人教版八年级数学上册 全册全套试卷同步检测(Word版 含答案)

人教版八年级数学上册 全册全套试卷同步检测（Word 版 含答案）
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ∆=，则AB 的长度为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】
作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度
【详解】
作EH AB ⊥
∵AE 平分∠BAC
BAE CAE ∴∠=∠
EC EH ∴=
∵P 为CE 中点
4EC EH ==∴
∵D 为AC 中点，P 为CE 中点
=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设，
15x BEF S =-△∴
15+x+y BCD BDA S S ==△△∴
y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴
15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴
1=302
BEA S AB EH ⨯=△∵ =15AB ∴
【点睛】
本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用
△BFP 的面积来表示△BEA 的面积
2．如图，ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ︒︒︒∠=∠=∠=，则n =__________.
【答案】78.
【解析】
【分析】
利用ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到
∠DBC=
12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12
∠A=30︒，利用外角定理得到∠DEH=96︒，由EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48︒，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78︒.
【详解】
∵ABC ∆的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D
∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12
(∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180︒，∠A+∠ABC+∠ACB=180︒，
∴∠D=12
∠A=30︒， ∵84BEH ︒∠=,
∴∠DEH=96︒,
∵EFD ∆与EFH ∆关于直线EF 对称，
∴∠DEG=∠HEG=48︒，∠DFG=∠HFG n ︒=,
∵∠DFG=∠D+∠DEG=78︒，
∴n=78.
故答案为：78.
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12
∠A=30︒是解题的关键.
3．若△ABC 三条边长为a ，b ，c ，化简：|a -b -c |-|a +c -b |=__________．
【答案】2b-2a
【解析】
【分析】
【详解】
根据三角形的三边关系得：a ﹣b ﹣c ＜0，c +a ﹣b ＞0， ∴原式=﹣(a ﹣b ﹣c )﹣(a +c ﹣b )=﹣a +b +c ﹣a ﹣c +b =2b ﹣2a ．
故答案为2b ﹣2a
【点睛】
本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.
4．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．
【答案】720°．
【解析】
【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．
【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒
=6， 所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
故答案为720°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n ﹣2）•180 （n≥3）且n 为整数）；多边形的外角和等于360度．
5．如图，七边形ABCDEFG 中，AB ，ED 的延长线交于点O ，若l ∠，2∠，3∠，4∠的外角和等于210，则BOD ∠的度数为______．
【答案】30
【解析】
【分析】
由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∠BOD ．
【详解】
1∠、2∠、3∠、4∠的外角的角度和为210，
12342104180∠∠∠∠∴++++=⨯，
1234510∠∠∠∠∴+++=，
五边形OAGFE 内角和()52180540=-⨯=，
1234BOD 540∠∠∠∠∠∴++++=，
BOD 54051030∠∴=-=．
故答案为：30
【点睛】 本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内时，∠A 与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是__________．
【答案】2∠A ＝∠1＋∠2
【解析】
【分析】
根据∠1与∠AED 的2倍和∠2与∠ADE 的2倍都组成平角，结合△AED 的内角和为180°可求出答案．
【详解】
∵△ABC 纸片沿DE 折叠，
∴∠1＋2∠AED ＝180°，∠2＋2∠ADE ＝180°，
∴∠AED ＝12（180°−∠1），∠ADE ＝12
（180°−∠2）， ∴∠AED ＋∠ADE ＝12（180°−∠1）＋12（180°−∠2）＝180°−12
（∠1＋∠2） ∴△ADE 中，∠A ＝180°−（∠AED ＋∠ADE ）＝180°−[180°−
12（∠1＋∠2）]＝12（∠1＋∠2），
即2∠A ＝∠1＋∠2．
故答案为：2∠A ＝∠1＋∠2．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）
A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6
【答案】D
【解析】
如图所示:
AB=5，AC=7，
设BC=2a，AD=x，
延长AD至E，使AD=DE，
在△BDE与△CDA中，
∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE，
∴△BDE≌△CDA，
∴AE=2x，BE=AC=7，
在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6．
故选D．
8．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则
∠BMN的度数为( )
A．45°B．50°C．60°D．65°
【答案】B
【解析】
分析：过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．详解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，
∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，
∴NE=NG，NF=NG，
∴NE=NF，
∴MN平分∠BMC，
∴∠BMN=1
2
∠BMC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，
根据三等分,∠MBC+∠MCB=2
3
(∠ABC+∠ACB)=
2
3
×120°=80°.
