证明线线平行的方法-图文
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3、面面平行的判定定理3—— 同时与第三个平面平行的两平面平行
证明线线垂直的方法 （1）线面垂直的性质——
一直线与平面垂直， 则直线与平面内的所有直线垂直 （2）三垂性定理及逆定理：
注意条件 （3）等腰三角形中线即高
4、勾股定理
证明线面垂直的方法 （1）线面垂直的判定定理——
直线与平面内的两相交直线垂直 （2）面面垂直的性质—— 若两平面垂直,
并交待射影与某角是直线与平面所成角
3）求—— 把角放到直角三角形中去求
关键：找射影， 找射影的关键是从斜线上一点作面的垂线
3、二面角—— 方法： （1）三垂线定理法（最常用）
（2）定义法—— 全等三角形或等腰三角形
（3）垂面法
（4）面积射影定理法—— 无棱二面角
无棱二面角的求法
法一、先作出二面角的棱，再根据有棱二 面角的平面角的作法作出其平面角求解
位置法、 元素法、 间接法
2、相邻问题
捆绑法
3、不相邻问题
插空法
4、其它 投信法、等可能法、列举法等
小结3、组合应用题的类型及处理方法
一、无条件的组合问题 二、有条件的组合问题
1、抽样问题
直接法 间接法
2、几何问题
直接法 间接法
3、分组问题
（不）均匀分组
4、其它 等可能法、无序插空法等
小结4、排列与组合的混合题
S
A B
E D
O
C
3、正棱锥的性质——
(1) 各侧棱相等，各侧面都是
S
全等的等腰三角形.
斜高相等
(2) 高、斜高和斜高射影
A
高、侧棱、侧棱射影 M
B
斜高、侧棱、底面边长的一半
E
O
D
C
斜高的射影、侧棱的射影，底面边长的一半
4、棱锥的面积与体积
正多面体与欧拉公式
一、球的截面性质
1、球心和不过球心的截面圆心的 连线垂直于截面；
（2）纬度相同，经度不同
先求纬度圈（小圆）中的弦长，
再在大圆中由余弦定理求球心角（弧度表示）
最后用l = |α| R
三、球的面积与体积公式
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切.
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上
有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各条棱,一球过正方体的各顶 点,求这三个球的体积之比.
注：定垂足的方法
1）面面垂直的性质——垂足定在棱上
1、棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角 相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形 的外心 2、棱锥的各侧面与底面所成角均相等，或顶 点到底面各边的距离相等，则顶点在底面上 的射影为底面多边形的内心（射影在内部）
3、三棱锥的三条侧棱两两垂直，顶点在底面 上的射影是底面三角形的垂心
（1）线面平行的判定定理——
a∥α
（2）面面平行的性质定理—— 若两平面平行, 则一平面内的任一直线与另一面平行
3、定义法—— 线面无公共点
证明面面平行的方法
（1）面面平行的判定定理1—— 若一平面内的两相交直线都平行于另一平面，
则两平面平行 （2）面面平行的判定定理2——
垂直于同一直线的两平面平行
三、长方体的性质
性质1、长方体的一条对角线长的平方等于 一个顶点上的三条棱的长的平方和。
性质2、长方体的一条对角线与一个顶点上
的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则有cos2α+cos2β+cos2γ=1 性质3、长方体的一条对角线与各个面所
成的角分别为为α、β、γ，
则有cos2α+cos2β+cos2γ=2
三棱锥三组对棱中有两组对棱垂直，那么 第三组也垂直，且顶点在底面上的射影为 底面三角形的垂心
求距离
3、线面距——特指线面平行时
转化为点面距
4、线线距——特指异面直线
直接法——公垂线明显时 转化法——线面距
面面距
练习: 如图：河堤斜面与水平面所成的二面角为 600，堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线 AB的夹角为300，沿这条直道从堤脚向上行走10m 时人升高了多少？（精确到0.1m）
法二、用面积射影法，此时无需作出二 面角的棱及其平面角
求距离
1、点线距——三垂线定理法 作——过点作线所在面的垂线得垂足，由垂足 向直线作垂线又得一垂足，连接该垂足与点 证——线线垂直，交待某线段即为所求距离 求——把线段放到直角三角形中去
2、点面距—— 直接法：直接过点作面的垂线
间接法：等体积法
证明线线平行的方法_图文.ppt
证明线线平行的方法
（1）线面平行的性质定理——
m∥α
（2）面面平行的性质定理—— 若一平面与两平行平面同时相交,则两交线平行
