人教b版选修1-2章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入 .docx

章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引
入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A.3，－2
B.3，2
C.3，－3
D.－1，4
【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.
【答案】 A
2.若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )
A.2－3i
B.2＋3i
C.3＋2i
D.3－2i
【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.
【答案】 A
3.若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是( )
【导学号：37820051】
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】由i(x＋y i)＝3＋4i，得－y＋x i＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋y i的模为42＋（－3）2＝5.
【答案】 D
4.已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝( )
A.－3－4i
B.－3＋4i
C.3－4i
D.3＋4i
【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝
25
3－4i
＝
25（3＋4i）
（3－4i）（3＋4i）
＝3＋4i，
故选D.
【答案】 D
5. “m ＝1”是“复数z ＝(1＋m i)(1＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 z ＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i ＋m i －m ＝(1－m )＋(1＋m )i ，若m ＝1，则z ＝2i 为纯虚数；若z 为纯虚数，则m ＝1.故选C.
【答案】 C
6.设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A.实轴上
B.虚轴上
C.直线y ＝±x (x ≠0)上
D.以上都不对
【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
∵z 2＝a 2－b 2
＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2
－b 2
＝0，ab ≠0.
∴a ＝±b ，即z 在复平面上的对应点在直线y ＝±x (x ≠0)上. 【答案】 C 7.设复数z 满足1－z
1＋z
＝i ，则|1＋z |＝( ) A.0 B.1 C. 2 D.2
【解析】 ∵
1－z
1＋z
＝i ， ∴z ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）2
（1＋i ）（1－i ）＝－i ，
∴|z ＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C
8.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( )
A.1＋i
B.1－i
C.－1＋i
D.－1－i
【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z －i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2
)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎨⎧a 2
＋b 2
＝2b ，2＝2a ，得
⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，
∴z ＝1＋i. 【答案】 A
9.若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，
∴⎩⎨⎧sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1， ∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )， ∴θ＝k π＋
π
2
(k ∈Z )，令k ＝0知选D. 【答案】 D 10.当z ＝－1－i
2
时，z 100＋z 50＋1的值是( ) A.1 B.－1 C.i
D.－i 【解析】 原式＝⎝
⎛⎭⎪⎫
－
1－i 2100
＋⎝
⎛⎭⎪⎫
－
1－i 250
＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫1－i 2250
＋⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫1－i 2225
＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.
【答案】 D
11.在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )
A.3＋i
B.3－i
C.1－3i
D.－1＋3i
【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (－2，1)，O (0，0)，
∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )， 则BC →
＝OA →
，
∴(x ＋2，y －1)＝(1，2). ∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2， ∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，
∴第四个顶点C 的坐标为(－1，3). 【答案】 D
12.复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】 由于|z |＝2，所以（x －2）2＋y 2＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2，0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x 2＋y 2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形（图略）易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上.)
13. i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.
【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0，1
－2a ≠0，解得a ＝－2.
【答案】 －2
14.复数z 1＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2
，z 2＝2－i 3
分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是________.
【解析】 ∵z 1＝⎝
⎛⎭⎪⎫
1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ， ∴P (－1，0)，Q (2，1)，
∴PQ →
＝(3，1)，即PQ →
对应的复数为3＋i. 【答案】 3＋i 15.定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a
b c d ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于___________________________________________.
【解析】 由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i
－1＋2i ＝
（3＋2i ）（－1－2i ）（－1＋2i ）（－1－2i ）＝15－8
5
i.
【答案】
15－85
i 16.复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________.
【导学号：37820052】
【解析】 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，
所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，
解得－1<a <2.
由条件得|z |＝（a －2）2＋（a ＋1）2 ＝2a 2－2a ＋5 ＝
2⎝
⎛⎭⎪⎫a 2
－a ＋14＋92
＝
2⎝
⎛
⎭⎪⎫a －122＋92，
因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫
322，3.
【答案】 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
322，3
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值.
【解】 ∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ， ∴x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ， ∴⎩⎨⎧x 2
＋x －2＝4，
x 2－3x ＋2＝20， ∴x ＝－3.
18.(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m
1－i
－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是：
(1)虚数；(2)纯虚数.
【解】 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ， (1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数.
(2)当⎩⎨⎧2m 2
－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，
即m ＝－1
2
时，z 为纯虚数.
19.(本小题满分12分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）
2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1
＋i ，求实数a ，b 的值.
【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3（1－i ）
2＋i
＝
3－i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）
（2＋i ）（2－i ）
＝1－i.
将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得 (1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， (a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（a ＋2）＝1.
所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.
20.(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .
【导学号：37820053】
【解】 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，
即⎩⎨
⎧21＝y －6x ＋2，x 2
＋y 2
＝
32＋42，
解得⎩⎨⎧x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4.
因为|OA |≠|BC |，
所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.
21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；
(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积. 【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.
∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)，
∴S △ABC ＝12|AC |×1＝1
2
×2×1＝1.
当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. ∴点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝1
2×2×1＝1.
即△ABC 的面积为1.
22.(本小题满分12分)已知关于x 的方程：x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值.
【解】 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根， ∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0， ∴⎩⎨⎧b 2
－6b ＋9＝0，
a ＝
b ， 解得a ＝b ＝3.
(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 由|z －3－3i|＝2|z |，
得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，
∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1，1)为圆心，22为半径的圆，如图所示.
当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO1|＝2，半径r＝22，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝ 2.。