高三数学-【数学】湖南省八校2018届高三上学期第二次

湖南省八校
2018—2018学年度高三年级联考
数学试题（文）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知向量(1,0)a =与向量(1,3)b =，则向量a 与b 的夹角是 （ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．56
π 2．若0a b <<，则下列不等式中不一定成立的是
（ ）
A ．
11a b
> B ．
11
a b b
>- C ．a b ->- D ．|a|>-b 3．一篮球运动员投篮命中的概率是1
2
，他连续投篮2次，则恰有1次命中的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．3
4
4．已知集合{}2|
21,A y y x x x R =
=--∈，1|,0B y y x x R x x ⎧⎫==+∈≠⎨⎬⎩⎭
且，则
()
R B A =ð
（ ）
A ．(2,2]-
B ．[2,2)-
C ．[2,)-+∞
D ．(2,2)-
5．设:211p x -≤，:()[(1)]0q x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数
a 的取值范围是
（ ）
A ．1
[0,]2
B ．1(0,)2
C ．(,0]-∞∪1[,)2+∞
D ．(,0)-∞∪1(,)2
+∞
6．函数sin()
4()2|sin |sin cos x f x x x x
π
-=⋅-是
（ ）
A ．周期为2
π
的偶函数 B ．周期为π的非奇非偶函数
C ．周期为π的偶函数
D ．周期为2
π
的非奇非偶函数
7．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的正数,x y ，都有
()f xy =()()f x f y +，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 (2)()(3)n n f S f a f +-=()n N *∈，则3a =
（ ）
A ．9
B ．
3
2
C ．
94 D ．
49
8．已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34
ππ
-上的最小值是2-，则ω的取值范围为（ ） A ．9(,]2
-∞-
B ．(,2]-∞-
C ．3(,2][,)2-∞-+∞
D ．9(,][6,)2
-∞-+∞
9．已知函数2
()11f x ax b x =-+-，其中{}{}
0,1,1,2a b ∈∈，则使得()0f x >在[1,0]x ∈-上有解的概率为
（ ）
A ．
1
2
B ．
13 C ．
14
D ．0
10．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点（不是顶
点），从点A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP 分别交于Q ，R 两点，其中O 为坐标原点，则2
||OP 与||||OQ OR ⋅的大小关系为 （ ）
A ．2
||||||OP OQ OR <⋅ B ．2
||||||OP OQ OR >⋅
C ．2||||||OP OQ OR =⋅
D ．不确定
频率
组距
0.0375
0.0125
50 55 60 65 70 75 体重 A
B C H
M
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频
率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是 ．
12．如图，在ABC ∆中，H 是BC 上任意一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，
则λμ+=__________．
13．将抛物线2(3)40(0)a x y a ---=≠按向量(3,4)v =-平移后所得抛物线的焦点坐标
为__________．
14．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，23a =，则9a =__________． 15．给出定义：若11
22
m x m -
<≤+ （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ①()y f x =的定义域是R ，值域是11
(,]22
-
； ②点(,0)()k k Z ∈是()y f x =的图像的对称中心； ③函数()y f x =的最小正周期为1； ④函数()y f x =在13
(,]22
-
上是增函数； 则其中真命题是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 中，123,,a a a b a c ===，a ，b ，c 分别为ABC ∆的三内角A ，B ，C 的对边，且3
cos 4
B =
． （1）求数列{}n a 的公比q ；
（2）设集合{}
2
|2||A x N x x *=∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式．
17．（本小题满分12分）
已知O 为坐标原点，向量(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)OA OB OC ααα===-，点P 是直线AB 上的一点，且点B 分有向线段AP 的比为1． （1）记函数()f PB CA α=⋅，(,)82
ππ
α∈-
，讨论函数f （α）的单调性；
（2）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值．
若关于x 的实系数方程2
0x ax b ++=有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在
区间（1，3）内，记点（a ，b ）对应的区域为S ． （1）设2z a b =-，求z 的取值范围；
（2）过点(5,1)-的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域S ，求反射光线所在直线l 经
过区域S 内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l 的方程．
19．（本小题满分12分）
已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”． （1）判断函数()1,g x x x R =+∈是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）若()F x kx b =+，其中0,k x R ≠∈满足“2和性质”，则是否存在实数a ，使得
()2(9)cos sin (1)F F a F θθ<+<对任意的(0,)θπ∈恒成立？若存在，求出a 的范
围；若不存在，请说明理由．
F 2 T
O
P
y
x
已知曲线:4,:4()x x n n C y C y n N +*==∈，从C 上的点(,)n n n Q x y 作x 轴的垂线，交
n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点111(,)n n n Q x y +++，设111,,n n n x a x x +==-1
n n n
y b y +=
． （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记4
n n n
c a b =
，数列{}n c 的前n 项和为n S ，试比较n S 与3732的大小()n N *∈．
21．（本小题满分14分）
已知椭圆22222
221(0,)x y a b c a b c a b
+=>>>=+的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2
为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于
3
()2
a c -． （1）证明：椭圆上的点到F 2的最短距离为a －c ； （2）求椭圆的离心率e 的取值范围；
（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为(0)k k >的直