3、线面垂直的性质定理—— 同时与一平面垂直的两直线平行
4、公理4—— 平行于同一直线的两直线平行
5、定义—— 两线共面且无公共点
证明线面平行的方法：
2、定义法—— 二面角为900
角
1、两异面直线所成角 方法：平移法——
直接平移法、中位线平移法、补形平移法
步骤：作、证、求 作——作其中一异面直线的平行线 证——平行 并交待某角即为两异面直线所成角或补角
求——把角放到三角形中去解
2、线面角——主要指斜线与平面所成角 1）作—— 先在直线上取斜足以外的一点作平面的垂线 后连垂足与斜足得射影 2）证——证直线与平面垂直，
A
B
棱柱
1、特殊四棱柱及它们之间的关系
棱柱
四棱柱
平行六面体
底面是
底面是平
四边形
侧棱与行底四边形 面垂直
侧棱与底 面垂直
直四棱柱 底面是平直平行六面体
行四边形
底面是矩形
底面是 正方形
长方体
底面是正方形
正四棱柱
侧面是正方形
正方体
二、棱柱的性质 1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
作轴截面
棱长为a的正四面体内有一内切球，求 这个球的体积。
球与正四面体的6条棱都相切，求球与正四 面体的表面积之比。
对棱间的距离 = 球直径
小结1、排列与组合的最大区别：
“有序”为排列 “无序”为组合
小结2、排列应用题的类型及处理方法
一、无条件的排列问题 二、有条件的排列问题
1、某些元素必须排或不能排在一些位置上
则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面 3、线面垂直的性质——
两平行线中有一条与平面垂直，
则另一条也与平面垂直 4、面面平行的性质——
一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面
5、定义法—— 直线与平面内任一直线垂直
证明面面垂直的方法 （1）面面垂直的判定定理——
一平面经过了另一平面的一条垂线
四、棱柱的面积与体积
棱锥 1、棱锥的性质——
平行截面与底面相似，且面积比等 于小棱锥的高与大棱锥高的平方比。
小棱锥与大棱锥的侧棱长之比， 高之比，底面棱长之比相等
小棱锥的侧面积与原棱锥的侧面 积之比等于它们的对应高之比，也 等于底面积之比
2、正棱锥的定义——
1、底面是正多边形 2、顶点在底面的射影是底面中心
2、球心距d与球半径R、及截面圆的 半径r，有下面的关系：
d=0——大圆 0<d<R——小圆 d=R——点圆（相切）
二、球面上两点间的距离——
经过这两点的大圆在这两点间的一 段劣弧的长度
1、计算公式—— l = |α| R
α——球心角 R——球半径 2、类型
（1）经度相同，纬度不同 l=纬度差的绝对值×球半径
证明线线垂直的方法 （1）线面垂直的性质——
一直线与平面垂直， 则直线与平面内的所有直线垂直 （2）三垂性定理及逆定理：
注意条件 （3）等腰三角形中线即高
4、勾股定理
证明线面垂直的方法 （1）线面垂直的判定定理——
直线与平面内的两相交直线垂直 （2）面面垂直的性质—— 若两平面垂直,
并交待射影与某角是直线与平面所成角
3）求—— 把角放到直角三角形中去求
关键：找射影， 找射影的关键是从斜线上一点作面的垂线
3、二面角—— 方法： （1）三垂线定理法（最常用）
（2）定义法—— 全等三角形或等腰三角形
（3）垂面法
（4）面积射影定理法—— 无棱二面角
无棱二面角的求法
法一、先作出二面角的棱，再根据有棱二 面角的平面角的作法作出其平面角求解
位置法、 元素法、 间接法
2、相邻问题
捆绑法
3、不相邻问题
插空法
4、其它 投信法、等可能法、列举法等
小结3、组合应用题的类型及处理方法
一、无条件的组合问题 二、有条件的组合问题
1、抽样问题
直接法 间接法
2、几何问题
直接法 间接法
3、分组问题
（不）均匀分组
4、其它 等可能法、无序插空法等
小结4、排列与组合的混合题
S
A B
E D
O
C
3、正棱锥的性质——
(1) 各侧棱相等，各侧面都是
S
全等的等腰三角形.
斜高相等
(2) 高、斜高和斜高射影
A
高、侧棱、侧棱射影 M
B
斜高、侧棱、底面边长的一半
E
O
D
C
斜高的射影、侧棱的射影，底面边长的一半
4、棱锥的面积与体积
正多面体与欧拉公式
一、球的截面性质
1、球心和不过球心的截面圆心的 连线垂直于截面；
（2）纬度相同，经度不同
先求纬度圈（小圆）中的弦长，
再在大圆中由余弦定理求球心角（弧度表示）
最后用l = |α| R
三、球的面积与体积公式
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切.
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上
有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各条棱,一球过正方体的各顶 点,求这三个球的体积之比.
