江苏省苏州市2015届高三2月调研测试数学试题

苏州市2015届高三调研考试
数学试题
一、填空题
1.已知集合{|22},{|1}A x x B x x =-<<=≤，则A B = .
2.已知
23(,,i
a bi a
b R i i
+=+∈为虚数单位)，则a b += . 3.已知函数()sin()5
f x kx π
=+
的最小正周期是
3
π
，则正数k 的值为 .
4.某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 .
5.已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为 .
6.运行如图所示的流程图，如果输入1,2a b ==， 则输出的a 的值为 .
7.以抛物线2
4y x =的焦点为顶点，顶点为中心， 离心率为2的双曲线标准方程为 . 8.设{1,1},{2,0,2}x y ∈-∈-，则以(,)x y 为坐标 的点落在不等式21x y +≥所表示的平面区域内的 概率为 . 9.已知函数()lg(1)2x a f x =-
的定义域是1(,)2
+∞， 则实数a 的值为 .
10.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 . 11.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒， 点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==， 点F 为DE 中点，则BF DE 的值为 .
12.已知函数24,()43,f x x x ⎧=⎨+-⎩,
.
x m x m ≥<若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则
实数m 的取值范围是 .
13.已知圆2
2
:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .
A D F
E
B C
14.已知,a b 为正实数，且2a b +=，则22
21
a b a b ++
+的最小值为 . 二、解答题
15.已知向量(sin ,2),(cos ,1)a b θθ==，且,a b 共线，其中(0,)2
π
θ∈.
（1）求tan()4
π
θ+
的值；
（2）若5cos(),02
π
θϕϕϕ-=<<，求ϕ的值.
16.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AD DD 中点. 求证：（1）EF ∥平面1C BD ； （2）1A C ⊥平面1C BD .
17.如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为
120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.
（1）若围墙AP ,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？
（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了
A B C D A 1
B 1
C 1
D 1
20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
18.如图，已知椭圆22
:1124
x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A
（A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上.
（1）求直线AB 的方程；
（2）若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ,BP 分别交直线y x =于点M 、N ，证明：OM ON 为定值.
19.已知函数()(1)x
f x e a x =--，其中,a R e ∈为自然对数底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；
（3）已知b R ∈，若函数()f x b ≥对任意x R ∈都成立，求ab 的最大值
.
20.已知数列{}n a 中111
1,33n n n a n a a a n
+⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）
为偶数）.
（1）是否存在实数λ，使数列2{-}n a λ是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；
（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .
数 学
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相．．．应的答题区域内作．．．．．．．．
答．
．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-１：几何证明选讲
（本小题满分10分）如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连结OP 与圆O 交于点C ，过C 作AP 的算线，垂足为D ，若PA ＝12cm ，PC ＝6cm ，求CD 的长。

B ．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
已知矩阵，A =1
211⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，向量21β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2
A αβ=.
C ．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆3cos ρθ=与直线2cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值.
D ．选修4－5：不等式选讲
（本小题满分10分）设实数x ，y ， z 满足，的最小值，
并求此时x ，y ，z 的值。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，1AB AF ==. （1）求二面角A-DF-B 的大小；
（2）试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成角为60︒.
23、（10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年
后可能获利10%，可能损失10%，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为111 ,, 244
；
如果投资乙项目，一年后可能获利20%，可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）.
（1）如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求X的概率分布列及数学期望E（X）.
（2）若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.
A
B
C
D
E F
A 1
B 1
C 1
D 1
苏州市2015届高三调研测试 数学Ⅰ试题 2015．1 参考答案与评分标准
1．(－2，1]
2．1
3．6 4．3 5．2
6．9
7．22
13
y x -= 8．12 9
10
π 11．4 12．(]1,2 13．
14
15．解 （1）∵a ∥b ，∴sin 2cos 0θθ-=，即tan 2θ=． ………………………………4分 ∴π1tan 12tan()341tan 12
θθθ+++
===---． ………………………………………………7分 （2）由（1）知tan 2θ=，又π(0,)2
θ∈
，∴sin θθ==
， …………9分
∴5cos()θϕϕ-=，
∴5(cos cos sin sin )θϕθϕϕ+=
ϕϕϕ+=， ∴cos sin ϕϕ=，即tan 1ϕ=， ………………………………………………………12分 又02
π
ϕ<<
，∴4
π
ϕ=
． ……………………………………………………………14分
16．证明：（1）连结A1D ，
∵ E ，F 分别是AD 和DD1的中点，∴ EF ∥AD 1． …………………………………2分 ∵ 正方体ABCD －A1B1C1D1， ∴ AB ∥D1C1，AB=D1C1．
∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D ∥BC1 ………………………………………4分 ∴ EF ∥BC1．
又EF ⊄平面C1BD ，BC1⊂平面C1BD ，
∴ EF ∥平面AB1D1． ……………………………………7分 （2）连结AC ，则AC ⊥BD ．
∵ 正方体ABCD －A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD ， ∴ AA1⊥BD ．
