第三节刚度矩阵(汇编)

第三节 刚度矩阵
——节点载荷与节点位移之间的关系
一、 单元刚度矩阵
1. 单元刚度矩阵
xj
单元e 是在节点力作用下处于平衡。

节点i 的节点力为
{}T
i xi
yi R R R ⎡⎤=⎣⎦ （i , j , m 轮换）
则单元e 的节点力列阵为
{}
T
e
T
T T m
i j
T
xm ym xi yi xj yj R R R R R R R R R R ⎡⎤⎣
⎦
⎡⎤⎣⎦
=
=
单元应力列阵为
{}
T
e
x y xy σσστ⎡⎤⎣⎦
=
假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元e 的三个节点的虚位移为
{}
*
*****
*e
T m
m i i j j
u v u v u v δ⎡⎤⎣
⎦
= 单元虚应变列阵为
{}
****T
x y xy εεεγ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
=
参照式（3-7），则单元虚应变为
{}
{}**e
e
B εδ⎡⎤⎣⎦=
作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：
{}{}*
e
T
e R δ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单元内的应力在虚应变上所做的功为：
{}{}*
T
e tdxdy εσ∆
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
⎰⎰
根据虚位移原理，可得单元的虚功方程
{}
{}{}
{}**e
T
T
e e R tdxdy δεσ∆
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=
⎰⎰
或
{}{}
{}{}*
*
e
T
T
T
e e B R tdxdy δδσ∆
⎛
⎫⎛⎫⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
⎝
⎭
=⎰⎰
故有
{}
{}e
T
B R tdxdy σ∆
⎡⎤⎣⎦
=
⎰⎰
将式（3-10）代入，的
{}
{}{}e
e
e
T
T
D B D B R B B tdxdy
tdxdy δδ∆∆
⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦==
⎰⎰⎰⎰
（3-27）
简记为
{}{}e
e e
k R δ⎡⎤
⎣⎦
= （3-29）
--------上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程） 其中
T
e
D B B k tdxdy ∆
⎡⎤⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
=
⎰⎰
（3-28） e
k ⎡⎤⎣⎦称之为单元刚度矩阵（简称为单刚）
，是66⨯矩阵。

如果单元的材料是均质的，矩阵D ⎡⎤⎣⎦中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵B ⎡⎤⎣⎦中的元素也是常
数，当单元的厚度也是常数时，注意到
dxdy ∆
=∆⎰⎰
，于
是单元刚度矩阵可简化为
T
e
B D B t k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
∆= （3-30） 将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：
66
e
ii ij im
ji jj jm mm mi
mj k
k k k k k k k k k ⨯⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
= （3-31）
其中任一子块[]rs k (r ，s=i ，j ，m ）是一个2×2子矩阵，
为
[][][][]T
r
s
rs k B D B t =∆ (r ，s=i ，j ，m ）
（1）对于平面应力问题
将[]B 和平面应力问题的弹性矩阵[]D 代入，得
T
rs r s k B D B t ⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=∆ ()
2
112
2
114122r s r s r s r s r s r s r s r s b b c c b c c b Et c b b c
c c b b μμμμμμμ--⎡
⎤
++⎢⎥
=⎢⎥
---∆⎢⎥
++⎢⎥⎣
⎦
(r ，s=i ，j ，m ） （3-32）
（2）对于平面应变问题
将[]B 和平面应变问题的弹性矩阵[]D 代入，得
()()()()()()()
12122112114112121212121e rs k b b c c b c c b r s r s r s r s E t c b b c c c b b r s r s r s r s
μμμμμμμμμμ
μμμμμ⎡
⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
--++----=
+-∆--++--- (r,s=i ，j ，m ） （3-33）
（注：是将式（3-32）中的,E μ分别换成2
1E μ
- 和
1μ
μ
-）
2. 单元刚度矩阵的性质 （1）
e
k ⎡⎤
⎣⎦
的物理意义
式（3-29）可完整写为
13141516
111221222324252633343536
3132434445464142555152535456616263646i i j
j
m
m
e
U k k k k k k V k k k k k k k k k k U k k k k k k k k V k k k k k k U k k k k k V
⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
566i
i j j m m e
u v u v u k v ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎣⎣
⎦⎦
⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎭
可见每个节点在x 和y 方向上有二个平衡方程，3个节点共有六个平衡方程。

单元刚度矩阵[]e
k 中的任一元素称为刚度系数，其物理意义为：
ij k -----当单元的第j 个节点有单位位移，而其它节点位移为
零时，需在单元第i 个节点位移方向上施加的节点力的大小。

例如， 23k 表示是第3个节点有水平（x ）方向单位位移（即
31u =）时，而其它节点位移分量均为零时，在第2个节点
所引起的铅垂（y ）方向的节点力。

（2）单元刚度矩阵只取决于单元形状，大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关。

即e
k ⎡⎤⎣⎦不随单元坐标平移而改变，这叫单元刚度的平移原理。

1
3
5
例如图示结构，有 [][]
(1)
(3)
k k = 另外，可以证明 []
[]
(1)
(2)
B B
=-
则有 []
[]
(1)
(2)
k k =
即单元旋转180︒后，单元刚度矩阵相等。

这是单元刚度旋转原理。

（3） 单元刚度矩阵是对称矩阵。

因为 []
[][]T
e
k B D B t ⎡⎤⎣⎦=∆
所以有
[]()[][][]()
T
T
e
T
t k B D B =
∆
[][][]T
T
T
T
B D B t =∆⎡⎤⎣⎦
[][][]T
B D B t
=∆e k ⎡⎤⎣⎦
= （4）单元刚度矩阵是奇异矩阵。

