2020-2021初中数学反比例函数解析含答案(1)

2020-2021初中数学反比例函数解析含答案(1) 一、选择题
1．若A（-3，y1）、B（-1，y2）、C（1，y3）三点都在反比例函数y=k
x
（k＞0）的图象
上，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A． y1＞y2＞y3B． y3＞y1＞y2C． y3＞y2＞y1D． y2＞y1＞y3【答案】B
【解析】
【分析】
反比例函数y=k
x
（k＞0）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内y
随x的增大而减小，而A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上的点，可得y2＜y1＜0，C（1，y3）在第一象限双曲线上的点y3＞0，于是对y1、y2、y3的大小关系做出判断．【详解】
∵反比例函数y=k
x
（k＞0）的图象在一、三象限，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵A（-3，y1）、B（-1，y2）在第三象限双曲线上，
∴y2＜y1＜0，
∵C（1，y3）在第一象限双曲线上，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
【点睛】
此题考查反比例函数的图象和性质，解题关键在于当k＞0，时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的增大而增大，注意“在每个象限内”的意义，这种类型题目用图象法比较直观得出答案．
2．已知点A（﹣2，y1），B（a，y2），C（3，y3）都在反比例函数
4
y
x
的图象上，且﹣
2＜a＜0，则（）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据k＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可．
【详解】
∵反比例函数y=4x
中的k=4＞0， ∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，
∵-2＜a ＜0，
∴0＞y 1＞y 2，
∵C （3，y 3）在第一象限，
∴y 3＞0，
∴213y y y <<，
故选D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，分别过点(),0A m ,()2,0B m
﹢作x 轴的垂线1l 和2l ,探究直线1l 和2l 与双曲线 3y x
= 的关系，下列结论中错误．．的是 A ．两直线中总有一条与双曲线相交
B ．当m =1时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C ．当20m -﹤﹤ 时，两条直线与双曲线的交点在y 轴两侧
D ．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意给定m 特定值、非特定值分别进行讨论即可得.
【详解】
当m =0时，2l 与双曲线有交点，当m =-2时，1l 与双曲线有交点，
当m 0m 2≠≠，﹣时，12l l 与和双曲线都有交点，所以A 正确，不符合题意；
当m 1=时，两交点分别是(1，3)，(3，1)B 正确，不符合题意；
当2m 0-﹤﹤ 时，1l 在y 轴的左侧，2l 在y 轴的右侧，所以C 正确，不符合题意；
两交点分别是33m (m 2m m 2++，和，)，当m 无限大时，两交点的距离趋近于2，所以D 不正确，符合题意，
故选D.
【点睛】
本题考查了垂直于x 轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是解本题的关键，本题有一定的难度.
4．如图，点A 在双曲线4y x
=
上，点B 在双曲线(0)k y k x =≠上，AB x P 轴，交y 轴于点C ．若2AB AC =，则k 的值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】D
【解析】
【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，得出四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，得出ACOD S 矩形=4，BCOE S k =矩形，根据AB=2AC ，即BC=3AC ，即可求得矩形BCOE 的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值．
【详解】
过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，
∵AB ∥x 轴，
∴四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，
∵AB=2AC ，
∴BC=3AC ，
∵点A 在双曲线4y x
=
上， ∴ACOD S 矩形=4，
同理BCOE S k =矩形，
∴矩形3BCOE ACOD S S =矩形矩形=12，
∴k=12，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．
5．下列函数中，当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）
A．y＝x2B．y＝x C．y＝x+1 D．
1 y
x =
【答案】D
【解析】
【分析】
需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x＞0时，y随x的增大而减小的函数．【详解】
解：A、y＝x2是二次函数，开口向上，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，错误；
B、y＝x是一次函数k＝1＞0，y随x的增大而增大，错误；
C、y＝x+1是一次函数k＝1＞0，y随x的增大而减小，错误；
D、
1
y
x
=是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y随x的增大而减小，正确；
故选D．
【点睛】
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y
b
x
=（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的
图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【详解】
A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即
b<0．所以反比例函数y
b
x
=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；
B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的左侧，则a，b同号，即
b>0．所以反比例函数y
b
x
=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即
b>0．所以反比例函数y
b
x
=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；
D、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即
b>0．所以反比例函数y
b
x
=的图象位于第一、三象限，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．
7．如图，A，B是反比例函数y=4
x
在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标
分别是2和4，则△OAB的面积是（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =12×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =
12（BD+AC ）•CD=12×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．
【详解】∵A ，B 是反比例函数y=
4x
在第一象限内的图象上的两点， 且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，
∴当x=2时，y=2，即A （2，2），
当x=4时，y=1，即B （4，1），
如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ， 则S △AOC =S △BOD =12
×4=2， ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，
∴S △AOB =S 梯形ABDC ，
∵S 梯形ABDC =
12（BD+AC ）•CD=12
