2022-2023学年山东省烟台市招远一中高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年山东省烟台市招远一中高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．sin345°＝（ ） A ．
√2−√6
4
B ．
√6−√2
4
C ．−
√6+√2
4
D ．
√6+√2
4
2．设P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任一点，则OA →
+OB →
+OC →
+OD →
=（ ） A ．4OP →
B ．3OP →
C ．2OP →
D ．OP →
3．已知a →
=(1，1)，b →
=(−2，1)，则b →
在a →
上的投影向量为（ ） A ．(−12
，−12
)
B ．（﹣1，﹣1）
C ．(1
2，12
)
D ．（1，1）
4．在△ABC 中，已知cosA =4
5，tanB =1
2，则tan （A ﹣C ）＝（ ） A ．1
2
B ．−1
2
C ．−11
2
D ．
112
5．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣10cos α＝1，则sin2α＝（ ） A ．
4√59
B ．−4√5
9
C ．
4√2
9
D ．−4√2
9
6．已知函数f(x)=−2cos(2x +π
3
)sin2x −√3
2
，则（ ）
A ．f （x ）的最小正周期是π
B ．f （x ）在[π
6，π
4]上单调递增
C ．f （x ）的图象关于点(kπ2+π
12，0)(k ∈Z)对称 D ．f （x ）在[−π4，0]上的值域是[−1，√3
2]
7．已知等边△ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE ⊥AC ，垂足为E ，当PB →
⋅PC →
=−2
3时，PE →
=（ ）
A ．−13A
B →+23A
C →
B ．−13AB →+16A
C →
C ．−16AB →+13AC →
D ．−23AB →+13AC →
8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，且b cos A ﹣cos B ＝1，则√3sinB +2sin 2A 的取值范围是（ ） A ．(0，√3+1)
B ．(2，√3+1)
C ．（1，3]
D ．（2，3]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小題给出的选项中，有多项符合耍求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数f （x ）的值域为Ω，若1∈Ω，则称函数f （x ）具有性质I ，下列函数中具有性质I 的有（ ） A ．f （x ）＝sin x +2cos x B ．f （x ）＝sin x cos x C ．f(x)=cos2x
cosx
D ．f(x)=sinx
cosx +cosx
sinx
10．设f （x ）＝a sin2x +b cos2x ，a ，b ∈R ，ab ≠0若f （x ）≤|f （π6）|对一切x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是（ ） A ．f （
11π12
）＝0 B ．|f （
7π10
）|＜|f （π
5
）|
C ．f （x ）既不是奇函数也不是偶函数
D ．f （x ）的单调递增区间是[k π+π
6，k π+2π
3]（k ∈Z ）
11．已知向量a →
，b →
，c →
满足|a →
|=|b →
|=1，a →
⋅b →
=−12
，c →
=xa →+yb →(x ，y ∈R ，y ≥0)，则下列命题正确的
有（ ）
A ．若x ＝1，则|c →
|的最小值为1
2
B ．若x ＝1，则存在㫿一的y ，使得a →⋅c →
=0
C ．若|c →
|=1，则x +y 的最小值为﹣1
D ．若|c →
|=1，则(a →
+b →
)⋅c →
的最小值为−1
2
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则有S A ⋅OA →
+S B ⋅OB →
+S C ⋅OC →
=0→
．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A ．若OA →
+OB →
+OC →
=0→
，则O 为△ABC 的重心
B ．若OA →
+2OB →
+3OC →
=0→
，则S A ：S B ：S C ＝1：2：3
C ．若|OA →
|=|OB →
|=2，∠AOB =5π6，2OA →+3OB →+4OC →=0→，则S △ABC =92
D ．若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA →
+tan∠ABC ⋅OB →
+tan∠ACB ⋅OC →
=0→
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知sin2α=34，α∈(0，π4
)，则sin α﹣cos α＝ ． 14．已知sin α+sin β=12