又1AA AC A =I ，∴BD ⊥平面AA1C ，
∴ A1C ⊥BD ． ……………………………………………11分 同理可证A1C ⊥BC1．
又1BD BC B =I ，∴A1C ⊥平面C1BD ． ……………………………………………… 14分
17．解 设AP x =米，AQ y =米． （1）则200x y +=，APQ ∆的面积
1sin1202
S xy =
︒=
． …………………………………………………………3分
∴S 2)2
x y +=． 当且仅当100x y ==时取“=”． …………………………………………………………6分 （注：不写“＝”成立条件扣1分）
（2）由题意得100(1 1.5)20000x y ⨯⋅+⋅=，即 1.5200x y +=． …………………8分 要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以
2222cos120PQ x y xy =+-︒22x y xy =++
22(200 1.5)(200 1.5)y y y y =-++- 21.7540040000y y =-+（400
03
y <<
） ………………………………………11分
当8007y =
时，PQ ，此时2007x =． …………………………13分
答：（1）当100AP AQ ==米时，三角形地块APQ 的面积最大为平方米； （2）当2007AP =
米800
,7
AQ =米时，可使竹篱笆用料最省．……………………… 14分
18．解：（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m+2）． 代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13
m m ++=，
解得3
2
m =-
或0m =（舍）． ………………………………………………3分 所以A （3-，1-），
故直线AB 的方程为360x y ++=． …………………………………………………6分 （2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043
x y =-
． 设(,)M M M x y ,由A ，P ，M 三点共线，即AP AM uu u r uuu r
P ，
∴00(3)(1)(1)(3)M M x y y x ++=++，
又点M 在直线y=x 上，解得M 点的横坐标00
0032
M y x x x y -=-+， (9)
分
设(,)N N N x y ，由B ，P ，N 三点共线，即BP BN uu r uuu r
P ，
∴00(2)(2)N N x y y x +=+，
点N 在直线y=x 上，，解得N 点的横坐标0
0022
N x x x y -=--． (12)
分
所以OM ·
0||0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003|
|2y x x y --+0
002||2
x x y -⋅--
=2
000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000
2000
32||3
x x y x x y --=6．…………………… 16分
19．解：（1）当1a =-时，()'e 1x
f x =+，()'1e 1f =+，()1e f =， (2)
分
∴函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为()()e e 11y x -=+-，
即()e 11y x =+-． ……………………………………………………………………4分 （2）∵()'e x
f x a =-，
①当0a ≤时，()'0f x >，函数()f x 在R 上单调递增；………………………………6分 ②当0a >时，由()'e 0x
f x a =-=得ln x a =，
∴(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增．
综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． ……………………………………9分
（3）由（2）知，当0a <时，函数()f x 在R 上单调递增，
∴()f x b ≥不可能恒成立； ………………………………………………………………10分
当0a =时，0b ≤，此时0ab =； ………………………………………………………11分 当0a >时，由函数()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，得()min b f x ≤，
∵()()min ln 2ln f x f a a a a ==-，∴2ln b a a a -≤ ………………………………13分 ∴222ln ab a a a -≤， 设()()2
2
2ln 0g a a a a
a =->，∴
()()'42ln 32ln g a a a a a a a a =-+=-，
由于0a >，令()'0g a =，得3
ln 2
a =
，32e a =， 当32
0,e a ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()'0g a >，()g a 单调递增；32e ,a ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，()'0g a >，()g a 单调递
减．
∴()3max e 2g a =，即ab 的最大值为3
e 2
，
此时3
3
2
21e ,e 2
a b ==． ………………………………………………………………… 16分
20．解：（1）设2n n b a λ=-，
因为()21122221
213
n n n n n n a n b a b a a λ
λλ
λ+++++--==--
()()22221162113
3
n n n n a n n a a a λ
λλ
λ
-++-+-==--． …………………………………2分
若数列{}2n a λ-是等比数列，则必须有221
13
n n a q a λλ
+-=-（常数）
， 即()211103n q a q λ-+-+=⎛⎫
⎪⎝⎭，即()1
03
110
q q λ-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩⇔13
32
q λ==⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩， …………………5分 此时1213131
102326
b a a =-
=+-=-≠，
所以存在实数3
2λ=，使数列{}2n a λ-是等比数列………………………………………6分
（注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分）
（2）由（1）得{}n b 是以16-为首项，1
3为公比的等比数列， 故123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫
=-=-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，即2113
232n
n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，…………………8分 由()2211213n n a a n -=+-，得()1
2121115
33216232n n n a a n n -
-⎛⎫=--=-⋅-+ ⎪⎝⎭，……10分 所以1212111169269233
3n n n
n n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅
-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ()()()
21234212n n n S a a a a a a -=++++++L ()211126
129333n
n n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L
11133(1)
2691213
n n n n ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233n n
n n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，……
…………………………………………………………12分 显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减，
又当1n =时，27
03S =>，当2n =时，48
09S =-<，所以当2n ≥时，20n S <；
22122315
36232n n n n S S a n n -⎛⎫=-=⋅--+ ⎪⎝
⎭， 同理，当且仅当1n =时，210n S ->．
综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 16分。