2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：8-9圆锥曲线的综合问题含解析

M 1，2⎪在椭圆 C 上． 将 M 1，2⎪代入得4c 2＋4c 2＝1，
⎧⎪x 2 ，y 1y 2
＝
3m 2＋4 3m 2＋4 点 P(－2,0)到直线 l 的距离为 3
所以四边形 APBQ 的面积 S ＝2× 2 ＝ 3m 2＋4 .
3m 2＋4 1＋m 令 t ＝ 1＋m 2，t ≥1，则 S ＝ 24t
课时规范练
A 组 基础对点练
x 2 y 2 1
1．(2018· 东北三省四市联考)在平面直角坐标系中，椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的离心率为2，点
⎛ 3⎫ ⎝ ⎭
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知 P(－2,0)与 Q(2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A ，B 两点，求 四边形 APBQ 面积的最大值．
c 1
解析：(1)由题可知 e ＝a ＝2，所以 a ＝2c ，
x 2 y 2
则椭圆 C 的方程为4c 2＋3c 2＝1，
⎛ 3⎫
1 3 ⎝ ⎭
所以 c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，
x 2 y 2
所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
y 2
(2)由题易知，直线 l 的斜率不为 0，设 l 的方程为 x ＝my ＋1，联立方程⎨ 4 ＋ 3 ＝1，
⎪⎩x ＝my ＋1，
消去 x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.
设点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
则 y 1＋y 2＝3m 2＋4
3m 2＋4
－6m
－9
，
则|AB|＝ 1＋m 2· 12 1＋m 2 12(1＋
m 2) ＝ .
1
，点 Q(2,0)到直线 l 的距离为 ， 1＋m 2 1＋m 2 1 12(1＋m 2) 4 24 1＋m 2 ×
24 3t 2＋1
＝
1.
3t ＋ t
c
当 x 0≠0 时，直线 P A 的方程为 y ＝ (x －2)．
2 令 x ＝0，得 y M ＝－ 2y 0
从而|BM|＝|1－y M |＝⎪ x 0－2⎪⎪. 直线 PB 的方程为 y ＝ 0
x x ＋1. 令 y ＝0，得 x N ＝－ x 0
从而|AN |＝|2－x N |＝⎪ x 0－1⎪⎪. 所以|AN |·|BM|＝2＋y －1· 1＋x －02⎪· 1 1
设函数 f(t)＝3t ＋ t (t ≥1)，则 f ′(t)＝3－t 2>0，
所以 f(t)在[1，＋∞)上单调递增，
1 24
有 3t ＋ t ≥4，故 S ＝ 1≤6，当且仅当 t ＝1 时取等号．
3t ＋ t
所以当 t ＝1，即 m ＝0 时，四边形 APBQ 面积最大，最大值为 6.
x 2 y 2 3
2．(2016· 高考北京卷)已知椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的离心率为 2 ，A(a,0)，B(0，b )，O(0,0)，
△OAB 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 P A 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N .求证：|AN |·|BM|为
定值．
⎧⎪
a ＝ 23，
解析：(1)由题意得⎨1
⎪⎩2ab ＝1
，
a 2＝
b 2＋
c 2
，
解得 a ＝2，b ＝1.
x 2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y 2
＝1.
(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．
设 P(x 0，y 0)，则 x 20＋4y 0＝4.
y 0 x 0－2
x 0
－2
，
⎪ ⎪
1＋ 2y 0 ⎪
y －1 0
y 0－1
，
⎪ ⎪
2＋ x 0 ⎪
⎪ x 0 ⎪ ⎪ 2y ⎪ ⎪ 0 ⎪⎪ 0
⎪
2
2⎪x 0＋4y 0＋4x 0y 0－4x 0
－8y 0＋4⎪ ⎪4x y －4x 0－8y 0＋8⎪
⎪ x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ⎪ (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A ，B 且使得OP 2＝4P A · P B 成立？若 解析：(1)由椭圆的对称性知|GF|＋|CF|＝2a ＝4， Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－ .