，cos α+cos β=
√3
3
，则cos （α﹣β）＝ ．
15．已知向量a →
=（5，7sin θ﹣1），b →
=（1，cos 2θ），若a →
∥b →
，则cos2θ＝ ．
16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1且b ＝2，则△ABC 周长的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）化简求值：
（1）tan10°+tan50°+√3tan10°tan50°； （2）sin10°(1+√3tan50°)．
18．（12分）已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π
4−x)+√3sinxcosx ． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(A
2)=1，a ＝2，求b +c 的最大值． 19．（12分）如图所示，在△ABO 中，OC →
=1
4
OA →，OD →
=12
OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →
=a →
，OB →=b →
． （1）试用向量a →
，b →
表示OM →
；
（2）过点M 作直线EF 分别交线段AC ，BD 于点E ，F ，记OE →
=λOA →
，OF →
=μOB →
，求证：不论点E ，F 在线段AC ，BD 上如何移动，1
λ
+3
μ为定值．
20．（12分）如图，扇形AOB 的圆心角为
2π3
，半径为1．点P 是AB ̂上任一点，设∠AOP =α(α∈[0，2π3
])．
（1）记f(α)=OP →
⋅AB →
，求f （α）的表达式； （2）若OP →
=xAB →
+yOB →
，求x 2+y 2的取值范围．
21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若M 是BC 的中点，且满足AB →⋅AC →
=4AM →
⋅BC →
．
（1）求cos C 的最小值；
（2）若△ABC 的面积为S ，且满足S ＝a 2，求tan C 的值．
22．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B 且b ＝1． （1）求B ；
（2）若AB →
⋅AC →
＜1
2，求1a
+1
c
的取值范围．
2022-2023学年山东省烟台市招远一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．sin345°＝（ ） A ．
√2−√6
4
B ．
√6−√2
4
C ．−
√6+√2
4
D ．
√6+√2
4
解：sin345°＝﹣sin15°＝sin （30°﹣45°）＝﹣sin45°cos30°+cos45°sin30°=−√2
2×√3
2+√2
2×1
2 =
√2−√6
4
．
故选：A ．
2．设P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任一点，则OA →
+OB →
+OC →
+OD →
=（ ） A ．4OP →
B ．3OP →
C ．2OP →
D ．OP →
解：∵设P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，∴PA →
+PC →
=PB →
+PD →
=0→
， ∴OA →
+OB →
+OC →
+OD →
=OP →
+PA →
+OP →
+PC →
+OP →
+PB →
+OP →
+PD →
=4OP →
， 故选：A ．
3．已知a →
=(1，1)，b →
=(−2，1)，则b →
在a →
上的投影向量为（ ） A ．(−12，−1
2)
B ．（﹣1，﹣1）
C ．(12，1
2)
D ．（1，1）
解：因为a →=(1，1)，b →
=(−2，1)，所以b →
在a →
上的投影向量为a →⋅b
→
|a →|2
a →
=
−2+11+1
（1，1）＝（−1
2，−12
）．
故选：A ．
4．在△ABC 中，已知cosA =45，tanB =12
，则tan （A ﹣C ）＝（ ） A ．1
2
B ．−12
C ．−
112
D ．
112
解：由已知可得sin A ＞0．
又因为cosA =45，所以sinA =35，所以tanA =3
4．
所以tan C ＝tan （π﹣A ﹣B ）＝﹣tan （A +B ）=−tanA+tanB
1−tanAtanB =−34+121−34×12=−2，
所以tan(A −C)=tanA−tanC 1+tanAtanC =3
4−(−2)1+34
×(−2)=−11
2
．
故选：C ．
5．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣10cos α＝1，则sin2α＝（ ） A ．
4√59
B ．−
4√5
9
C ．
4√2
9
D ．−
4√2
9
解：因为3cos2α﹣10cos α＝1，所以3（2cos 2α﹣1）﹣10cos α＝1，整理可得3cos 2α﹣5cos α﹣2＝0， 解得cos α=−1
3
或2（舍去），