×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3，
故选B ．
【点睛】本题考查了反比例函数()0k y k x
=≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴
作垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系为S=1
2
|k|是解题的关键．
8．在反比例函数y＝93
m
x
+
图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，y1＜0＜y2，x1＞x2，则有
（）
A．m＞﹣1
3
B．m＜﹣
1
3
C．m≥﹣
1
3
D．m≤﹣
1
3
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据y1＜0＜y2，有x1＞x2，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可．
【详解】
∵在反比例函数y＝93
m
x
+
图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），y1＜0＜y2，x1＞x2，
∴反比例函数的图象在二、四象限，
∴9m+3＜0，解得m＜﹣1
3
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质
9．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数
k
y
x
=和3
y kx
=+的图象大致是
（）
A．B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】
解：A、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；
B、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；
C、由函数y=k
x
的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；
D、由函数y=k
x
的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10．下列函数：①y=-x；②y=2x；③
1
y
x
=-；④y=x2．当x<0时，y随x的增大而减小
的函数有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可．
【详解】
一次函数y＝－x中k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确；
∵正比例函数y＝2x中，k＝2，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误；
∵反比例函数
1
y
x
-
＝中，k＝－1＜0，∴当x＜0时函数的图像在第二象限，此时y随x的
增大而增大，故本选项错误；
∵二次函数y＝x2，中a＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函数的增减性．
11．若点()11,A y -，()22,B y -，()33,C y 在反比例函数8y x =-的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．132y y y <<
D ．321y y y << 【答案】D
【解析】
【分析】
由于反比例函数的系数是－8，故把点A 、B 、C 的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出123,,y y y 的值即可进行比较.
【详解】
解：∵点()11,A y -、()22,B y -、()33,C y 在反比例函数8y x =-
的图象上， ∴1881y =-
=-，2842y =-=-，383y =-， 又∵8483
-<<， ∴321y y y <<．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键.
12．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =
上，若点A 在反比例函数k y x
=上，则k 的值为( )
A ．12
B ．12-
C ．14
D ．14
- 【答案】B
【解析】
【分析】
通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，然后由点的坐标即可求得答案．
【详解】
解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：
∵点B 在反比例函数2y x =
上 ∴设2,B x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
∴OE x =，2BE x
=
∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒
∴90BOE AOF ∠+∠=︒
∵BE x ⊥，AF x ⊥
∴90BEO OFA ∠=∠=︒
∴90OAF AOF ∠+∠=︒
∴BOE OAF ∠=∠
∴BOE OAF V V ∽
∵2OB OA =
∴12
OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅=
∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭ ∵点A 在反比例函数k y x
=上 ∴12x k x
=- ∴12k =-
． 故选：B
【点睛】
本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．
13．若反比例函数()2221m
y m x -=-的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A ．-1或1
B ．小于12的任意实数
C ．-1
D ．不能确定 【答案】C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义列出方程221m -=-且210m -<求解即可．
【详解】
解：22(21)m y m x -=-Q 是反比例函数，
∴221m -=-，210m -≠，
解之得1m =±．
又因为图象在第二，四象限，
所以210m -<， 解得12
m <
，即m 的值是1-． 故选：C ． 【点睛】 对于反比例函数()0k y k x
=≠．（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．
14．点（2，﹣4）在反比例函数y=k x
的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A ．（2，4）
B ．（﹣1，﹣8）
C ．（﹣2，﹣4）
D ．（4，﹣2）
【答案】D
【解析】
【详解】
∵点（2，-4）在反比例函数y=
k x 的图象上， ∴k =2×（-4）=-8．
∵A 中2×4=8；B 中-1×（-8）=8；C 中-2×（-4）=8；D 中4×（-2）=-8，
∴点（4，-2）在反比例函数y=
k x 的图象上． 故选D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k ，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是关键．
15．当0x <时，反比例函数2y x
=-的图象（ ） A ．在第一象限，y 随x 的增大而减小 B ．在第二象限，y 随x 的增大而增大
C ．在第三象限，y 随x 的增大而减小
D ．在第四象限，y 随x 的增大而减小 【答案】B
【解析】
【分析】 反比例函数2y x =-
中的20k =-<，图像分布在第二、四象限；利用0x <判断即可． 【详解】
解：Q 反比例函数2y x
=-中的20k =-<， ∴该反比例函数的图像分布在第二、四象限；
又0x <Q ，
∴图象在第二象限且y 随x 的增大而增大．
故选：B ．
【点睛】 本题主要考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数()0k y k x
=≠，（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．
16．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=k x
在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】依据抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，即可得到k ＜0，进而得出一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，反比例函数y=k x 的图象在第二四象限，据此即可作出判断.