∵OP 2＝4P A · P B ，
x 0y 0－x 0－2y 0＋2
⎪
3＋4k 2 ，x 1x 2＝ 3＋4k 2 ⎪ ⎪
⎪
＝⎪ 0 0
⎪
＝4.
当 x 0＝0 时，y 0＝－1，|BM|＝2，|AN |＝2，
所以|AN |·|BM|＝4.
综上，|AN |·|BM|为定值．
x 2 y 2
3．已知椭圆 E ：a 2＋b 2＝1 的右焦点为 F(c,0)且 a >b >c >0，设短轴的一个端点为 D ，原点 O 到直
3 → →
线 DF 的距离为 2 ，过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C ，G 两点，且|GF|＋|CF|＝4.
(1)求椭圆 E 的方程；
→ → →
存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
→ →
∴a ＝2.
3 又原点 O 到直线 DF 的距离为 2 ，
bc 3
∴ a ＝ 2 ，∴bc ＝ 3，
又 a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，
∴b ＝ 3，c ＝1.
x 2 y 2
故椭圆 E 的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
(2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件．
故可设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 l 的方程为 y ＝k(x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k(2k
－1)x ＋16k 2－16k －8＝0，
8k (2k －1) 16k 2－16k －8
∴x 1＋x 2＝ ，
1 2
→ → →
－2× ＋4⎥(1＋k 2)＝4× ＝5，解得 k ＝±2，
3＋4k 2 3＋4k 2 ⎣ 3＋4k 2
8k (2k －1) ⎤ 4＋4k 2 ，y 1y 2＝－
9(m 2＋1)＋ 1 ＋6 .又 m 2≥0，所以 9(m 2＋1)＋ 1 ＋6 递增，所以 9(m 2＋1)＋ ＋1 16 即 4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，
即 4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，
⎡16k 2－16k －8 1 ∴4⎢ ⎦
1
k ＝－2不符合题意，舍去，
1
∴存在满足条件的直线 l ，其方程为 y ＝2x.
x 2 y 2
4．(2018· 陕西质检)已知椭圆a 2＋b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1 和 F 2，由 M (－a ，b )，N (a ，
b )，F 2 和 F 1 这 4 个点构成了一个高为 3，面积为 3 3的等腰梯形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 F 1 的直线和椭圆交于 A ，B 两点，求 △F 2AB 面积的最大值．
解析：(1)由已知条件，得 b ＝ 3，且
2a ＋2c
2 × 3＝
3 3，所以 a ＋c ＝3.
又 a 2－c 2＝3，所以 a ＝2，c ＝1，
x 2 y 2
所以椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝1.
(2)显然，直线的斜率不能为 0，
设直线的方程为 x ＝my －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
⎧⎪x 2
联立方程⎨ 4
y 2
＋ 3 ＝1，
⎪⎩x ＝my －1，
消去 x 得，(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.
因为直线过椭圆内的点，所以无论 m 为何值，直线和椭圆总相交，
所以 y 1＋y 2＝3m 2＋4
3m 2＋4
6m 9
，
1
所以 △S F 2AB ＝2|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝ (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12 m 2＋1 (3m 2＋4)2
＝
12
m 2＋1
1
m 2＋1 m 2
＋6≥9
＋1＋6＝16，所以 △S F 2AB ≤
12
＝3，当且仅当 m ＝0 时取等号，所以 △S F 2AB 的最大值为 3.