又因为α∈（0，π），所以sin α=√1−cos 2α=2√23，sin2α＝2sin αcos α=−4√2
9． 故选：D ．
6．已知函数f(x)=−2cos(2x +π3
)sin2x −√3
2
，则（ ）
A ．f （x ）的最小正周期是π
B ．f （x ）在[π6，π
4]上单调递增
C ．f （x ）的图象关于点(kπ2+π
12，0)(k ∈Z)对称 D ．f （x ）在[−π4
，0]上的值域是[−1，√3
2
]
解：f(x)=−2(12
cos2x −
√3
2
sin2x)sin2x −
√3
2=√3sin 22x −sin2xcos2x −
√3
2
=√3
2−√3
2cos4x −1
2sin4x −√3
2=−sin(4x +π
3)， 对于A ，f （x ）的最小正周期T =
2π4=π
2
，A 错误； 对于B ，当x ∈[π
6，π
4]时，4x +π
3∈[π，4π
3]，此时y ＝sin （4x +π
3）单调递减， ∴f （x ）在[π
6，π
4]上单调递增，B 正确；
对于C ，令4x +π
3=kπ(k ∈Z)，解得x =kπ
4−π
12(k ∈Z)，此时f （x ）＝0，
∴f （x ）的图象关于点(kπ4−π
12，0)(k ∈Z)对称，C 错误； 对于D ，当x ∈[−π4，0]时，4x +π3∈[−2π3，π3]，则sin(4x +π
3)∈[−1，√32]， ∴f （x ）在[−π
4
，0]上的值域为[−√3
2
，1]，D 错误．
故选：B ．
7．已知等边△ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE ⊥AC ，垂足为E ，当PB →
⋅PC →
=
−2
3
时，PE →=（ ） A ．−13AB →+23AC →
B ．−13AB →+16
AC →
C ．−1
6
AB →
+13
AC →
D ．−23
AB →
+13
AC →
解：设AP →
=λAD →
（0＜λ＜1），则PC →
=AC →
−AP →
=AC →
−λAD →
，PB →
=AB →
−λAD →
， ∴PC →
•PB →
=（AC →
−λAD →
）•（AB →
−λAD →
）=AC →
•AB →
−λAC →
•AD →
−λAB →
•AD →
+λ2AD →
2= 2﹣λ×2×√3×√3
2×2+3λ2＝3λ2﹣6λ+2=−2
3， ∴9λ2﹣18λ+8＝0，∴λ=23或λ=4
3（舍去），
∴P 为△ABC 的重心，∵PE ⊥AC ，∴E 为AC 的中点，
∴PE →
=AE →
−AP →=12AC →−23AD →=12AC →−23×12（AB →+AC →）=−13AB →+16AC →
，
故选：B ．
8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，且b cos A ﹣cos B ＝1，则√3sinB +2sin 2A 的取值范围是（ ） A ．(0，√3+1)
B ．(2，√3+1)
C ．（1，3]
D ．（2，3]
解：∵b cos A ﹣cos B ＝1，即b cos A ＝cos B +1，a ＝1， ∴b cos A ＝（cos B +1）a ，
∴由正弦定理得：sin B cos A ＝（cos B +1）sin A ，即sin B cos A ＝sin A cos B +sin A ， ∴sin （B ﹣A ）＝sin A ，
∴B ﹣A ＝A 或B ﹣A +A ＝π，解得B ＝2A 或B ＝π（舍去）， 又∵△ABC 为锐角三角形，则C ＝π﹣A ﹣B ＝π﹣3A ， ∴{ 0＜A ＜π20＜B ＜π20＜C ＜π2⇒{
0＜A ＜π
2
0＜2A ＜π20＜π−3A ＜
π2，解得π6＜A ＜π4，
∴√3sinB +2sin 2A =√3sin2A +1−cos2A =2sin(2A −π
6
)+1，
又∵π
6＜A ＜π
4，∴π
6＜2A −π
6＜π
3，∴1
2＜sin(2A −π
6)＜√3
2
，
∴2＜2sin(2A −π6
)+1＜√3+1，即√3sinB +2sin 2A 的取值范围(2，√3+1)． 故选：B ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小題给出的选项中，有多项符合耍求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数f （x ）的值域为Ω，若1∈Ω，则称函数f （x ）具有性质I ，下列函数中具有性质I 的有（ ） A ．f （x ）＝sin x +2cos x B ．f （x ）＝sin x cos x C ．f(x)=cos2x
cosx
D ．f(x)=sinx
cosx +cosx
sinx
解：A ：f （x ）＝sin x +2cos x =√5sin （x +φ）∈[−√5，√5]，则符合题意； B ：f （x ）＝sin x cos x =1
2sin2x ∈[−1
2，1
2
]，不符合题意；
C ：令t ＝cos x ，则﹣1≤t ≤1且t ≠0，
所以f （x ）=cos2x cosx =2cos 2x−1cosx =2cos x −1cosx =2t −1
t
在[﹣1，0），（0，1]上单调递增，f （x ）的值域为
R ，符合题意； D ：当
sinx cosx