在△BMC中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°.
∴∠BMN=1
2
×100°=50°；
故选：B.
点睛：本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.
9．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】C
【解析】
根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=1
2
∠A．
解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
∴∠1=1
2
∠ACE，∠2=
1
2
∠ABC，
又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，
∴∠D=1
2
∠A=25°．
故选C．
10．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【详解】
设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4=9．
故选C.
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
11．若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】
由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．
则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，
周长为6+6+3＝15，
故选B．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．
12．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（）
A．110°B．120°C．125°D．135°
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示，过E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴EG∥CD，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
又∵DE⊥BE，BF，DF分别为∠ABE，∠CDE的角平分线，
∴∠FBE+∠FDE=1
2
（∠ABE+∠CDE）=1
2
（360°﹣90°）=135°，
∴∠BFD=360°﹣∠FBE﹣∠FDE﹣∠BED=360°﹣135°﹣90°=135°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝
BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）
【答案】①③④⑤．
【解析】
【分析】
①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据
△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°
∴∠ACE＝60°
∴∠ACD＝∠BCE＝120°
在△ACD和△BCE中
CA CB
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴AD＝BE；
②∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD＝∠CBE
在△ACN和△BCM中
ACN BCM
CA CB
CAN CBM
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ACN≌△BCM(ASA)
∴AN＝BM；
③∵∠CAD+∠CDA＝60°
而∠CAD＝∠CBE
∴∠CBE+∠CDA＝60°
∴∠BPD＝120°
∴∠APM＝60°；
④∵△ACN≌△BCM
∴CN＝BM
而∠MCN＝60°
∴△CMN为等边三角形；
⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图
∵△ACD≌△BCE
∴CQ＝CH
∴CP平分∠BPD.
故答案为：①③④⑤．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.
14．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B,C,D在同一条直线上，已知
AC=AE=CD,∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF,EF,分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为____________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由角平分线和三角形的内角和定理可得∠AFC=135°，由△AFC≌△DFC可得
∠DFC=∠AFC=135°，可得∠AFD=90°．同理可得∠CFE=90°，可求得∠MFN=45°，过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，由正方形的半角模型可得MN=MP+NQ，由此即可得出答案．
【详解】
解：过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，过点F作FG⊥FM，交BC于点G．
∵点F 是∠BAC 和∠BCA 的角平分线交点，
∴FP =FQ =3，
∵∠ABC =90°，
∴四边形BPFQ 是正方形，
∴BP =BQ =3．
在Rt △ABC 中，∠BAC +∠BCA =90°，
∵AF 、CF 是角平分线，
∴∠FAC +∠FCA =45°，
∴∠AFC =180°-45°=135°．
易证△AFC ≌△DFC （SAS ），
∴∠AFC =∠DFC =135°，
∴∠ADF =90°，
同理可得∠EFC =90°，
∴∠MFN =360°-90°-90°-135°=45°．
∵∠PFM +∠MFN =90°，∠MFN +∠QFG =90°，
∴∠PMF =∠QFG ，
∵∠FPM =∠FQG =90°，FP =FQ ，
∴△FPM ≌△FQG （ASA ），
∴PM =QG ，FM =FG ．
在△FMN 和△FGN 中
45FM FG MFN GFN FN FN =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
∴△FMN ≌△FGN （SAS ），
∴MN =NG ，
∴MN =NG =NQ +QG =PM +QN ，
∴△BMN 的周长为：
BM +BN +MN
= BM +BN + PM +QN
=BP +BQ
=3+3
=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质，以及全等三角形常用辅助线的作法，作出辅助线，准确的找出全等三角形是解决此题的关键．
15．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，若点O到三边的距离相等，则∠BOC＝
_____°．
【答案】115或65或22.5
【解析】
【分析】
先画出符合的图形，再根据角平分线的性质和三角形的内角和定理逐个求出即可．
【详解】
解：①如图，
∵点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三角的平分线的交点，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠OBC＝1
2
∠ABC＝30°，
1
OCB
2
∠=∠ACB＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°；
②如图，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，∠FCB＝180°﹣∠ACB＝110°，∵点O到三边的距离相等，
∴O是∠EBC和∠FCB的角平分线的交点，
∴∠OBC＝1
2
∠EBC＝60°，
1
OCB
2
∠=∠FCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝65°；
③如图，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，
∵点O到三边的距离相等，
∴O是∠EBA和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBA＝1
2
∠EBA＝
1
2
×（180°﹣60°）＝60°，
1
OCB
2
∠=∠ACB＝37.5°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBA+∠ABC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣60°﹣37.5°）＝22.5°；
如图，
此时∠BOC＝22.5°，
故答案为：115或65或22.5．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是根据题意分情况讨论.