解析：(1)由y2＝2px与y＝2x，解得交点O(0,0)，E 2，p⎪，所以|OE|＝ 2⎪＋p2＝5，解得p
⎧y1＋y2＝4t，①y－y0
所以⎨设P(－2，y0)，则直线P A的方程为y－y0＝1x
1
＋2
2
＝y
＋2y
y1×4＋y2×4⎪＋4y1y2
11
2
1
00
B组能力提升练
1．(2018·武汉调研测试)已知直线y＝2x与抛物线Γ：y2＝2px(p>0)交于O和E两点，且|OE|＝ 5.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线Γ于A，B两点，P为直线x＝－2上一点，P A，PB分别与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积x M·x N是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则请说明理由．
⎛p⎫
⎝⎭
⎛p⎫2
⎝⎭
＝2，
所以抛物线Γ的方程为y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝ty＋2，代入y2＝4x中，则y2－4ty－8＝0.设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
(x＋2)．⎩y1y2＝－8.②
令y＝0，得(y0－y1)x M＝y0x1＋2y1，③
同理可得(y
－y
2
)x
N
＝y
x
2
＋2y
2
，④
由③×④得，
(y
－y
1
)(y
－y
2
)x
M
·x
N
＝(y
x
1
＋2y
1
)(y
x
2
＋2y
2
)，
即[y2－(y
1
＋y
2
)y
＋y
1
y
2
]x
M
·x
N
＝y
x
1
x
2
＋2y
(y
1
x
2
＋y
2
x
1
)＋4y
1
y
2
2×4
×
4
⎝
⎭
y2y2⎛y2y2⎫
1y＋y
＝y
×16y2y2＋y0y1y2×122＋4y1y2.
由①②可得(y2－4ty
－8)x
M
·x
N
＝4(y2－4ty
－8)．
当点 P 不在直线 AB 上时，y 2－4ty 0－8≠0，所以 x M · x N ＝4； 当点 P 在直线 AB 上时，x M ＝x N ＝x Q ＝2，所以 x M · x N ＝4. 综上，x M · x N 为定值，且定值为 4.
2
2．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 2 ，它的一个焦点恰好与抛物线 y 2＝4x
的焦点重合．
(1)求椭圆 C 的方程；
1
(2)设椭圆的上顶点为 A ，过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB ，AC ，若直线 AB ，AC 斜率之积为4，
(2)当 b ＝1 时，在 x 轴上是否存在定点 T ，使得T A · T B 为定值？若存在，求出定值；若不存在，请
2y 0－1 －y 0－1 1－y 2011 k AB · k AC ＝ x · ＝ x 2 ＝ x 2 ＝2≠4，不合题意，故直线 BC 的斜率存在．设直线 BC 的方
1
由 k AB · k AC ＝ x · x ＝4，
1＋2k 2 直线 BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
x 2 y 2 c 2
解析：(1)设椭圆 C 的标准方程为a 2＋b 2＝1(a >b >0)，则 e ＝a ＝ 2 ，c ＝1，故 a 2＝2，b 2＝1，
x 2 所以椭圆 C 的标准方程为 2 ＋y 2
＝1.
(2)由(1)知 A(0,1)，
当直线 BC 的斜率不存在时，设 BC ：x ＝x 0， 设 B(x 0，y 0)，则 C(x 0，－y 0)，
1
x 2 0
x 0
0 0
程为：y ＝kx ＋m (m ≠1)，并代入椭圆方程，
得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，① 由 Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0，
解得 2k 2－m 2＋1>0.②
设 B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则 x 1，x 2 是方程①的两根，由根与系数的关系得， 4km 2(m 2－1)
x 1＋x 2＝－1＋2k 2，x 1x 2＝ ，
y －1 y 2－1 1 1
2 得 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，
即(4k 2－1)x 1x 2＋4k(m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0，整理得(m －1)(m －3)＝0，又因为 m ≠1，所以 m
＝3，此时直线 BC 的方程为 y ＝kx ＋3.
所以直线 BC 恒过一定点(0,3)．
x 2 y 2 2 2
3．(2018· 石家庄质检)已知椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的离心率为 3 ，左、右焦点分别为 F 1，F 2，
过 F 1 的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点．
(1)若以 AF 1 为直径的动圆内切于圆 x 2＋y 2＝9，求椭圆长轴的长；
→ →
说明理由．
解析：(1)设 AF 1 的中点为 M ，连接 AF 2，MO .
1 1 1
在△AF 1F 2 中，由中位线定理得，|O M|＝2|AF 2|＝2(2a －|AF 1|)＝a －2|
AF 1|.
设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程⎨
Δ＝36k 2＋36>0，x ＋x ＝－ ，x 1x 2＝ 则T A · TB ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋y 1y 2＝
，
当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设 A －2 2，3⎪，B －2 2，－3⎪，当 T － ⎛ ⎛ 1⎫ ⎛ 19 2 ⎫ ，0⎪时，
，0⎪，使得T A · TB 为定值－81.