＜0时，f （x ）≤﹣2，当
sinx cosx
＞0时，f （x ）≥2，显然不符合题意．
故选：AC ．
10．设f （x ）＝a sin2x +b cos2x ，a ，b ∈R ，ab ≠0若f （x ）≤|f （π
6）|对一切x ∈R 恒成立，则下列结论正确的
是（ ） A ．f （
11π12
）＝0 B ．|f （
7π10
）|＜|f （π
5
）|
C ．f （x ）既不是奇函数也不是偶函数
D ．f （x ）的单调递增区间是[k π+π
6，k π+2π
3]（k ∈Z ）
解：∵f （x ）＝a sin2x +b cos2x =√a 2+b 2sin （2x +θ） ∵f (x )≤|f (π6)|，∴2×π6+θ=kπ+π
2（k 为整数）
∴θ＝k π+π6，∴f （x ）=√a 2+b 2sin(2x +kπ+π6)=±√a 2+b 2sin(2x +π
6) 对于A ：f(11π12)=±√a 2+b 2sin(2×11π12+π
6)=0，故A 对； 对于B ：|f(7π
10)|=|f(π
5)|，故B 错；
对于C ：f （x ）不是奇函数也不是偶函数，C 正确；
对于D ：由于f （x ）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故D 不对． 故选：AC ．
11．已知向量a →
，b →
，c →
满足|a →
|=|b →
|=1，a →
⋅b →
=−12，c →
=xa →+yb →(x ，y ∈R ，y ≥0)，则下列命题正确的
有（ ）
A ．若x ＝1，则|c →
|的最小值为1
2
B ．若x ＝1，则存在㫿一的y ，使得a →⋅c →
=0
C ．若|c →
|=1，则x +y 的最小值为﹣1
D ．若|c →
|=1，则(a →
+b →
)⋅c →
的最小值为−12
解；对于A ，当x ＝1时，c →
=a →
+yb →
，|c →
|2＝|a →
|2+2y a →
⋅b →
+y 2|b →
|2=y 2−y +1， ∴|c →
|2=(y −12
)2+
34≥34，当 y =1
2 时取得最小值，所以|c →|的最小值为√32
，A 不正确； 对于B ，若x ＝1，c →
=xa →
+yb →
，a →
⋅c →
=a →
⋅(a →
+yb →
)=1−1
2y =0，解得 y ＝2， 则存在唯一的y ，使得a →
⋅c →
=0，故B 正确； 对于C ，∵c →
=a →
+yb →
，若|c →
|＝1，y ≥0， |c →|2
=x 2|a →|2
+2xya →
⋅b →
+y 2
|b →
|2=x 2+y 2﹣xy ＝1，
(x −y 2)2+34y 2
=1，令{x −y
2=cosα
√3
2y =sinα，α∈[0，π]，
解得：x ＝cos α+√3
3sinα，y =2√3
3sinα，
x +y =√3sinα+cosα=2sin(α+π
6)，α∈[0，π]，﹣1≤x +y ≤2，所以C 正确；
对于D ，（a →
+b →
）⋅c →
=（a →
+b →
）⋅(xa →
+yb →
)=xa →2
+(x +y)a →
⋅b →
+yb →
2=x −12(x +y)+y =1
2(x +y)， 若|c →
|＝1，y ≥0时，由C 知：﹣1≤x +y ≤2，所以 −1
2≤12
(x +y)≤1， 则(a →
+b →
)⋅c →
的最小值为−1
2，D 正确． 故选：BCD ．
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则有S A ⋅OA →
+S B ⋅OB →
+S C ⋅OC →
=0→
．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A ．若OA →
+OB →
+OC →
=0→
，则O 为△ABC 的重心
B ．若OA →
+2OB →
+3OC →
=0→
，则S A ：S B ：S C ＝1：2：3
C ．若|OA →
|=|OB →
|=2，∠AOB =5π6，2OA →+3OB →+4OC →=0→，则S △ABC =9
2
D ．若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA →
+tan∠ABC ⋅OB →
+tan∠ACB ⋅OC →
=0→
解：对于A ，如图，
设BC 的中点为D ，则OB →
+OC →
=2OD →
=−OA →
，
∴O ，A ，D 三点共线，且AO →=23AD →
，
设E ，F 分别为AB ，AC 中点，同理可得，CO →
=23
CE →，BO →
=23
BF →
， ∴O 为△ABC 的重心，选项A 正确；
对于B ，由奔驰定理可知，若OA →+2OB →+3OC →=0→
，则S A ：S B ：S C ＝1：2：3，选项B 正确； 对于C ，在△AOB 中，由|OA →|=|OB →
|=2，∠AOB =5π6可知，S △AOB =12×2×2×1
2=1， 又2OA →+3OB →+4OC →=0→
，
∴S BOC ：S △AOC ：S △AOB ＝2：3：4，则S △BOC =12，S △AOC =3
4， ∴S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC =1+12+34=9