16．已知在△ABC 中,两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是________．
【答案】16或12．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，CG=AG，分两种情况讨论：①DE和FG的交点在
△ABC内，②DE和FG的交点在△ABC外．
【详解】
∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，∴AE=BE，CG=AG．分两种情况讨论：①当DE和FG的交点在△ABC内时，如图1．
∵BC=12，GE=2，∴AE+AG=BE+CG=12+2=14，△AGE的周长是AG+AE+EG=14+2=16．
②当DE和FG的交点在△ABC外时，如图2，△AGE的周长是AG+AE+EG= BE+CG
+EG=BC=12．
故答案为：16或12．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
17．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF 2=EC 2﹣EF 2； ④BA+BC=2BF ．其中正确的是
_____．
【答案】①②③④．
【解析】
【分析】
根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及
Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.
【详解】
①∵BD 为△ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD ，
在△ABD 和△EBC 中，
BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），
∴①正确；
②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴∠BCE=∠BDA ，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，
∴△ACE 为等腰三角形，
∴AE=EC ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴AD=EC ，
∴AD=AE=EC ，
∵EF ⊥AB ，
∴AF 2=EC 2﹣EF 2；
∴③正确；
④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，
∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，
在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，
BE BE EF EG
=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），
∴BG=BF ，
在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，
EF FG AE CE
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），
∴AF=CG ，
∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，
∴④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
18．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，CO＝3，则两平行线间AB、CD的距离等于________．
【答案】4
【解析】
试题解析：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，
∴OM=OE=2，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=2，
∴MN=OM+ON=4，
即AB与CD之间的距离是4．
点睛：要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）
A．2种B．3种C．4种D．6种
【答案】C
【解析】
【分析】
①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证
△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证
△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
【详解】
解：有①②，①③，②④，③④，共4种，
①②，
理由是：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC OB OC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
③④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC
BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故选C．
20．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D,其中正确的是( )
A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝
∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.
【详解】
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，
∵∠BCD＝30°，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴点A，点C，点B，点D四点共圆，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，
∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，
∵DF为∠BDA的平分线，
∴∠ADF＝∠BDF，
∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，
∴AD≠AF，故②不合题意，
如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，
∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，
∴△ADF≌△HDF(SAS)
∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，
∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，
∴∠HBF＝∠BFH＝15°，
∴BH＝HF，
∴BH＝AF，
∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，
∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，
∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，
∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，
∴△BDG≌△BDE(SAS)
∴∠BGD＝∠BED＝75°，
∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，
∴∠GBC＝∠BGC＝75°，
∴BC＝BG，
∴BC＝BG＝2DE+EC，
∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，
故选：C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 利用“角边角”证明△APE 和△CPF 全等，根据全等三角形的可得AE=CF ，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP 是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE 的面积等于△CPF 的面积相等，然后求出四边形AEPF 的面积等于△ABC 的面积的一半．
【详解】
∵AB=AC ，∠BAC=90°，点P 是BC 的中点，
∴AP ⊥BC ，AP=PC ，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF 是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF ，
在△APE 和△CPF 中，
45APE CPF AP PC
EAP C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），
∴AE=CF ，故①②正确；
∵△AEP ≌△CFP ，同理可证△APF ≌△BPE ，
∴△EFP 是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE ≌△CPF ，
∴S △APE =S △CPF ，
∴四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =
12S △ABC ．故④正确， 故选C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF ，从而得到△APE 和△CPF 全等是解题的关键，也是本题的突破点．
22．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连
OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；
③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；
④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CD P ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.
【详解】
①正确，理由如下：
∵ACB DCE α∠=∠=,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
又∵CA=CB,CD=CE,
∴ACD BCE ≅△△(SAS),
∴AD=BE,
故①正确；
②正确，理由如下：
由①知，ACD BCE ≅△△，
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠DOB 为ABO 的外角,
∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,
∴∠CBA+∠BAC=180°-α,
即∠DOB=180°-α,
故②正确；
③错误，理由如下：
∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,
∴AM=
12AD,BN= 12
BE, 又∵由①知，AD=BE,
∴AM=BN,
又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,
∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,
∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,
∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,
∴MCN △不是等边三角形，
故③错误；
④正确，理由如下：
如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，
由①知，ACD BCE ≅△△，
∴∠CEO=∠CDP ,
又∵CE=CD,EO=DP ,
∴CEO CDP ≅(SAS),
∴∠COE=∠CPD,CP=CO,
∴∠CPO=∠COP ,
∴∠COP=∠COE,
即OC 平分∠AOE,
故④正确；
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.