综上，在 x 轴上存在定点 T － ＋1 2 2
2
0 ⎭ 9 ⎝ 9 ⎪· ⎭ 9 1
当两个圆内切时，|O M|＝3－2|AF 1|，
所以 a ＝3，故椭圆长轴的长为 6.
2 2
(2)由 b ＝1 及离心率为 3 ，得 c ＝2 2，a ＝3，
x 2 所以椭圆 C 的方程为 9 ＋y 2
＝1.
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y ＝k(x ＋2 2)．
⎧x 2＋9y 2＝9，
⎩y ＝k (x ＋2 2)，
消去 y 并整理得(9k 2＋1)x 2＋36 2k 2x ＋72k 2－9＝0.
1 2 36 2k 2 72k 2－9 9k 2＋1 9k 2＋1
，
－k 2
y 1y 2＝k 2(x 1＋2 2)(x 2＋2 2)＝9k 2 .
假设存在定点 T ，设 T(x 0,0)，
→ → (9x 0＋36 2x 0＋71)k 2＋x 20－9 9k 2＋1
19 2 → → 7
当 9x 0＋36 2x 0＋71＝9(x 0－9)，即 x 0＝－ 9 时，T A · TB 为定值，定值为 x 2－9＝－81.
⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
→ → ⎛ 2 1⎫ ⎛ 2 1⎫ 7
T A · TB ＝ ，3⎭⎝ 9 ，－3⎪＝－81.
⎛ 19 2 ⎫ → → 7 ⎝ ⎭
x 2 y 2
4．已知焦距为 2 3的椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为 F 1，上顶点为 D ，直线 DF 1 与椭圆
C 的另一个交点为 H ，且|DF 1|＝7|F 1H|.
(1)求椭圆的方程；
(2)点 A 是椭圆 C 的右顶点，过点 B(1,0)且斜率为 k(k ≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 E ，F 两点，直
线 AE ，AF 分别交直线 x ＝3 于 M ，N 两点，线段 MN 的中点为 P .记直线 PB 的斜率为 k ′，求证：
k · k ′为定值．
解析：(1)∵椭圆 C 的焦距为 2 3，∴F 1(－ 3，0)．又 D(0，b )，|DF 1|＝7|F 1H|，
∴点 H 的坐标为 － ，－7⎪，
y 1 y 2
x 1－2 x 2－2
令 x ＝3，则 M 3，x －2⎪，N 3，x －2⎪，
⎛ 1⎛ y 1 y 2 ⎫⎫ ∴P 3，2 x －2 x 2
－2⎪⎭⎪⎭. ∴k · k ′＝4×
＝ 4 × 1 2
＋1 ＋1 y ⎫ 4k 2＋1 ⎛ 8 3 b ⎫ ⎝ 7 ⎭
64×3 1
则 49a 2 ＋49＝1，解得 a 2＝4，则 b 2＝a 2－3＝1，
x 2 ∴椭圆 C 的方程为 4 ＋y 2
＝1.
(2)证明：根据已知可设直线 l 的方程为 y ＝k(x －1)．
⎧y ＝k (x －1)，
由⎨
⎩x 2＋4y 2－4＝0，
得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.
8k 2 4k 2－4
设 E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝4k 2 ，x 1x 2＝4k 2 .
直线 AE ，AF 的方程分别为：
y ＝ (x －2)，y ＝ (x －2)．
⎛ ⎛ y ⎫ 1 ⎭ ⎝ 2
⎭ ＋ ⎝ ⎝ 1
k k (x 1－1)(x 2－2)＋k (x 2－1)(x 1－2) (x 1－2)(x 2－2)
k 2 2x x －3(x 1＋x 2)＋4 x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4
8k 2－8－24k 2＋16k 2＋4
k 2 k 2 －4
＝ 4 × 4k 2－4－16k 2＋16k 2＋4 ＝ 4 × 4k 2
4k 2＋1
1
＝－
4.。