4，选项C 错误；
对于D ，S △BOC =1
2|OB →||OC →
|sin∠BOC ，S △AOC =1
2|OA →||OC →
|sin∠AOC ，S △AOB =1
2|OA →||OB →
|sin∠AOB ， 由四边形内角和为360°知，sin ∠BOC ＝sin ∠BAC ，sin ∠AOC ＝sin ∠ABC ，sin ∠AOB ＝sin ∠ACB ， 又
OA →⋅OB →=|OA →||OB →|cos∠AOB =−|OA →||OB →
|cos∠ACB
，OB →⋅OC →=|OB →||OC →
|cos∠BOC =
−|OB →||OC →
|cos∠BAC ，
又OB →
⋅AC →
=OB →
⋅(OC →
−OA →
)=OB →
⋅OC →
−OA →
⋅OB →
=0，
∴|OA →
|cos∠ACB =|OC →
|cos∠BAC ，即|OA →
|：|OC →
|=cos∠BAC ：cos∠ACB ， 同理可得，|OA →
|：|OB →
|：|OC →
|=cos∠BAC ：cos∠ABC ：cos∠ACB ，
∴S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin∠BAC cos∠BAC ：sin∠ABC cos∠ABC ：sin∠ACB
cos∠ACB =tan∠BAC ：tan∠ABC ：∠ACB ， 结合奔驰定理可知，选项D 正确． 故选：ABD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin2α=34，α∈(0，π4)，则sin α﹣cos α＝ −12
． 解：因为sin2α=34，α∈(0，π
4)，则sin α﹣cos α＜0，
所以（sin α﹣cos α）2＝1﹣2sin αcos α＝1﹣sin2α＝1−34=14，所以sin α﹣cos α=−1
2． 故答案为：−12
．
14．已知sin α+sin β=12，cos α+cos β=√33，则cos （α﹣β）＝ −17
24 ． 解：由sin α+sin β=12，平方可得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=14
⋯⋯①， 由cos α+cos β=
√33
，平方可得cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=13
⋯⋯②，
①+②得：2+2cos （α﹣β）=7
12，故cos （α﹣β）=−17
24． 故答案为：−
1724
． 15．已知向量a →
=（5，7sin θ﹣1），b →
=（1，cos 2
θ），若a →
∥b →
，则cos2θ＝ −7
25 ． 解：因为向量a →
=（5，7sin θ﹣1），b →
=（1，cos 2
θ），a →
∥b →
， 所以5cos 2θ＝7sin θ﹣1，
所以5（1﹣sin 2θ）＝7sin θ﹣1，整理可得5sin 2θ+7sin θ﹣6＝0，解得sin θ=4
5或﹣2（舍去）， 则cos2θ＝1﹣2sin 2θ＝1﹣2×（4
5）2=−7
25．
故答案为：−7
25．
16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1且b ＝2，
则△ABC 周长的最小值为 2+2√2 ． 解：∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1， 所以：S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ， 即
12
acsin∠ABC =
12
BD ⋅c ⋅sin
∠ABC 2
+12BD ⋅a ⋅sin
∠ABC
2
， 因为sin ∠ABC 2≠0，所以由二倍角公式可得2accos ∠ABC
2
=a +c ， 即cos
∠ABC 2
=a+c 2ac ， ∴cos ∠ABC =2cos 2
∠ABC 2−1=2(a+c 2ac
)2
−1， 由余弦定理，得cos ∠ABC =a 2+c 2−4
2ac
，
所以2(c+a
2ac )2−1=
c 2+a 2−4
2ac
，整理可得 （c +a ）2＝ac [（c +a ）2﹣4]， 所以 (c +a)2
=ac[(a +c)2
−4]≤(a+c)
2
4•[（a +c ）2﹣4]，即（c +a ）2≥8，
所以a +c ≥2√2，（当且仅当a =c =√2时，“＝”成立）， 故△ABC 周长的最小值为2+2√2． 故答案为：2．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）化简求值：
（1）tan10°+tan50°+√3tan10°tan50°； （2）sin10°(1+√3tan50°)．
解：（1）由tan60°＝tan （10°+50°）=tan10°+tan50°
1−tan10°tan50°=√3， 可得：tan10°+tan50°=√3−√3tan10°tan50°， 整理得tan10°+tan50°+√3tan10°tan50°=√3； （2）原式＝sin10°．（1+√3sin50°
cos50°）＝sin10°.cos50°+√3sin50°
cos50°
＝sin10°.