注：定垂足的方法
1）面面垂直的性质——垂足定在棱上
1、棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角 相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形 的外心 2、棱锥的各侧面与底面所成角均相等，或顶 点到底面各边的距离相等，则顶点在底面上 的射影为底面多边形的内心（射影在内部）
3、三棱锥的三条侧棱两两垂直，顶点在底面 上的射影是底面三角形的垂心
（1）线面平行的判定定理——
a∥α
（2）面面平行的性质定理—— 若两平面平行, 则一平面内的任一直线与另一面平行
3、定义法—— 线面无公共点
证明面面平行的方法
（1）面面平行的判定定理1—— 若一平面内的两相交直线都平行于另一平面，
则两平面平行 （2）面面平行的判定定理2——
垂直于同一直线的两平面平行
三、长方体的性质
性质1、长方体的一条对角线长的平方等于 一个顶点上的三条棱的长的平方和。
性质2、长方体的一条对角线与一个顶点上
的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则有cos2α+cos2β+cos2γ=1 性质3、长方体的一条对角线与各个面所
成的角分别为为α、β、γ，
则有cos2α+cos2β+cos2γ=2
三棱锥三组对棱中有两组对棱垂直，那么 第三组也垂直，且顶点在底面上的射影为 底面三角形的垂心
求距离
3、线面距——特指线面平行时
转化为点面距
4、线线距——特指异面直线
直接法——公垂线明显时 转化法——线面距
面面距
练习: 如图：河堤斜面与水平面所成的二面角为 600，堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线 AB的夹角为300，沿这条直道从堤脚向上行走10m 时人升高了多少？（精确到0.1m）
法二、用面积射影法，此时无需作出二 面角的棱及其平面角
求距离
1、点线距——三垂线定理法 作——过点作线所在面的垂线得垂足，由垂足 向直线作垂线又得一垂足，连接该垂足与点 证——线线垂直，交待某线段即为所求距离 求——把线段放到直角三角形中去
2、点面距—— 直接法：直接过点作面的垂线
间接法：等体积法
证明线线平行的方法_图文.ppt
证明线线平行的方法
（1）线面平行的性质定理——
m∥α
（2）面面平行的性质定理—— 若一平面与两平行平面同时相交,则两交线平行
3、线面垂直的性质定理—— 同时与一平面垂直的两直线平行
4、公理4—— 平行于同一直线的两直线平行
5、定义—— 两线共面且无公共点
证明线面平行的方法：
2、定义法—— 二面角为900
角
1、两异面直线所成角 方法：平移法——
直接平移法、中位线平移法、补形平移法
步骤：作、证、求 作——作其中一异面直线的平行线 证——平行 并交待某角即为两异面直线所成角或补角
求——把角放到三角形中去解
2、线面角——主要指斜线与平面所成角 1）作—— 先在直线上取斜足以外的一点作平面的垂线 后连垂足与斜足得射影 2）证——证直线与平面垂直，
A
B
棱柱
1、特殊四棱柱及它们之间的关系
棱柱
四棱柱
平行六面体
底面是
底面是平
四边形
侧棱与行底四边形 面垂直
侧棱与底 面垂直
直四棱柱 底面是平直平行六面体
行四边形
底面是矩形
底面是 正方形
长方体
底面是正方形
正四棱柱
侧面是正方形
正方体
二、棱柱的性质 1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
作轴截面
棱长为a的正四面体内有一内切球，求 这个球的体积。
球与正四面体的6条棱都相切，求球与正四 面体的表面积之比。
对棱间的距离 = 球直径
小结1、排列与组合的最大区别：
“有序”为排列 “无序”为组合
小结2、排列应用题的类型及处理方法
一、无条件的排列问题 二、有条件的排列问题
1、某些元素必须排或不能排在一些位置上
则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面 3、线面垂直的性质——
两平行线中有一条与平面垂直，
则另一条也与平面垂直 4、面面平行的性质——
一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面
5、定义法—— 直线与平面内任一直线垂直
证明面面垂直的方法 （1）面面垂直的判定定理——
一平面经过了另一平面的一条垂线
四、棱柱的面积与体积
棱锥 1、棱锥的性质——
平行截面与底面相似，且面积比等 于小棱锥的高与大棱锥高的平方比。
小棱锥与大棱锥的侧棱长之比， 高之比，底面棱长之比相等
小棱锥的侧面积与原棱锥的侧面 积之比等于它们的对应高之比，也 等于底面积之比
2、正棱锥的定义——
1、底面是正多边形 2、顶点在底面的射影是底面中心
2、球心距d与球半径R、及截面圆的 半径r，有下面的关系：
d=0——大圆 0<d<R——小圆 d=R——点圆（相切）
二、球面上两点间的距离——
经过这两点的大圆在这两点间的一 段劣弧的长度
1、计算公式—— l = |α| R
α——球心角 R——球半径 2、类型
（1）经度相同，纬度不同 l=纬度差的绝对值×球半径