23．在△ABC 与△DEF 中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ） A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F B ．AC ＝DE ，∠B ＝∠E ，∠A ＝∠F
C ．AC ＝DF ，BC ＝DE ，∠C ＝∠
D D ．AB ＝EF ，∠A ＝∠
E ，∠B ＝∠F
【答案】B
【解析】利用全等三角形的判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等；
故选：D．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
24．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：
①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=1
2
∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①正确；
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
过点F作FH⊥AB于点H，
∵BE 平分∠ABC ，且AD ⊥BC ，
∴FD=FH ＜FA ，故③错误；
∵AM ⊥EF ，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，
在△FBD 和△NAD 中
{FBD DAN
BD AD
BDF ADN
∠∠∠∠＝＝＝ ∴△FBD ≌△NAD ，
∴DF=DN ，故④正确；
故选C ．
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC 为一边作等边三角形OCD ，连接AC 、AD ，当△AOD 是等腰三角形时，求α
的角度为______
【答案】110°、125°、140°
【解析】
【分析】
先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD ，则∠AOD=∠ADO ，②OA=OD ，则∠OAD=∠ADO ，③OD=AD ，则∠OAD=∠AOD ，分别求出α的角度即可.
【详解】
解：∵设∠CBO=∠CAD=a ，∠ABO=b ，∠BAO=c ，∠CAO=d ，
则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，
∴b ﹣d=10°，
∴（60°﹣a ）﹣d=10°，
∴a+d=50°，
即∠DAO=50°，
分三种情况讨论：
①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，
∴190°﹣α=50°，
∴α=140°；
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，
故答案为：110°、125°、140°.
【点睛】
本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．
【详解】
解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．
27．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，
∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．
【答案】8．
【解析】
【分析】
作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
【详解】
解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠DBC=∠D=60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴△EFD 为等边三角形，
∵BD=5，DE=3，
∴EM=2，
∵△BDM 为等边三角形， ∴∠DMB=60°，
∵AN ⊥BC ，
∴∠ENM=90°，
∴∠NEM=30°，
∴NM=1，
∴BN=4，
∴BC=2BN=8（cm ），
故答案为8．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
28．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
延长AB 至F ，使BF =CN ，连接DF ，通过证明△BDF ≌△CDN ，及△DMN ≌△DMF ，从而得出MN =MF ，△AMN 的周长等于AB +AC 的长．
【详解】
延长AB 至F ，使BF =CN ，连接DF ．
∵BD =CD ，且∠BDC =140°，
∴∠BCD =∠DBC =20°．
∵∠A =40°，AB =AC =2，
∴∠ABC =∠ACB =70°，
∴∠DBA =∠DCA =90°．
在Rt △BDF 和Rt △CND 中，
∵BF =CN ，∠DBA =∠DCA ，DB =DC ，
∴△BDF ≌△CDN ，
∴∠BDF =∠CDN ，DF =DN ．
∵∠MDN =70°，
∴∠BDM +∠CDN =70°，
∴∠BDM +∠BDF =70°，
∴∠FDM =70°=∠MDN ．
∵DF =DN ，∠FDM =∠MDN ，DM =DM ，
∴△DMN ≌△DMF ，
∴MN =MF ，
∴△AMN 的周长是：AM +AN +MN =AM +MB +BF +AN =AB +AC =4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．
29．如图，30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上
周长的最小值为_______.
的动点，则PQR
【答案】10
【解析】
【分析】
作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，利用对称的性质得到△PQR周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR周长的最小值
【详解】
解：
作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，
则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，
∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，
∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，
∵由对称性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，
∴△P′OP″为等边三角形，
∴P′P″=OP′=OP=10，
故答案是：10.
【点睛】
本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．
30．如图， 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B′F 的长为_________
【答案】8
5
【解析】
【分析】 首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE ，得出BF 的长，即 B′F 的长．
【详解】
解：根据折叠的性质可知：DE=AE ，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，B′F=BF ，
∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF =∠ACE+∠BCF ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
∴EF=CE ，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FE=90°，
∵S △ABC =
12AC•BC=12
AB•CE ， ∴AC•BC=AB•CE ， ∵根据勾股定理得：22226810AB
AC BC ∴ 4.8AC BC CE AB
⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC -=
∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=8
5，
故答案是：85
.