线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若OA OB ⊥，求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值．
参考答案
1．B 2．B 3．A 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C 11．48 12．
12
13．1
(0,)4a 14．17 15．①③ 16．解：（1）依题意知：2
b a
c =，由余弦定理得：
222113
cos ()2224
a c
b a
c B ac c a +-==⨯+-=， （3分）
而
2c q a =，代入上式得22q =或21
2
q =，又在三角形中,,a b c 0>， 2q ∴=或2
2
q =
； （6分） （2）
2422||,40x x x x <∴-<，即22(4)0,22x x x -<∴-<<且0x ≠，
（9分） 又x N *
∈，所以{}11,1A a ∴=∴=，1(2)n n a -=或1
2(
)2
n n a -= ．
（12分） 17．解：依题意知：(sin ,1),(cos ,0),(sin ,2)A B C ααα-，设点P 的坐标为(,)x y ，则：sin 1cos ,01111
x y
αα++=
=++，所以2cos sin ,1x y αα=-=-，
点P 的坐标为(2cos α-sin ,1)α- （4分）
2(1)(sin cos ,1),(2sin ,1)
()2sin 2sin cos 1
(sin 2cos 2)
2sin(2) (6)
4
PB CA f PB CA αααααααααπ
α=-=-∴=⋅=--=-+=-+分
由52(0,
)4
4π
πα+
∈可知函数()f α的单调递增区间为(,)82
ππ， 单调递减区间为(,)88
ππ
-
； （8分） 22224
(2),,1(sin )2(2cos sin ),tan ,(10)
3
2sin cos 2tan 24
sin 2,25sin cos 1tan 74
||(sin cos )1sin 22 (12)5
O P C OA OB αααααααααααααα-⨯-=⨯-∴=∴===++∴+=++=+=
由三点共线得分分
a
b
1-A (-4, 3)
B
C O 3
-1
-9
-18．解：方程2
0x ax b ++=的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是：
函数2()y f x x ==ax b ++与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内，
由此可得不等式组(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即010390b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
，则在坐标平面aOb 内，
点(,)a b 对应的区域S 如图阴影部分所示， 易得图中,,A B C 三点的坐标分别为
(4,3),(3,0),(1,0)--- （4分），
（1）令2z a b =-，则直线2b a z =-经过
点A 时z 取得最小值，经过点C 时z 取得最 大值，即min max 11,2z z =-=-，
又,,A B C 三点的值没有取到，所以112z -<<-；（8分）
（2）过点(5,1)-的光线经x 轴反射后的光线必过点(5,1)--，由图可知 可能满足条件的整点为(3,1),(3,2),(2,2),(2,1)----， 再结合不等式知点(3,1)-符合条件，所以此时直线方程为：
1(1)
1(5)3(5)
y x --+=
⋅+---，即4y x =+． （12分）
19．解：（1）函数()1,g x x x R =+∈的反函数是1
()1g x x -=-，x R ∈，
1(1),g x x -∴+=而(1)2,g x x x R +=+∈，其反函数为2,y x x R =-∈，
故函数()1,g x x x R =+∈不满足“1和性质”； （4分） （2）设函数()F x kx b =+满足“2和性质”，
0.k ≠1(),,x b F x x R k --∴=
∈12(2)x b
F x k
-+-+=， 而(2)(2),F x k x b x R +=++∈，得反函数2x b k
y k --=
由“2和性质”定义可知2x b k +-=2x b k
k --对x R ∈恒成立，1,,k b R ∴=-∈
即函数()F x x b =-+，x R ∈，在(,)-∞+∞上递减， （8分）
所以假设存在实数a 满足2(9)(cos F F θ<+sin )(1)a F θ<， 即2
1cos sin 9a θθ<+<对任意的()0,θπ∈恒成立，
它等价于22800t at t at ⎧-+>⎨-<⎩
在(]0,1t ∈上恒成立．280t at -+>，(]0,1t ∈⇔8
a t t <+，
易得9a <．而2
0t at -<知a t >所以1a >．
综合以上有当19a <<使得()
2
cos sin 3f a θθ+<对任意的()0,θπ∈恒成立 （12
分）
20．解：（1）依题意点n P 的坐标为1(,)n n x y +，114
4n
n x n
x n y +++∴==，
1n n x x n +∴=+， （2分）
∴121(2)(1)n n n x x n x n n --=+-=+-+-
=
112(1)x n =+++
+-(1)
12
n n -=
+； （6分） （2）114n n c n -=⋅，由137132S =<，2
1937
18832S =+=<， 3115537
18484832
S =++=<， （9分）
∴当3n >时，21
1111
124344n n S n -=+
+++⨯⨯⨯ 231
1111124343434n -<+++++
⨯⨯⨯⨯
221
11(1)119114411838369414
n n --⨯-=++⨯=+-⨯- 1911378329432
n -<+-=⨯． （13分）
21．解：（1）设椭圆上任一点Q 的坐标为00(,)x y ，Q 点到右准线的距离为2
0a d x c
=-， 则由椭圆的第二定义知：
2||QF c d a =，20||c
QF a x a
∴=-，又0a x a -≤≤， ∴当0x a =时，2min ||QF a c =-；
（4分）
（2）依题意设切线长22
2||||()PT PF b c =--， ∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，
223
()()()2
a c
b
c a c ∴---≥-， 1
02
b c a c -∴<
≤-， （6分） 从而解得
3252e ≤<
，故离心率e 的取值范围是32
52
e ≤<； （8分） （3）依题意Q 点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x =-，
联立方程组 22
2(1)1y k x x y a
=-⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 得22
2
22
22
2
(1)20a k x a k x a k a +-+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，
则有22122221a k x x a k +=+，222
12221
a k a x x a k -=+，
代入直线方程得2
121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)
1
k a a k -=+，
22
1212221
k a x x y y a k -⋅+⋅=+，又O A O B ⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a ∴⋅=∴+=∴=，
（11分）
k a ∴=，直线的方程为0ax y a --=，圆心2F (,0)c 到直线l 的距离2
||1
ac a d a -=
+，
由图象可知
F 2 T
O
P
y
x
2222222|1|212142221912121221
d c c c c c s a a c a c c --+-+=====-+++++-+，
3252e ≤<，351,21342c c ∴≤<≤+<，∴241(0,]41
s ∈， 所以max 24141
s = （14分）。