2.2 用样本估计总体

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
3、平均数
频率 组距
频率分布直方图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 下图显示了居民月均用 水量的平均数:
x=2.02t
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
解：众数为200，中位数为220，平均数为300.
因平均数为300，由表格中所列出的数据可见， 只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下， 故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均 有时也会使我们作出对总体的片面判断．因为这个平 均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是 不能忽的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的 实际状态．
x=
1 ( x1 x 2 x n ) n
练习: 在一次中学生田径运动会上，参加 男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩 (单位:米)
1．50 1．6 1．65 1．70 1．75 1．8 1．85 1．90 2 3 2 3 4 1 1 1
人数
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与 平均数 解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的 次数最多，即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间 的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
4.5
月平均用水量(t)
三、三种数字特征的优缺点
特征数 众数 优 点
体现了样本数据的最大 集中点
缺 点
无法客观反映总体 特征
中位数
平均数
不受少数极端值的影响
不受少数极端值的 影响有时也是缺点
受少数极端值的影 响较大，使其在估 计总体时的可靠性 降低.
与每一个数据有关，更 能反映全体的信息.
四
人员
频率分布折线图
频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t
连接频率直方图中各小长方形上端中 点的折线，叫频率分布折线图
当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那 么频率分布折线图就会无限接近一条光滑曲线 ——总体密度曲线．
茎叶图
甲：13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 乙： 49, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25, 36, 39 甲 乙
8 4 6 3
0
1
2
2 5
3 6 8
3 8 9
5 4
1 6 1 6 7 9
3
4
4 9
0
1
5
通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量 (单位：t) ，如下表：
思考：由上表，大家可以得到什么信息？
1.求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） 4.3 - 0.2 = 4.1 2.决定组距与组数
组数：将数据分组，当数据在100个以内时， 按数据多少常分5-12组.
组距：指每个小组的两个端点的距离，
如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每 次命中的环数如下：
甲：７ 乙：９ ８ ５ ７ ７ ９ ８ ５ ７ ４ ６ ９ ８ １０ ６ ７ ７ ４ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 7，x 乙 7 两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什 么差异吗?

五、标准差
1 2 2 2 s ( x1 x) ( x2 x) ( xn x) . n
方差
1 2 2 2 2 s ( x1 x) ( x2 x) ( xn x) . n
标准差、方差越大, 数据的离散程度越大; 标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
注意： ① 这里的纵坐标不是频率， 而是频率/组距； ② 某个区间上的频率用这 个区间的面积表示；
频率 小长方形的面积 = 组距× = 频率 组距 思考：所有小长方形的面积之和等于？ 1.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t
小结:一.画频率分布直方图的步骤
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1 2、决定组距与组数（将数据分组） 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距 组数：将数据分组，当数据在100个以内时， 按数据多少常分5-12组. 3、 将数据分组(8.2取整,分为9组)
2.2 用样本估计总体
问题提出
1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法？
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.
2.随机抽样是收集数据的方法，如何通 过样本数据所包含的信息，估计总体的 基本特征，即用样本估计总体，是我们 需要进一步学习的内容.
2.2.1 用样本的频率 分布估计总体分布
我国的水资源状况
我国是世界上严重缺水的国家之一.
例：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每 次命中的环数如下：
甲：７ 乙：９ ８ ５ ７ ７ ９ ８ ５ ７ ４ ６ ９ ８ １０ ６ ７ ７ ７ ４
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
解：两人本次射击的平均成绩分别为
x甲 7，x 乙 7

两人本次射击的方差分别为
s
2
小结:一.画频率分布直方图的步骤
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1 2、决定组距与组数（将数据分组） 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距 组数：将数据分组，当数据在100个以内时， 按数据多少常分5-12组. 3、 将数据分组(8.2取整,分为9组)
用茎叶图表示数据有两个突出的优点：
一.是所有的信息都可以从这个茎叶图上得到； 二.是茎叶图便于记录和表示.
用茎叶图表示数据有一个突出的缺点：
茎叶图的缺点是其分析只是粗略的，对差异 不大的两组数据不易分析；表示三位数以上 的数据时不够方便.
2.2.2
用样本的数字特征估计 总体的数字特征
1.众数、中位数、平均数
如何节约用水？
例 某市政府为了节约生活用水，计划在本 市试行居民生活用水定额管理，即确定一个 居民月用水量标准a ,用水量不超过a的部分 按平价收费，超过a的部分按议价收费. ①如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那 么标准a定为多少比较合理呢？ ②为了较合理地确定这个标准，你认为需要做 哪些工作？
甲
4，s
2
乙
1.2
所以甲乙两名运动员的平均水平一样，但乙的 成绩比甲的成绩更稳定.
例 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了 对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出 20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
茎叶图
情境：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得
分的原始记录如下：
(1)甲运动员得分：
13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39
(2)乙运动员得分：
49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39
问题：如何有条理地列出这些数据，分析该运
动员的整体水平及发挥的稳定程度？
极差 4.1 组数= 8.2 组距 0.5
4、列出频率分布表.(填写频率/组距一栏)
频率 5、画出频率分布直方图. (注意)纵坐标为: 组距
二.总体密度曲线
极差 4.1 组数= = = 8.2 组距 0.5 3.将数据分组 ［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］
4.列频率分布表 100位居民月平均用水量的频率分布表
频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直 观，形象，分析数据的总体态势不太方便.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 5.画频率分布直方图
频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数 依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.
二 、 众数、中位数、平均数与 频率分布直方图的关系
频率
组距
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的 问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看 出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：
2.标准差
一 众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组数据 的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同， 其中以平均数的应用最为广泛. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数 据叫做这组数据的众数． 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处 在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数． 平均数: 一组数据的算术平均数,即
茎叶图的概念：
一般地：当数据是一位和两位有效数字时，用中 间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数 字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像 植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此 通常把这样的图叫做茎叶图.茎按从小到大的顺序从上 向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大） 的顺序同行列出.
众数、中位数、平均数的简单应用
经理 2200 1 2200 管理人员 250 6 1500 高级技工 220 5 1100 工人 200 10 2000 学徒 100 1 100 合计 23 6900
例 某工厂人员及工资构成如下：
周工资 人数 合计
（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂 的工资水平吗？为什么？
0.5 0.4 0.3
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标.
0.2
0.1 月平均用水量(t)
O
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
2、在样本中，有50％的个体小于或等于中 位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因 中位数 此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的 频率 值.下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的 估计值，此数据值为2.02t. 组距
极差 4.1 组数= 8.2 组距 0.5
4、列出频率分布表.(填写频率/组距一栏)
频率 5、画出频率分布直方图. (注意)纵坐标为: 组距
探究：
同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位 不同，得到的图的形状也会不同.不同的形状给人以不 同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断.分 别以1和0.1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象.
从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
解:用计算器计算可得:

x 甲 25.4005, x 乙 25.4008; s 甲 0.038, s 乙 0.074

从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接近内 径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于
s甲 s乙， 因此甲生产的零件内径 比乙的稳定程度高得多 . 于是可以作出判断 ， 甲生产的零件的质量比 乙的高一些.
频率 组距
总体在区间(a , b)内取值的频率
P(a b) S阴影
S
a b
产品 尺寸 （mm）
说明：在(a,b)内的频率与在[a,b）内的频率是一样的
总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值 的频率 , 精确地反映了总体的分布规律 . 是研究总 体分布的工具. 用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布折线图就会无限接 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布 规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值 频率.