2sin(30°+50°)
cos50°
＝sin10°.
2cos10°cos50°
=
sin20°sin40°
=1
2cos20°．
18．（12分）已知函数f(x)=sin(π
4+x)sin(π
4−x)+√3sinxcosx ． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(A
2
)=1，a ＝2，求b +c 的最大值． 解：（1）f(x)=sin(π4+x)sin(π
4−x)+√3sinxcosx ＝sin （π4+x ）cos （π
4
+x ）+√3
2sin2x
=1
2sin （π
2
+2x ）+√32sin2x =12cos2x +√32sin2x ＝sin （2x +π
6），
令−π
2+2kπ≤2x +π
6≤π
2+2kπ，k ∈Z ，则−π
3+kπ≤x ≤π
6+kπ，k ∈Z ， 故函数f （x ）的单调递增区间为[−π
3+kπ，π
6
+kπ]，k ∈Z ；
（2）若f(A 2)=1=sin （A +π6），由A 为三角形内角得A =π
3，
因为a ＝2，由余弦定理得a 2
＝b 2
+c 2
﹣bc ＝（b +c ）2
﹣3bc ≥（b +c ）2
−3×(b+c 2)2=(b+c)
2
4，当且仅当
b ＝
c 时取等号，
则b +c ≤4，即b +c 的最大值为4．
19．（12分）如图所示，在△ABO 中，OC →
=14OA →，OD →=12
OB →
，AD 与BC 相交于点M ，设OA →=a →，OB →=b →．
（1）试用向量a →
，b →表示OM →
；
（2）过点M 作直线EF 分别交线段AC ，BD 于点E ，F ，记OE →
=λOA →
，OF →
=μOB →
，求证：不论点E ，F 在线段AC ，BD 上如何移动，1
λ
+3
μ为定值．
解：（1）设OA →
=a →
，OB →
=b →
，由A ，M ，D 三点共线可得存在实数t 使得 OM →
=t OA →
+（1﹣t ）OD →
=t a →
+（1﹣t ）1
2
•b →
，
同理由C ，M ，B 三点共线可得存在实数λ使得OM →=λOB →+（1﹣λ）OC →=λb →
+1−λ4a →
，
∴{1−λ
4=t
λ=
1−t
2，解得{λ=37t =17， ∴OM →
=17a →+37b →
，
（2）证明：设OM →=x OE →+y OF →=x λa →
+y μb →，则{ xλ=1
7yμ=37
x +y =1，即{ 7x =1
λ7y =3μx +y =1
，即1λ+3μ=7，
故不论点E ，F 在线段AC ，BD 上如何移动，1λ
+3
μ
为定值．
20．（12分）如图，扇形AOB 的圆心角为
2π
3
，半径为1．点P 是AB ̂上任一点，设∠AOP =α(α∈[0，2π
3])．
（1）记f(α)=OP →
⋅AB →
，求f （α）的表达式； （2）若OP →
=xAB →
+yOB →
，求x 2+y 2的取值范围．
解：（1）由题意，以O 为坐标原点，OA →
为x 轴正方向建立平面直角坐标系，
则P （cos α，sin α），A （1，0），B （−1
2，√3
2
）， ∴AB →
=（−32
，
√32
）， ∴f （α）=−3
2cos α+√3
2sin α=√3sin （α−π
3）， ∴f （α）=√3sin(α−π
3
)，α∈[0，
2π3
]．
（2）由（1），OP →
=xOA →
+yOB →
，即（cos α，sin α）＝x （1，0）+y （−12
，
√3
2
）＝（x −1
2
y ，
√3
2
y ），
∴{cosα=x −1
2y sinα=√32
y ，解得{x =√
3
3sinα+cosαy =2√3
3
sinα
，其中α∈[0，2π3]，
∴x 2+y 2＝（
√33sinα+cosα）2+（2√33sinα）2=5
3sin 2α+√33sin2α+cos 2α
=√3
3sin2α−1
3cos2α+4
3=2
3sin(2α−π
6)+4
3， ∴x 2+y 2=2
3sin(2α−π
6)+4
3，α∈[0，2π
3]， ∴2α−π
6∈[−π
6，
7π6
]，
∴sin （2α−π6）∈[−12
，1]，∴x 2+y 2∈[1，2]， ∴x 2+y 2的取值范围为[1，2]．
