
AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 14B ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
1sin 152
ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.
18．化简21sin 352sin 20︒︒-
=（ ）
A ．12
B ．12-
C ．1-
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】 依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==
，23AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π 【答案】C
【解析】
【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP =
=，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.
【详解】 在ABC V 中，23AB AC ==，23BAC π∠=，可得6
ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6
AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
20．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭；
④tan 24y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A
【解析】 逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122
ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T π
π
== ；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③.
本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．。