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键．
六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
31．如图,ABC ∆中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A ．1.5
B ．3
C ．4.5
D ．9
【答案】C
【解析】
【分析】 首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ，然后由DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大求出结论即可．
【详解】
延长BD 交AC 于点H ．设AD 交BE 于点O ．
∵AD ⊥BH ，∴∠ADB =∠ADH =90°，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠H +∠HAD =90°．
∵∠BAD =∠HAD ，∴∠ABD =∠H ，∴AB =AH ．
∵AD ⊥BH ，∴BD =DH ．
∵DC =CA ，∴∠CDA =∠CAD ．
∵∠CAD +∠H =90°，∠CDA +∠CDH =90°，∴∠CDH =∠H ，∴CD =CH =AC ．
∵BD =DH ，AC =CH ，∴S △CDH =12
S △ADH 14=S △ABH ．
∵AE =EC ，∴S △ABE 14
=S △ABH ，∴S △CDH =S △ABE ． ∵S △OBD ﹣S △AOE =S △ADB ﹣S △ABE =S △ADH ﹣S △CDH =S △ACD ．
∵AC =CD =3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为12⨯3×392
=
． 故选C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
32．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：
①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；
④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；
③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；
④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.
【详解】
连接OB ，
∵AB AC =，AD ⊥BC ，
∴AD 是BC 垂直平分线，
∴OB OC OP ==，
∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，
∵AB=AC，∠BAC=120∘
∴30
ABC ACB
∠=∠=︒
∴30
ABO DBO
∠+∠=︒，
∴30
APO DCO
∠+∠=．
故①②正确；
∵OBP
∆中，180
BOP OPB OBP
∠=︒-∠-∠，
BOC
∆中，180
BOC OBC OCB
∠=︒-∠-∠，
∴360
POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB
∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，
∵OPB OBP
∠=∠，OBC OCB
∠=∠，
∴260
POC ABD
∠=∠=︒，
∵PO OC，
∴OPC
∆是等边三角形，
故③正确；
在AB上找到Q点使得AQ=OA，
则AOQ
∆为等边三角形，
则120
BQO PAO
∠=∠=︒，
在BQO
∆和PAO
∆中，
BQO PAO
QBO APO
OB OP
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
∴BQO PAO AAS
∆∆
≌（），
∴PA BQ
=，
∵AB BQ AQ
=+，
∴AB AO AP
=+，故④正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证
BQO PAO
∆∆
≌是解题的关键．
33．如图钢架中，∠A=a,焊上等长的钢条P1P2, P2P3, P3P4, P4P5……来加固钢架.著P1A= P1P2,
且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )
A ．15°≤ a <18°
B ．15°< a ≤18°
C ．18°≤ a <22.5°
D ．18° < a ≤ 22.5°
【答案】C
【解析】
【分析】
由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.
【详解】
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴∠P 1P 2A=∠A=a
由三角形外角性质，可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a
同理可得，∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ，
∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ，
∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ，
在△P 4P 3P 5中，∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a
当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时，不能再放钢管，
∴3180890+-≤a a ，解得a ≥18°
又∵等腰三角形底角只能是锐角，
∴4a ＜90°，解得a ＜22.5
∴1822.5οο≤<a
故选C.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.
34．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，E 为线段AD 上一点，过E 点的线段FG 交CD 的延长线于G 点，交AC 于F 点，且EG ＝AE ，分别延长CE ，BG 交于点H ，若EH 平分∠AEG ，HD 平分∠CHG 则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD ＝ED ；③EF ＝2DM ；④CG ＝2DE +AE ，正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出
∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；
通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED2MD，再通过证明
△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．
【详解】
∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．
∵EH平分∠AEG，
∴∠AEH=∠GEH．
∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，
∴∠AEC=∠CEG．
∵AE=GE，EC=EC，
∴△AEC≌△GEC（SAS），
∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．
∵∠EDG=90°，
∴∠DEG=∠DGE=45°，
∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，
故②正确；
∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，
∴△EDC≌△GDB（SAS），
∴∠CED=∠BGD，ED=GD．
∵HD平分∠CHG，
∴∠GHD=∠EHD．
∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，
∴∠HDG=∠HDE．。