21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若M 是BC 的中点，且满足AB →
⋅AC →
=4AM →
⋅BC →
．
（1）求cos C 的最小值；
（2）若△ABC 的面积为S ，且满足S ＝a 2，求tan C 的值．
解：（1）法1：因为AB →
⋅AC →
=4AM →
⋅BC →
，所以AB →
⋅AC →
=4(AB →+AC →
2
)⋅(AC →−AB →)，
所以cb •
b 2+
c 2−a 2
2bc
=2（b 2﹣c 2），即a 2+3b 2＝5c 2，
由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2
+b 2
−(15a 2+35b 2
)2ab =45a 2+25b 2
2ab =2a 5b +b 5a ≥2√2a 5b ⋅b 5a =2√2
5
，
当且仅当
2a 5b
=
b 5a
，即b =√2a 时取等号，
故cos C 的最小值为
2√25
．
法2：由AB →
⋅AC →
=4AM →
⋅BC →
，得(CB →
−CA →
)⋅(−CA →
)=4(12
CB →−CA →)⋅(−CB →
)， 所以−CB →
⋅CA →
+CA →
2=−2CB →
2+4CA →
⋅CB →
，
所以5CB →
⋅CA →
=2CB →2
+CA 2→
≥2√2|CB →
||CA →
|，当且仅当|CA →
|=√2|CB →
|，即b =√2a 时取等号， 又CB →
•CA →
=|CB →
|•|CA →
|cos C ， 所以cosC ≥
2√2
5
． （2）由（1）得，a 2+3b 2＝5c 2， 由余弦定理知，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 所以1
5a 2+
35
b 2=a 2+b 2−2abcosC ，即45
a 2+
25
b 2−2abcosC =0（*），
因为S =a 2=1
2absinC ，所以a =1
2bsinC ， 将a
b =
12
sinC 代入（*）式，得45(12
sinC)2+
25
−2⋅
12
sinC ⋅cosC =0，即15
sin 2C −sinCcosC +
25
=0，
所以sin 2C ﹣5sin C cos C +2＝0，即sin 2C ﹣5sin C cos C +2（sin 2C +cos 2C ）＝0， 所以3sin 2C ﹣5sin C cos C +2cos 2C ＝0， 因为tan C =sinC
cosC ，所以3tan 2C ﹣5tan C +2＝0， 解得tan C ＝1或tanC =2
3．
22．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B 且b ＝1． （1）求B ；
（2）若AB →
⋅AC →
＜1
2，求1a
+1
c
的取值范围．
解：（1）∵cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B ， 则1﹣sin 2A +1﹣sin 2C ＝1+1﹣sin 2B ， ∴sin 2A +sin 2C ＝sin 2B ，
在△ABC 中，由正弦定理得a 2+c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形，且B =π
2
；
（2）AB →
⋅AC →
=|AB →
|⋅|AC →
|⋅cosA =|AB →
|2=c 2＜12，解得0＜c ＜√2
2， 又a 2+c 2＝1，
∴设c =sinθ，a =cosθ，θ∈(0，π
4)， ∴1
a +
1c
=
1sinθ
+
1cosθ
=
sinθ+cosθsinθcosθ
，
令t =sinθ+cosθ=√2sin(θ+π
4)，t ∈(1，√2)， 又t 2＝（sin θ+cos θ）2＝1+2sin θcos θ，则sinθcosθ=t 2−1
2
， ∴1
a +
1c
=
2t
t 2−1，t ∈(1，√2)，
令y =2t t 2−1=2
t−1t
，t ∈(1，√2)，
∵t −1
t 在t ∈(1，√2)上单调递增， ∴y =
2t−1t 在t ∈(1，√2)上单调递减，即y 2
√2−1√
2
=2√2， ∴1
a
+1
c
的取值范围为(2√2，+∞)．。