【详解】∵抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，
∴△=4﹣4（k+1）＞0，
解得k ＜0，
∴一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，
反比例函数y=
k x
的图象在第二四象限， 故选D ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x 轴的交点情况确定出k 的取值范围是解本题的关键.
17．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x =
的图象上，OA 交反比例函数()0k y k x
=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
【答案】D
【解析】
【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得
△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，2
4()9COE AOD S OC S OA ==V V ，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212
BOF S ==V ，从而求得4COE S =V ，从而求得k 的值．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴
∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90°
∵90AOB ∠=︒
∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90°
∴∠ECO=∠FOB
∴△COE ∽△OBF ∽△AOD
又∵3AO BO =，2OC CA =
∴13OB OA =，23
OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==V V ，24()9
COE AOD S OC S OA ==V V ∴4COE BOF
S S =V V ∵点B 在反比例函数2y x =
的图象上 ∴212
BOF S ==V ∴4COE S =V
∴42
k =，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限，
∴k=-8
故选：D ．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．
18．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x =-
上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y =
B ．若12x x =-，则12y y =-
C ．若120x x <<，则12y y <
D ．若120x x <<，则12y y > 【答案】D
【解析】
【分析】
先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1y x =-
，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断．
【详解】
∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1y x =-
上， ∴11
1y x =-，221y x =-． A 、当x 1=x 2时，-11x =-2
1x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确； B 、当x 1=-x 2时，-11x =2
1x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确； C 、因为双曲线1y x
=-
位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确； D 、因为双曲线1y x
=-
位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，故本选项说法错误；
故选：D ．
【点睛】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
19．如图，A 、C 是函数1y x
=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ．记Rt AOB ∆的面积为1S ，Rt COD ∆的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）
A ．12S S >
B ．12S S <
C ．12=S S
D ．由A 、C 两点的位置确定
【答案】C
【解析】
【分析】 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12k|． 【详解】
由题意得：S 1=S 2=
12|k|=12． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数y ＝k x
中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=
12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．
20．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x
=-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
A ．逐渐变小
B ．逐渐变大
C ．时大时小
D ．保持不变
【答案】D
【解析】【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OE
OF AF
=；设B为（a，
1
a
-），A为
（b，2 b
），得到OE=-a，EB=
1
a
-，OF=b，AF=2
b
，进而得到222
a b=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=
2
2
为定值，即可解决问题．
【详解】
解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，
则△BEO∽△OFA，
∴
BE OE
OF AF
=，
设点B为（a，
1
a
-），A为（b，2
b
），
则OE=-a，EB=
1
a
-，OF=b，AF=2
b
，
可代入比例式求得222
a b=，即2
2
2
a
b
=，
根据勾股定理可得：OB=222
2
1
OE EB a
a
+=+，OA=222
2
4
OF AF b
b
+=+，
∴tan∠OAB=
2
2
22
22
22
12
2
44
b
a
OB a b
OA
b b
b b
++
==
++
=
2
2
2
2
14
()
2
4
b
b
b
b
+
+
=
2
2
∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判
定等知识点来分析、判断、推理或解答．。