即 0e
k ⎡⎤⎣⎦
=
因为 {}[]
{}
e
e e R k δ=
当节点位移已知时，节点力是唯一确定的，而{}e
R 已知时，
{}e δ不能唯一确定，因为单元没有支承，可以产生任意的刚
体位移。

根据上述性质：对于上图结构，在节点力为零时，单元仍可产生刚体位移，即
0111213141516U k u k v k u k v k u k v i i i j j m m
==+++++此时 0u u u
u i j m
=== ，0
v v v v i j m === ，单元产生
刚体位移0u ，0v 为任意的。

故有
()()011131501214160k k k u k k k v +++++=
由于,00
u v 的任意性，则
0111315k k k ++= ， 0121416
k k k ++=
从而得
0111315121416
k k k k k k +++++= 同理可得：单元刚度矩阵任意一行（列）元素之和为零。

（5）单元刚度矩阵主对角线上的元素恒为正。

即 0(1,2,,6)ii k i >=L
二、 整体分析
假设弹性体被分成m 个单元和n 个节点，对每一个单元进行前面的运算，则得到m 组型如
{}{}
e e
e k R δ⎡⎤⎣⎦
=
的方程。

把这些方程集合起来，便可得到表征整体弹性体平衡的刚度方程：
{}{}
2121
22n n n n k R δ⨯⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦
= （3-37） 式中 1. {}21n δ
⨯-------整体结构的节点位移列阵，是由各节点
位移按节点号码从小到大顺序排列组成的，即
{}1
2T T T T n δδδδ
⎡⎤⎣
⎦=L
其中 {}T
i i
i u v δ⎡⎤⎣
⎦
= （i=1, 2，…，n ）
P 3
P
例如图示结构有
{}123411223344T
T T T T T
u v u v u v u v δδδδδ⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦
⎡⎤⎣⎦
==
2.
{}21n R ⨯-------整体结构的节点载荷列阵， 是由各
节点载荷按节点号码从小到大顺序排列组成的，即
{}
1
2T
T T
T n R R R R ⎡⎤⎣⎦=L
其中
{}T
i ix iy R R R ⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦
= （i=1, 2，…，n ）
例如图示结构有
{}114431
2
4032T x y x y T
T T T P P R R P R R R R R R R ⎡⎤⎣⎦
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
=
--
2. 22n n
k ⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦
-------整体结构的刚度矩阵（总刚）
（1）22n n
k ⨯⎡⎤⎣⎦
的组集（“对号入座”法）
22m
e n n
e
k k ⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=∑
例图示结构有 单元1
22
2421(1)424441121411ii ij im
ji jj jm mm mi mj k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣
⎦==
单元2
444243(2)24
2223343233ii ij im
ji jj jm mm mi mj k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦==
注：在单元刚度矩阵中，各子块的下标表示该子块在总刚中
的位置。

则总刚为
(1)(1)(1)
111214(1)(1)(2)(2)(1)(2)21
2222232424(2)(2)(2)
323334(1)(1)(2)(2)(1)(2)41
424243
44448800
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⨯++=++
（2）总刚的性质 ⅰ. 整体刚度矩阵的物理意义
[]K 中每一列元素的物理意义为：
欲使弹性体的某一个节点在坐标轴方向发生单位位移，而其它节点都保持为零状态，在各节点上所需要加施加的节点力。

由式可以看出，令节点1在坐标轴x 方向有单位位移，即11u =，而其余的节点位移为零时，即v 1=u 2=v 2=u 3=v 3=······= u 2n =v 2n =0，这样就可得到节点载荷列阵等于总刚[]k 的第一列元素组成的列阵，即
…………112211213141(21)1(2)1T
nx
ny x y x y T
n n R R R R R R K K K K K K ⎡
⎤
⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
-⎡⎤
⎣⎦
=
ⅱ. 总刚k ⎡⎤⎣⎦是对称矩阵 ⅲ. 总刚k ⎡⎤⎣⎦是奇异矩阵
ⅳ. 总刚k ⎡⎤⎣⎦
主对角线上的元素恒为正，即
0(1,2,,2)ii k i n >=L
ⅴ. 总刚[]k 是一个稀疏矩阵。

若遵守一定的节点编号规则，则非零元素集中在主对角线附近呈带状分布。

单元越多，总刚[]k 越稀疏。

0,0/rs r s r s
k ⎧⎡⎤
⎪⎣⎦⎡⎤⎨
⎢⎥⎣⎦⎡⎤
⎪⎣⎦⎩
≠==同属于一个单元的两个节点
号码
非零元素集中在主对角线两侧，在包括对角线元素在内的半个带形区域中，具有最多元素的数目称为最大半带宽（半带宽），用B 表示：
B=（max{单元节点号码的最大差值}+1）×节点自由度数
半带宽取决于节点号码的最大差值。

半带宽越窄，计算机的存储量就越少。

所以，在划分有限元网格进行节点编号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中两节点的号码差尽可能地小，以便使半带宽小，节省存储空间，提高计算效率。

而且还可以大幅度减少求解方程所需的运算次数，其效果对大型结构显得尤为突出。

10
1234
56
7
8
9
1234567
8910
（a ） （b ）
对于图（a）B=[(7-1)+1]×2=14
对于图（b）B=[(4-1)+1]×2=8
ⅳ. 总刚[]k的存储方式
通常的有限元程序，一般都利用总刚的对称性和稀疏性的特点，在计算时采用：
半带宽存储-------------只存储上半带的元素
一维变带宽存储
分块一维变带宽存储。